Некоторые экстремальные свойства специальных функций математической физики и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

глава i. Сходимость в среднем кратных рядов Фурье по специальным функциям математической физики.

§ 1. Обозначения.

§ 2. Основные результаты.

§ 3. Сходимость в пространстве Ь2(М^; ехр(—|ж|2)).

§4. Сходимость в пространстве 1/2(М+; хае~х).

§ 5. Сходимость в пространстве

2 [-1,1]"; Ш1-^)

§6. Сходимость в пространстве ¿2 ([0,1]N] x2p+1)

ГЛАВА II.Равномерная сходимость двойных рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам.

§1. Ряды Фурье-Эрмита.

§ 2. Ряды Фурье-Лагерра.

§ 3. Ряды Фурье-Якоби.

Глава III. Поперечники Колмогорова.

§1. Основные результаты.

§ 2. Поперечники в пространстве Z^M*^; ехр(—|ж|2)).

§3. Поперечники в пространстве Х<хе-х) •

§4. Поперечники в пространстве

§ 5. Поперечники в пространстве L2 ([0,1]N\x2p+1).

§ 6. Поперечники в пространстве 1/2 (р(ж); (а, Ь)).

Хорошо известно, что решение многих задач теоретической и математической физики приводит нас к использованию различных специальных функций, наиболее употребительными из которых являются так называемые специальные функции математической физики - классические ортогональные многочлены (многочлены Лагерра, Эрмита, Якоби), цилиндрические, сферические и гипергеометрические функции, которые обычно возникают при решении уравнений математической физики методом разделения переменных. Последний является одним из распространенных методов решения уравнений математической физики.

Например, метод разделения переменных широко применяется для решения, возникающих в математической физике, дифференциальных уравнений в частных производных вида ч д2и „. . ди

A®W + B(t)ai

Lu, i) где

Lu = diу\р{х, у, ^)gradu] — q(x, у, z)u:

Если A(t) = 1, B(t) = 0, то уравнение (1) описывает процессы распространения колебаний, например, распространение электромагнитных и звуковых волн, при A(t) = 0, B(t) = 1 уравнение (1) описывает различные процессы переноса распространения тепла или диффузии частиц в среде, при A(t) = 0, B(t) = 0 уравнение (1) описывает соотвествующие стационарные процессы.

Для уравнений математической физики решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций. Например, общее решение Q2U уравнения = 0 имеет вид и = ср(х) + ф(у), где (р й ф — произдхоу вольные дифференцируемые функции. Поэтому для однозначного

- 4 выделения решения уравнения в частных производных, описывающего реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Наиболее употребительными из таких условий являются начальные и граничные условия вида и\ь=0 = /(ж, у, г), ди И о

2) а(х,у,г)и + (3(х,у)г) ди дп 0.

3)

Здесь а(х,у,г), (3(х,у,г) — некоторые функции, 5 — поверхность, ограничивающая область, в которой решается уравнение (1), ди

--производная по направлению внешней нормали к поверхности оп

Задача, связанная с нахождением решения уравнения (1), удовлетворяющего заданным начальным и граничным условиям, называется краевой задачей.

Напомним вкратце схему решения краевой задачи методом разделения переменных. Будем искать решение уравнения (1) в виде и(х, у, г, *) = Т(г)у{х, у, г).

В результате приходим к следующим уравнениям

А(Ь)Т" + В{г)Т' + ЛТ = О,

4)

Ьи + Ху = О,

5) где Л — некоторая постоянная. Уравнение (4) является обыкновенным дифференциальным уравнением и для характерных задач математической физики легко решается аналитически. Для решения уравнения (5) следует использовать граничное условие ди дп

О,

6) вытекающего из граничного условия (3).

- 5

Таким образом, мы приходим к следующей задаче. Найти нетривиальные решения уравнения (5), удовлетворяющие граничному условию (6). Те значения Л, для которых поставленная задача имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, и соответствующие им функции — собственными функциями задачи (5)-(6).

Для характерных задач математической физики собственные функции и собственные значения можно перенумеровать. Пусть уп(х, у, г) — собственная функция, отвечающая собственному значению Ап (п = 1, 2,.). Решение уравнения (1) с граничным условием (3) и соответствующими начальными условиями (2) будем искать в виде оо

П=1 где функции Тп(£) — решения уравнения (4) при X = Хп (п = 1,2,.). Для того, чтобы удовлетворялись начальные условия (3), начальные значения функций Тп(£) и Т'п{Ь) при £ = 0 должны выбираться так, чтобы удовлетворялись равенства оо

71=1 д дг оо

4=0 п=1

Итак, чтобы решить краевую задачу, нужно потребовать, чтобы произвольную функцию переменных (х}у,г) (в данном случае и^-о и ) можно было разложить в ряд по собственным функциям уп(х, у, г) (п = 1,2,.), т. е. чтобы система собственных функций уп(х,у,г) обладала так называемым свойством полноты (замкнутости).

Задача особенно упрощается, если краевую задачу (5)-(6) удается методом разделения переменных свести к одномерным краевым задачам, т. е. к уравнениям вида

Ьу + Хру = 0,

7)

- 8

Известно, что система функций Бесселя, системы классических ортогональных многочленов обладают свойством полноты.

Так как метод разделения переменных, как отмечено выше, приводит нас к разложениям функций в ряды по собственным функциям краевых задач, то мы естественно приходим к рядам Фурье по классическим ортогональным многочленам и по функциям Бесселя.

Вопросами разложения функций в ряды Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля занимались многие математики. В частности, что собственные функции задачи Штурма-Лиувилля в случае трех классических граничных условий образуют базис было установлено еще В. А. Стекловым. Очень интересные результаты получены в работах В. А. Ильина и его учеников (см. напр., [21], [22], [34]) в вопросах о сходимости и о равномерной сходимости разложений по собственным функциям уравнения

Аи + Хи = О в произвольной ./V -мерной области О с однородным граничным условием любого из трех родов, т. е. с любым из граничных условий и\з = О, ди дп О, + ди дп О и спектральных разложений, отвечающих самосопряженным эллиптическим дифференциальным операторам.

Частным случаем этих разложений являются разложения в ЛГ-кратный тригонометрический ряд Фурье. Вопросами сходимости кратных тригонометрических рядов Фурье также занимались много математиков. Наиболее интересные результаты здесь получены в работах К. И. Бабенко, Б. С. Митягина, Е. М. Никишина, Л. В. Жижиашвили, Б. И. Голубова (см., напр., [21], [22], [28], [33]).

Настоящая работа также посвящена некоторым вопросам разложения функций многих переменных в кратные ряды Фурье по специальным функциям математической физики, оценкам их скорости сходимости на некоторых классах функций и приложениям этих оценок к некоторым задачам классического анализа.

Известно, что скорость сходимости ряда Фурье зависит от структурных свойств функции и установление связи между структурны

- 9 ми свойствами функции и скоростью сходимости ее ряда Фурье была и остается одной из интересных задач анализа. Основополагающие работы в этом направлении были выполнены Д. Джексоном, С. Н. Бернштейном, Ш. Валле-Пуссеном. Дальнейшее развитие эти работы получили в исследованиях А. Зигмунда, С. М. Никольского, С. Б. Стечкина, В. К. Дзядыка, А. Ф. Тимана, М. К. Потапова и др. (см., напр., [41], [46], [47]). В вопросах, связанных с оценкой скорости сходимости рядов Фурье на тех или иных классах функций, весьма удобной характеристикой оказалась величина, равная точной верхней грани уклонения частичных сумм ряда Фурье на рассматриваемых классах функций в той или иной метрике. Она была введена в 1935 году А. Н. Колмогоровым, который установил асимптотически точную оценку скорости сходимости тригонометрического ряда Фурье на классе г - раз дифференцируемых 2-к - периодических функций в равномерной метрике. В последствии эта задача была обобщена в различных направлениях. Наиболее полные и интересные результаты здесь были получены в работах С. М. Никольского, С. Б. Стечкина, А. В. Ефимова, С. А. Те-ляковского (см., напр., [47]). Сама задача, суть которой состоит в отыскании точных или асимптотически точных равенств для верхних граней уклонений полиномов, порожденных данным линейным методом на заданном классе функций, называется, сегодня, задачей Колмогорова-Никольского.

Отметим, что асимптотические или слабые асимптотические оценки скорости точечной или равномерной сходимости рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам Лагерра, Эрмита, Яко-би на различных классах функций одной переменной, в последние годы, были получены в работах С. А. Агаханова, Г. И. Натансона, В. М. Бадкова, В. А. Абилова и др. (см., напр., [9] и цитир. там литер.).

В настоящее время большая часть вопросов, относящихся к проблемам оценок скорости сходимости одномерных рядов Фурье достаточно хорошо изучена. Хотя, еще и здесь остались и будут возникать в дальнейшем важные задачи, требующие своего решения. Что касается многомерного случая, то картина намного хуже. Разумеется и здесь есть ряд исследований, представляющих большой интерес, например, работы А. И. Степанца и его учеников (см., напр, [28], [45]).

Отыскивая скорость сходимости кратных рядов Фурье по специальным функциям на тех или иных классах функций многих переменных в различных функциональных пространствах с весом, мы, можно сказать, естественно приходим к исследованию величины, равной точной верхней грани уклонения частичных сумм ряда Фурье на рассматриваемом классе. Так как, в отличие от одномерных рядов Фурье, здесь нет естественного способа построения частичных сумм, то мы должны были бы сначала фиксировать некоторый класс функций, а затем построить частичные суммы кратного ряда Фурье так, чтобы указанная выше величина была минимально возможной. Эти идеи привели А. Н. Колмогорова к рассмотрению величины, названной им п-поперечником ([35], стр. 186) рассматриваемого класса функций.

Следует отметить также, что при построении математических моделей широкого класса задач физики и техники совершается предельный переход от дискретного к непрерывному. В связи с этим возникают ряд вопросов, связанных с дискретизацией задач математической физики. Ответить на эти вопросы можно только разобравшись в общих вопросах аппроксимации бесконечномерных функциональных компактов конечномерными, поскольку это первый шаг дискретизации. К настоящему времени имеется развитый аппарат теории поперечников бесконечномерных компактов и нахождению п -поперечников Колмогорова различных множеств в различных линейных нормированных пространствах посвящено много работ. И хотя, как правило, точная асимптотика поперечников неизвестна, но известен порядок их величин, и это уже дает многое для приложений.

Вопросами нахождения точных значений или слабых эквивалентных оценок п -поперечников Колмогорова различных классов функций занимались С. Б. Стечкин, К. И. Вабенко, В. М. Тихомиров, Б. С. Митягин, Р. С. Исмагилов, Б. С. Кашин, Э. М. Галеев, В. Н. Темляков и др. (подробнее об этом см, напр, [47]).

Настоящая работа по характеру полученных результатов и по методам их исследования непосредственно связана с тематикой, указанной выше, и состоит из трех глав.

Первая глава посвящена вопросам сходимости кратных рядов Фурье по специальным функциям математической физики (классические ортогональные многочлены, функции Бесселя) в различных функциональных пространствах с весом. Здесь даны точные или слабые эквивалентные оценки скорости их сходимости на различных классах функций, а также доказаны теоремы, устанавливающие связь между структурными свойствами функций и скоростью сходимости их рядов Фурье, называемые в классическом анализе, теоремами Джексона-Бернштейна. Известно, что в вопросах сходимости тригонометрических рядов Фурье 27г-периодических функций существенную роль играет оператор сдвига Т^Дсс) = /(ее + К) и определяемые с его помощью модули непрерывности различных порядков. В вопросах же, связанных со сходимостью рядов Фурье по многочленам Лагерра, Эрмита, Якоби, по функциям Бесселя аналогичную роль играют операторы обобщенного сдвига и порождающиеся ими обобщенные модули непрерывности. Операторы обобщенного сдвига, в свою очередь, связаны с теоремами "сложения" и "умножения" для специальных функций математической физики. В диссертации вводится понятие обобщенного модуля непрерывно-, сти к-го порядка для непериодических функций одной и многих переменных, характеризующее их гладкость. Это позволяет, с одной стороны, найти скорость сходимости рядов Фурье по специальным функциям на некоторых классах функций, характеризующихся обобщенными модулями непрерывности, а с другой, установить связь между структурными свойствами непериодических функций одной и многих переменных и скоростью сходимости их рядов Фурье по специальным функциям в различных функциональных пространствах с весом.

Вторая глава посвящена вопросам точечной и равномерной сходимости двойных рядов Фурье по классическим ортогональным многочленам. Здесь даны асимптотически точные оценки скорости точечной и равномерной сходимости этих рядов на некоторых классах функций двух переменных.

В работе, в основном, рассматриваются вопросы, связанные с функциями многих переменных. Не следует полагать, что эти результаты можно получить простым переносом с одномерного случая. Даже понятие частичной суммы ряда Фурье уже в двумерном случае не является однозначным. Можно рассматривать "прямо

- 12 угольные", "треугольные", "круговые" частичные суммы двойного ряда Фурье. Это связано со специфическими особенностями рассматриваемых классов функций и их введение всегда можно оправдать, что прослеживается на протяжении всей работы.

В третьей главе мы находим точные значения или слабые эквивалентные оценки п - поперечников Колмогорова некоторых классов функций одной и многих переменных, введенных в первой главе. Глава эта заканчивается применениями оценок скорости сходимости рядов Фурье по полиномам Чебышева в вопросах об оценках остатков некоторых квадратурных формул на классах функций, характеризующихся обобщенными модулями непрерывности. Поперечники классов непериодических функций, характеризующихся обобщенными модулями непрерывности, а также оценки остатков квадратурных формул на этих классах, по-видимому, впервые были рассмотрены нами.

С основными результатами диссертации можно ознакомиться прочитав первые два параграфа первой главы, введение ко второй главе и первый параграф третьей главы. В остальных параграфах соответствующих глав мы даем доказательства основных результатов, а также некоторых утверждений, так или иначе связанных с содержанием настоящей работы.

1. Абилов В. А. О порядке приближения непрерывных функций арифметическими средними частичных сумм ряда Фурье-Эрмита // Известия вузов. Матем. № 3, 1972, с. 3-9.

2. Абилов В. А. Приближение дифференцируемых функций арифметическими средними частичных сумм ряда Фурье-Лагерра / / Сообщения АН ГССР. Т. 86, № 3, 1977, с. 533-536.

3. Абилов В. А. Приближение непрерывных функций арифметическими средними частичных сумм ряда Фурье-Лагерра / / Доклады АН АССР № 9, 1977, с. 3-5.

4. Абилов В. А. Об одном экстремальном свойстве классических ортогональных многочленов. // Доклады Болгарской АН. Т. 42, № 12, 1989, с. 45-46.

5. Абилов В. А. Оценка поперечника одного класса функций в пространстве 1/2 // Матем. заметки. Т. 52, № 1, 1992, с. 3-8.

6. Абилов В. А. Еще раз об одном эктремальном свойстве классических ортогональных многочленов // Доклады Болгарской АН. Т. 45, № 6, 1992, с. 33-34.

7. Абилов В. А. Оценка поперечника одного класса функций в пространстве Ь2(р(ж), (о, £>)) // Доклады Болгарской АН. Т. 45, № 10, 1992, с. 23-24.

8. Абилов В. А. Приближение функций суммами Фурье-Лагерра // Матем. заметки. Т. 57, № 2, 1995, с. 163-170.

9. Абилов В. А. Приближение непрерывных функций двух переменных суммами Фурье-Эрмита / / Доклады Болгарской АН Т. 36, № 1, 1983, с. 45-47.- 21?

10. Авилов В. А. О наилучшем приближении функций алгебраическими многочленами // Доклады РАН. Т. 357, №2, 1997, с. 151-152.

11. Авилов В. А. Приближение дифференцируемых функций двух переменных суммами Фурье-Эрмита / / Доклады Болгарской АН. Т. 49, № 1, 1996, с. 17-19.

12. Авилов В. А. Приближение дифференцируемых функций двух переменных суммами Фурье-Лагерра // Доклады Болгарской АН. Т. 49, № 6, 1996, с. 3-5.

13. Авилов В. А. Приближение дифференцируемых функций двух переменных суммами Фурье-Якоби // Доклады. Болгарской АН Т. 49, № 7, 1996, с. 7-9.

14. Авилов В. А. Приближение функций в пространстве Ь2(М^;ехр(-|а;|2)) // Матем. заметки. Т. 57, № 1, 1995, с. 3-19.

15. Авилов В. А. Приближение функций двух переменных в среднем // Доклады Болгарской АН. Т. 46, № 10, 1993, с. 17-20.

16. Авилов В. А., Авилова Ф. В. Некоторые вопросы сходимости кратных рядов Фурье // Журнал ВМ и МФ. Т. 39, № 12, 1999, с. 1951-1961.

17. Авилов В. А., Авилова Ф. В. Приближение функций суммами Фурье-Бесселя // Известия вузов, Матем., № 8(47), 2001, с. 1-7.

18. Авилов В. А., Агаханов С. А. Приближение дифференцируемых функций суммами Фурье-Эрмита // Матем. заметки. Т.- 6, № 1, 1969, с. 35-46.

19. Агаханов С. А., Натансон Г. И. Приближение одного класса непрерывных функций суммами ряда Фурье-Эрмита // Учен.- 218 зап. Казанского университета. Т. 124, № 6, 1964, с. 20-30.

20. А гаханов С. А., Натансон Г. И. Приближений функций суммами Фурье-Якоби // Доклады АН СССР. Т. 166, № 1, 1966, с. 9-10.

21. Алимов Ш. А., Ильин В. А., Никишин Е. М. Вопросы сходимости кратных тригономерических рядов и спектральных разложений. I // УМН. 31, № 6, 1976, с. 28-83.

22. Алимов Ш. А., Ильин В. А., Никишин Е. М. Вопросы сходимости кратных тригономерических рядов и спектральных разложений. II // УМН. 32, № 1, 1977, с. 107-130.

23. Бадков В. М. Приближение функций частными суммами ряда Фурье по обобщенным многочленам Якоби // Матем. заметки. Т. 3, № 6, 1968, с. 671-682.

24. Бабаев А. X. О порядке приближения непрерывных функций суммами Фейера по многочленам Эрми'та / / Известия АН АССР (сер. физ-тех. и матем. наук). № 2, 1966. с. 3-14.

25. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

26. Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп. М.: Наука, 1966.

27. Геронимус Я. Л. Теория ортогональных многочленов. М.: ГИТТЛ 1950.

28. Голубое Б. И. Кратные ряды и интегралы Фурье. Итоги.науки и техники, Математический анализ. ВИНИТИ АН СССР. М., 1982, с. 3-54.

29. Гохберг И. И., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных неса- 219 мосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

30. Градштейн И. С., Рыжик Й. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1962.

31. Ефимов А. В. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье // Известия АН СССР (серия матем.) № 24, 1960, с. 243-296.

32. Жидков Г. В. Конструктивная характеристика одного класса непериодических функций // Доклады АН СССР. Т. 169, № 5, 1966, с. 1002-1005.

33. Жижиашвили Л. В. О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических й ортогональных рядов // УМН. 28, № 2, 1973, с. 65-119.

34. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям оператора Лапласа // УМН. 13, № 1, 1958. с. 87-180.

35. Колмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1987.

36. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987.

37. Лащенов В. К. Приближение дифференцируемых функций частными суммами Фурье-Лагерра // Известия вузов. Матем. № 1. 1981, с. 44-57.

38. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

39. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

40. Подкорытов А. Н. Приближение одного класса функций двухпеременных суммами Фурье // Вестник ЛГУ (механика, матем.) № 13, 1974, с. 43-50.

41. Потапов М. К. О приближении алгебраическими многочленами. Теория функций и приближений. Саратов, 1983, с. 16-31.

42. Рафальсон С. 3. О приближении функций в среднем суммами Фурье-Эрмита // Известия вузов. Матем. № 74, 1968, с. 78-84.

43. Ржавинская Е. В. О приближении функций в среднем суммами Фурье-Лагерра // Известия вузов. Матем. № 11, 1979, с. 87-93.

44. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

45. Степанец А. И. Равномерные приближения тригонометрическими многочленами. Киев.: Наукова думка, 1981.

46. Тиман А. Ф. Теория приближения функций десФвительного переменного. М.: Физматгиз, 1960.

47. Тихомиров В. М. Теория приближений. "Современные проблемы математики. Фундаментальные Направления, т. 14, Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР". М., 1987, с. 103-260.

48. Abilov V. A. On the best approximation of functions of many variables by algebraic polynomials / / East Journal on approx. Vol. 2, № 4, 1996, p. 477-497.

49. Abilov V. A. Approximation of functions by Fourier-Laguerre sums // Intern. Confer, on Construct, func. theory. Varna. 1981.

50. Watson G. N. Another note on Laguerre polynomials //J. London Math. Soc. № 14, 1939, p. 19-22.