Некоторые свойства рациональных аппроксимаций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА механико-математический факультет

РГ6 од

На правах рукописи

' ' ' ' Л*

' УДК 517.

Назаренко Максим Анатольевич

Некоторые свойства рациональных аппр оксимаций

(01.01.01 — математический анализ)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 1997

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель кандидат физико-математических

наук, доцент Н. С. Вячеславов.

Официальные оппоненты доктор физико-математических

наук, профессор А. И. Буланов, кандидат физико-математических наук, доцент А. К. Рамазнов.

Ведущая организация Гомельский государственный

университет

Защита диссертации состоится 3 рХ^/й/^ 1997 года в 16 часов 05 минут на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан Л ШМлШШ 1997 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Т. П. Лукашенко

Д.053.05.04 при МГУ, профессор

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория приближения функций берет начало от работ П. JL Чебышева ',2. В этих работах им было введено понятие наилучшего приближения функции / рациональными функциями порядка не выше (п, ш), ее величины Rntm(f), и получен ряд результатов о наилучших приближениях. Следующим шагом в развитии этой теорш! была теорема К. Вейер-штрасса , согласно которой каждую непрерывную функцию на отрезке Д можно приблизить в равномерной метрике как угодно хорошо алгебраическими полиномами достаточно высокой степени: En(f) = i?„,o(/) ->■ 0 при U-4COH / € С(Д).

С. Н. Бернштейн 4 доказал характеристическое свойство последовательностей En(f) для / 6 С(Д) (которое позднее 5 было обобщено на аппроксимации элементов любого банахова пространства X его подпространствами полиномов Р п при условии, что Р = Ц£10 Р„ всюду плотно в Л'): для любой невозрастающей бесконечно малой последовательности чисел { а„ в пространстве С(Д) существует функция / с величинами полиномиальных

^Небышев П. Л., Теория механизмов, известных под названием параллелограммов // Полное собрание сочинений, Т. 2 Математический анализ, M.-JI.: Издательство АН СССР, 1947. С. 23-52.

2Чебышев П. JI., Вопросы о наименьших величинах, связанные с приближенным представлением функции // Полное собрание сочинений, Т. 2 Математический анализ, M.-JI.: Издательство ЛН СССР, 1947. С. 151-235.

3Weierstrass К., Uber die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Funktionen einer reellen Veränderlichen. Sitzungsberichte der Acad. zu Berlin (1885), 633-639; 789-805.

4 Бернштейн С. IL, Об обратной задаче теории наилучшего приближения непрерывных функций // Собрание сочинений, Т. 2 Конструктивная теория функций (1931-1953], Издательство АН СССР, 1954. С. 292-294.

5Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М: 1960.

приближений

E„(f)=an, п = О, 1, 2, ....

В 1994 году А. А. Пекарским 6 в случае рациональных приближений в пространстве комплекснозначных непрерывных на отрезке функций с равномерной нормой была получена следующая теорема: для любой строго убывающей к нулю последовательности {ап }~0 существует функция / такая, что

Д„1Я(/)=а„, п = 0, 1, 2, —

Этот результат справедлив в СЛ — пространстве функций комплексного переменного z, непрерывных в замкнутом круге |z| < 1 и аналитических внутри, с равномерной нормой (теорема 17). Б. Боэм 7 установил, что равенства

£»(/) =Яп.»(/), п = 1, 2, ....

в С(Д) выполняются тогда и только тогда, когда функция / имеет вид f(x) = а+ЬТк(х), где о и Ь — константы, а Т* — многочлен Чебышева, приведенный к отрезку Д. Позднее A. JI. Левин и В. М. Тихомиров 8 получили аналогичный результат в пространстве СЛ. В той же работе ими было показано, что выполнение соотношений

Ek^(f) > Ek(f) = En(f) > En+\(f)

6 Пекарский А. А., Существование функции с заданными наилучшими равномерными рациональными приближениями // Известия АН Белоруссии. 1994. Т. 1. С. 23-26.

7Военм В., Functions, whose best rational Chebyshew approximations are polinomials // Numer. Math. 1964. Bd. 6. Heft 3. P. 235-242.

8JIebhh A. JI., Тихомиров В. M., О приближении аналитических фупкцнй рациональными // Доклады АН СССР. 1967. Т. 174(2). С. 279-282.

при заданной функции / из С Л и фиксированных индексах п > к > 1 влечет строгое неравенство

E„(f) > Rn,n(f).

В пространстве СР(Х) (суммируемых в р-ой степени, р > 1, функций на ограниченном измеримом множестве X действительной оси) с обычной системой рациональных функций справедлив следующий результат Н. С. Вячеславова и А. К. Рамазанова 9: если при некоторых натуральных т и к выполняется условие Ek(f) = Rk,m(f), то Ek{f) = Ek+m{f). При аппроксимации рациональными функциями с фиксированным знаменателем аналоги результатов9 были получены X. М. Махмудовым 10 в Ср(,V), где множество X расположено на прямой или на плоскости. Теоремы 1-4 являются обобщениями соответствующих результатов работ 7-12.

Д. Браесс 13 доказал, что в пространстве £1, 1] множество рациональных функций наилучшего приближения степени (к, 1) может состоять только из изолированных точек и существует функция с заранее заданными в любом количестве локальными аппроксимантами (при выполнении некоторых ограничений на

9 Вячеславов Н. С., Рамазанов А. К., Рациональные функции наилучшего приближения в весовых пространствах // Всесоюзная школа-конференция "Современные проблемы теории функций" (19-29 мая 1989 г.). Тезисы докладов. Баку, 1989, С. 27-29.

'"Махмудов X. М-, О рациональных аппроксимациях функций комплексного переменного в интегральных метриках // Дисс. канд. М., 1989.

"Cheney е. w. and Goldstein A. A., Mean-square approximation by generalized rational functions. // Math. Z. 1967. V. 95. P. 232-241.

12Левин A. JI., Расположение полюсов рациональных функций наилучшего приближения и смежные вопросы // Матем. сб. 1969. Т. 80(2). С. 281-289.

13 Braess D., On rational ^-approximation // J. Approxim. Theory. 1976. 18(2). P. 136-151.

их вид). Однако, вопрос о величине уклонения этих рациональных функции от исходной не исследовался. В этой же работе им была поставлена следующая задача: возможно ли построить такую функцию, что бы она имела по крайней мере 3 различные рациональные функции наилучшего приближения какой-нибудь степени?

В пространстве Харди Ич предъявлены такие функции, что множество всех рациональных функций наилучшего приближения является континуумом, а точки полюсов этих рациональных функций на комплексной плоскости образуют окружность (следствие 14.1). Кроме того, конструктивно построены примеры функций с наилучшим локальным неглобальным рациональным приближением порядка (к, 1) (теорема 15), а также функций с 4-мя различными наилучшими рациональными аппроксимантами (теорема 13).

Известно, что в Н? интерполяционные условия Дж. Уолша 14 полностью определяют рациональную функцию наилучшего приближения с фиксированным знаменателем. При аппроксимации без ограничений на полюсы необходимые интерполяционные условия на рациональную функцию наилучшего приближения были получены в работах 15,12'16. Однако эти условия не являются достаточными для определения рациональной функции

14Уолш Дж. Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. М.: ИЛ, 1961г.

15 Ерохин В, Д., О наилучшем приближения аналитических функций посредством рациональных дробей со свободными полюсами // Доклады АН СССР. 1959. Т. 128(1). С. 29-32

16 Вячеславов II. С., Рамазанов А. К., Интерполяционные свойства рациональных функций наилучшего приближения в среднем квадратическом па окружности и в круге // Матем. заметки. 1995. 57(2). 228-239.

наилучшего приближения со свободными полюсами (теорема 9).

Целью работы является изучение условий, обеспечивающих равенства или различия величин определенных элементов таблицы Чебышева в линейном пространстве с выпуклым функционалом; исследование общих свойств рациональных приближений с одним свободным полюсом в пространстве Харди И? и частичное решение обратной задачи теории рациональных аппроксимаций в пространстве СЛ.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием методов теории функций комплексного переменного и функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены обобщения ряда известных результатов о величинах наилучших приближений при аппроксимации в линейных пространствах с выпуклым функционалом и, в частности, в нормированных пространствах.

2. В пространстве %2 конструктивно построены примеры функций с новыми свойствами их величин наименьших уклонений или определенными требованиями на множество элементов наилучшего приближения.

3. Получено решение обратной задачи теории рациональных аппроксимаций в пространстве СЛ для случая строгого убывания членов исходной последовательности.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит

теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории приближений и приложениях.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Саратовских зимних школах по теории функций и приближений в 1994 и 1996 годах, на Воронежской зимней математической школе в 1995 году, на научных семинарах механико-математического факультета МГУ: по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством член-корреспондента РАН, профессора П. Л. Ульянова, профессора М. К. Потапова и профессора М. И. Дьяченко в 1995-1996 годах, по теории приближений и граничным свойствам функций под руководством профессора Е. П. Долженко и профессора Е. А. Севастьянова в 1993-1996 годах, по теории сплайнов под руководством профессора С. Б. Стечкина в 1994 году, по избранным вопросам теории функций под руководством д. ф.-м. н. А. И. Аптекарева, доцента В. В. Вавилова, доцента В. Н. Сорокина, к. ф.-м. н. В. С. Буярова в 1993 году; на семинаре по вычислительной математике под руководством профессора Е. П. Жидкова в 1993-1996 годах.

Публикации. По теме диссертации опубликованы научные работы (список публикаций в конце автореферата). Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, четырех глав, вюпочащих в себя 16 параграфов, и списка литературы, содержащего 53 наименования. Общий объем работы — 126 страниц.

Содержание диссертации. Во введении дается краткий обзор ранее полученных результатов по рассматриваемым вопросам, приводятся необходимые определения и основные теоремы.

Формулировки результатов главы I дадим в случае аппроксимации в линейном нормированном пространстве. Пусть в этом пространстве для некоторых элементов определена операция умножения и выделен элемент д, все натуральные степени которого принадлежат этому пространству. Подпространством полиномов степени не выше п, где п — целое неотрицательное число, назовем следующую линейную оболочку

Рп = Ьт (1, <7, ..., д"); Р = и Р„.

Символом СЗП обозначим множество всех обратимых полиномов степени не выше тг = 0, 1, 2, ..., С} = и СЗл- Предполагаем, что для произвольных Р 6 Р и ф £ <3 произведение Р<Э-1 принадлежит исходному пространству. Кроме того, считаем, что для любого полинома V существует такое число т, что 1 — IV Е С} при I € (0, г); для произвольного полинома и возможно разложение элемента и (1 — Ь V )-1 по параметру i 6 (0, т) в следующем виде

и{1-ьу)~1 = и + шу + 0*{г), 1И*)|| = о(0,

Введем следующие обозначения:

р еРк,Я € С1т}, Як,т(Л= шГ II/-г II,

г€П.к,т

^ ||/-рд-Ч1, (?) = 1 + Ц/Ц.

яеР„

Для величин полиномиальных уклонении Як,о{1) в основном используем обычное обозначение Ек(/). Числа Як,,п{Л при фиксированном элементе / образуют таблицу Чебышева.

теорема 1. Зафиксируем натуральное число тп, целые неотрицательные числа .ч и к > з л элемент /.

a) Пусть £*_„_!(/) > Ек{}) > Ек+т(/), тогда имеет место неравенство Ек(/) > Як,т+з{/)-

b) Пусть > Ек{}) = Як,,п+Л/), тогда имеет место равенство Ек{/) = Ек+т(/) ■

Следующая теорема определяет необходимое условие на элементы /, для которых нулевая строка и главная диагональ таблицы Чебышева совпадают.

теорема 2. Зафиксируем /. Если при любом натуральном значении числа п выполнено равенство Е„(/) = Яп,п{/), тогда либо все элементы нулевой строки в таблице Чебышева равны между собой, либо для некоторого натурального числа к нулевая строка имеет следующую структуру

Е0(/) = ... = Ек-М) > Ек(Л = = ЕМ) = • • •

При дополнительных требованиях на классы рациональных функций имеют место следующие результаты.

Теорема 3. Зафиксируем /, натуральное число т и целые неотрицательные числа в и к > в, полином 6 0,,п, причем 3<3 = з < 7П.

а) Пусть -/?£_,_[(/; Я) > ЯК/; (?) > 1?к+тЧ(/; Я), тогда имеет

место неравенство R*k(/; Q) > Rk,m+s(f)-

b) Пусть Rk_s_r{f-, Q) > Rk{}\ Q) = Rk,m+S{f), тогда имеет место равенство R¡.{f\ Q) = Л£+1П_у(/; Q) ■

Теорема 4. Зафиксируем f, натуральное число m и целое неотрицательное число п. Пусть рациональная функция наилучшего приближения порядка (л, т) элемента / имеет вид Р® Q~l, ЭРЦ = k < 11, 0Q — j < тп. Положим u = max { n + j, m + к }. а) ЕслиЩЦ; Q) > ВД; Q2), то Л£(/; Q) > Дп,т(/). Ь; ЕслпЩ(/; Q) = Лп,,„(/), то ВД; Q) = Л^/; Q2). В главе II рассматриваются рациональные приближения порядка (к, 1) в пространстве Харди Нч- Если рациональная функция г с полюсом в точке 1 /с является функцией наилучшего приближения для / € Т1ъ степени не выше (к, 1), то в этом случае из известного результата В. Д. Ерохина 15 имеют место следующие интерполяционные равенства

/(0) = г(0), /'(0) = г'(0), f{h-l)(0) = г<*"», f(c) = г (с), /'(с) = г'(с).

ТЕОРЕМА 9. Для любого целого неотрицательного значения к существует функция f из пространства Нг я рациональная функция г степени (k, 1), интерполирующая f в нуле с кратностью к и в точке, инверсной собственному полюсу дважды, но не являющаяся рациональной функцией наилучшего приближения степени (k, 1).

Для каждого натурального числа п символом vV(n) обозначим количество индексов m € [0, п], при которых совпадают ве-

личины Ет(/) и Дт,т(/). В работе Е. П. Долженко 17 были построены примеры непрерывных функции на отрезке Д с различными дополнительными свойствами, для аппроксимаций которых в С(Д) осуществляется равенство

п—юо

Для случая пространства Н% при условии ЯП:П(/) > 0 в диссертации получено неравенство

М(тг) <2 + 1о§2 п.

Из сравнения этих результатов возникает гипотеза: Е„(/) > /?„,!(/) для / € Т^ДР,,. Оказывается, что справедлив следующий результат.

СЛЕДСТВИЕ 10.1. Для любого целого неотрицательного числа к существует такая функция / из пространства НДР, что при каждом целом неотрицательном значении ш выполнены равенства

Ек+"2т(1) = Як+2т,\{Л-

Следующие две теоремы показывают, что структура первой строки таблицы Чебышева отличается от строения каждой диагонали, если ограничиться только их ненулевыми элементами.

теорема 12. Зафиксируем целое неотрицательное число в и натуральное число т. Тогда существует / 6 Н^(Т>)\1{,,1 такая, что выполнено соотношение

Л.д(Л = Л,+т.!(/).

17 долженко е. II., Сравнение скоростей рациональной и полиномиальной аппроксимаций // Матем. заметки. 1967. Т. 1(3). С. 313- 320.

Теорема 5. Пусть / £ W.2\R.n,,n, где п и ш — фиксированные целые неотрицательные числа, тогда выполнено строгое неравенство

Яп, m (Я > Rn+i , m+l

Основной задачей, рассматриваемой в главе III, является конструктивное построение функций / из пространства имеющих неедннственный рациональный аппроксимант, как наилучший, так и локально наилучший.

Теорема 13. Для любого целого неотрицательного к существует / 6 Hi, имеющая ровно четыре различные рациональные функции наилучшего приближения степени (k, 1).

следствие 14.1. Пусть зафиксировано целое неотрицательное число к. Тогда при любом натуральном значении п > к множество рациональных функций наилучшего приближения степени не выше (k, 1) функции f(z) = z" в пространстве "Ki имеет мощность континуума и полюсы этих рациональных функций на комплексной плоскости образуют окружность.

теорема 15. Для любого натурального числа к найдется функция / пз пространства Н?, обладающая наилучшим локальным неглобальным рациональным приближением степени (k, 1).

Бесконечно малая последовательность { а„ действительных чисел называется допустимой, если она либо строго убывает, либо существует такое натуральное число га, что

а о > а 1 > ... > а m = а m+i = ... =0.

Основным результатом заключительной главы диссертации является следующая

теорема 17. Для любой допустимой последовательности 0 пространстве С А существует такая функция /, что величины ее рациональных приближений удовлетворяют системе равенств Я„}П(/) = о„, п — 0, 1, 2,----

Работы автора по теме диссертации

[1] Назаренко М. А., О возможности совпадения полиномиальной и рациональной аппроксимаций первой степени в пространстве Нч(Т>) // Сообщения ОИЯИ, Р5-93-284, Дубна, 1993.

[2] Назаренко М. А., Некоторые свойства рациональных аппроксимаций степени (к, 1) в пространстве Харди НчС^) // Препринт ОИЯИ, Р5-94-292, Дубна, 1994.

[3] Назаренко М. А., О наилучшем локальном неглобальном рациональном приближении в пространстве И^СР) // Препринт ОИЯИ, Р5-94-405, Дубна, 1994.

[4] Назаренко М. А., О возможности наилучшего локального неглобального рационального приближения в пространстве Харди 'Ц.ч^Р) // Воронежская зимняя математическая школа — 1995. Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики (тезисы докладов), Воронеж. 1995. 163.

[5] Назаренко М. А., Некоторые соотношения между величинами полиномиальных и рациональных уклонений в линей-

ных пространствах // Препринт ОИЯИ, Р5-95-483, Дубна,

1995.

[6] Назаренко М. А., О функциях из пространства Харди Hi(Р), имеющих несколько различных рациональных функций наилучшего приближения // Препринт ОИЯИ, Р5-95-507, Дубна, 1995.

[7] Назаренко М. А., Комплексный вариант теоремы Балле Пуссена // Препринт ОИЯИ, Р5-95-508, Дубна, 1995.

[8] Назаренко М. А., О конструктивном решении проблемы Браесса // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 8-ой Саратовской зимней школы. 30 января — б февраля 1996 года. Издательство Саратовского университета, 1996.

[9] Nazarenko M. A., Relations between rational and polynomial approximations in Banach spaces // Analysis Mathematica

1996. 22(1), 51-63.

[10] Назаренко M. А., Существование функции с заданным» рациональными приближениями в пространстве С А // Вестник Московского университета, сер. 1. Математика. Механика. 1997. N 4, 20-22.