Нелинейное взаимодействие мод осцилляций заряженной капли и заряженного слоя жидкости на поверхности тающей градины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

4857832

Корниенко Денис Олегович

НЕЛИНЕЙНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МОД ОСЦИЛЛЯЦИИ ЗАРЯЖЕННОЙ КАПЛИ И ЗАРЯЖЕННОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ТАЮЩЕЙ ГРАДИНЫ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 С ОКТ 2011

Пермь-2011

4857832

Работа выполнена в лаборатории математического моделирования физических процессов Ярославского государственного университета им. П.Г.Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Григорьев А.И.

Официальные оппоненты: Любимов Дмитрий Викторович

доктор физико-математических наук, профессор

Коромыслов Вячеслав Александрович доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: Ярославский государственный технический

университет, г. Ярославль

Защита диссертации состоится 15 ноября 2011 года в 1515 часов на заседании диссертационного совета Д 212.189.06 при ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет» по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета ПТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного национального исследовательского университета; электронная версия автореферата доступна на сайте ПГНИУ по адресу: http://www.psu.ru

Автореферат разослан «_» октября 2011г.

Ученый секретарь .

диссертационного Совета

кандидат физ.-мат. наук, доцент В.Г.Гилёв

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследование нелинейных осцилляции и устойчивости заряженных капель по отношению к собственному заряду, а также исследование пространственной и временной эволюции свободной поверхности сильно заряженного тонкого слоя жидкости на твердой подложке с отличной от нуля средней кривизной представляет интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями. Одно из них связано с теорией грозового электричества, поскольку электростатическая неустойчивость заряженной поверхности жидкости (поверхности капель и тающих градин), сопровождающаяся эмиссией значительного количества сильно заряженных микрокапелек, играет важную роль в физическом механизме зарождения разряда линейной молнии. Электростатическая неустойчивость заряженной поверхности тонкого слоя жидкости на твердой подложке играет существенную роль в физическом механизме функционирования масс-спектрометров для анализа органических молекул и термически нестабильных химических соединений, а также при анализе физических особенностей функционирования жидкометаллических источников ионов. Результаты исследований имеют важное значение не только для тех приложений в которых присутствуют указанные объекты, но и играют фундаментальную роль в общей теории и практике применения явления электрогидродинамической неустойчивости поверхности жидкости.

Линейные осцилляции слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра по отношению к собственному и поляризационному зарядам при различных осложняющих физических факторах (вязкость жидкости, расклинивающее давление) исследовались неоднократно. Также существуют работы ио нелинейному анализу, но лишь для одномодовой начальной деформации свободной поверхности жидкого слоя на поверхности твердого сферического ядра. Усложнение вида начальных условий в нелинейном аналитическом исследовании позволяет расширить круг возможных нелинейных взаимодействий мод осцилляций жидкого слоя на более широкий их класс.

3

Цель работы заключалась в исследовании: физических закономерностей потери каплей устойчивости по отношению к поверхностному заряду, с учетом взаимодействия амплитуды сфероидальной деформации с модами капиллярных осцилляций; возможности накопления заряженной тающей градиной заряда достаточного для развития разрядных процессов на се поверхности при столкновениях с одноименно заряженными малыми капельками; нелинейных осцилляций заряженного слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра; вторичного комбинационного и вырожденного резонансного взаимодействия мод осцилляций на поверхности тающей заряженной градины.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• выполнен аналитический нелинейный асимптотический рассчет осцилляций сфероидальной заряженной капли идеальной идеальнопроводящей жидкости во внешней несжимаемой диэлектрической среде;

• теоретически решена задача об электростатическом взаимодействии обводненной сферической заряженной градины с маленькой сферической заряженной капелькой радиусом много меньшим, чем радиус градины во внешнем электростатическом поле;

• аналитический рассчет нелинейных осцилляций слоя идеальной проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра;

• построены решения вблизи всех возможных резонансных комбинаций частот капиллярных осцилляций заряженного слоя проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

Научная новизна проведенных исследований заключается в том, что в ней впервые описан механизм осциллирующих во времени «динамических» эмиссионных выступов на вершине заряженной капли в период распадной неустойчивости Рэлея;

- впервые проведен теоретический анализ возможности накопления

заряженной градиной, падающей в грозовом облаке во внешнем электрическом

поле, заряда, достаточного для реализации гидродинамических эффектов, при

4

столкновении с мелкими капельками жидкости, несущими заряд того же знака, что и градина;

впервые исследовано нелинейное межмодовое резонансное взаимодействие в задаче о нелинейных осцилляциях заряженного слоя идеальной проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра при многомодовой начальной деформации.

Научная и практическое значение работы заключается в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о нелинейных эффектах, происходящих в жидкокапельных дисперсных системах, определяющую роль в эволюции которых играют заряды и электрические поля. Результаты исследования могут быть использованы в разнообразных академических, технических и технологических приложениях. Полученные результаты позволяют более точно вычислять параметры распада неустойчивых капель при изучении коллективных процессов в естественных жидкокапельных облаках, а также в аэрозолях, образующихся в технических устройствах, использующих диспергирование жидкостей (каплеструйная печать, лакокрасочные распылители). Результаты работы могут найти применениепри разработке новых конструкций жидкостных масс-спектрометров.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты аналитического рассчета осцилляций и физического механизма потери устойчивости сфероидальной заряженной каплей идеальной несжимаемой проводящей жидкости

2. Результаты Анализа электростатического взаимодействия обводненной заряженной градины с маленькой одноименно заряженной капелькой во внешнем электростатическом поле.

3. Результаты нелинейного аналитического асимптотического рассчета осцилляций конечной амплитуды заряженного слоя проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

4. Результаты анализа внутреннего нелинейного резонансного обмена энергией между модами осцилляции заряженного слоя проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 научных работ, из них 2 статьи в научных журналах из перечня ВАК [6,7].

Личный вклад автора. Работы [1-3,5] выполнены и опубликованы автором лично. В остальных работах теоретические рассчеты и обработка результатов проведены диссертантом, обсуждение и анализ проводились совместно с соавторами

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на: Всероссийской конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2008); VIII и IX Международных конференциях «Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере» (Ярославль, 2009, 2011); Пятнадцатой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Кемерово-Томск, 2009); 4-ой международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2009); Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование и наука в технических и экономических вузах» (Ярославль, 2010); шестнадцатой и семнадцатой Всероссийских научных конференциях студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010; Екатеринбург, 2011); 24-ой научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 20 Юг).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 124 наименований. Общий объем диссертации составляет 140 страниц, включающий 36 рисунков и 1 таблицу.

Содержание работы. Во введении обоснованы актуальность исследуемой проблеммы, цели,

6

научная новизна и практическая ценность работы, а также сормулированы основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертации представляет собой критический литературный обзор, в котором рассмотрены основные этапы формирования представления о развитии неустойчивости капли; прослежена эволюция представлений о нелинейных осцилляциях капли и жидкого проводящего слоя на поверхности твердого ядра; проанализированы экспериментальные и теоретические работы по исследованию нелинейных осцилляций поверхности заряженных капель и жидкого заряженного слоя на поверхности твердого ядра; дан ретроспективный анализ проблемы и отмечено, что несмотря на обилие выполненных теоретических работ, исследования нелинейных осцилляций заряженного слоя проводящей жидкости на поверхности твердого ядра при многомодовой начальной деформации остаются малоизученными.

Во второй главе диссертации, в первом параграфе исследуется устойчивость заряженной капли идеальной идеальнопроводящей жидкости во внешней идеальной несжимаемой диэлектрической среде. Предполагалось, что заряд капли равен критическому в смысле реализации ее неустойчивости по отношению к поверхностному заряду. При этом теряет устойчивость основная мода капиллярных осцилляций капли, и капля принимает форму вытянутого сфероида, эксцентриситет (е) которого растет со временем по мере роста амплитуды неустойчивой основной моды. Уравнение поверхности вытянутого сфероида в сферических координатах с началом в центре масс невозмущенной капли имеет вид

Задача решалась в сферических координатах, связанных с центром масс капли, в виде разложения по полиномам Лежандра в безразмерных переменных, в которых Лц = р{ = а = 1, во втором порядке малости по квадрату эксцентриситета. Возмущение свободной поверхности капли £($,/), как и все неиз-

вестные функции, ввиду осевой симметрии задачи искались в виде разложений по полиномам Лежандра:

л=О

В результате решения была получена система связанных дифференциальных уравнений для отыскания временной зависимости неизвестных коэффициентов М„(г), которая имеет вид:

диМп{1) + (*» + Уа{п) ■ е2 + г» • е4) ■ М„(() =

-(/„±4(»)• е4)• 3,,М„±4 -( Д±2(и)*е2 + /и±2(")'е4)• диМпг2(1)-

~(г„±4 (")" е4)' ^«±4(0 - (>"„±2 (и) • е2 + гя±2(и) • е4 ) • Л*и±2 (0,

Также в первом параграфе было получено дисперсионное уравнение задачи и показано, что помимо осциллирующей волны с номером и за счет нелинейного взаимодействия амплитуд осцилляций с амплитудой деформаций будут возбуждаться еще четыре моды с номерами п ± 2 и и ± 4.

I

Во втором параграфе методом последовательных приближений решалась полученная система дифференциальных уравнений с использованием начальных условий

1=0: -РМ 5^(5,0 = 0,

где - амплитуда начального возмущения.

Результаты расчетов приведены на рис.1. Из графиков видно, что как только начнется увеличение амплитуды неустойчивой основной моды, четвертая и шестая моды, связанные с ней взаимодействием, также претерпевают неустойчивость. Таким образом, формирование эмиссионных выступов на вершинах капли идет с самого начала реализации неустойчивости основной моды. Поскольку все моды, неустойчивость которых порождена их взаимодействием с основной модой, аддитивным образом содержат слагаемые, периодически из-

меняющиеся во времени, то вершины эмитирующих выступов будут осциллировать. _

0 0.05 0 // ✓ / ✓ К, 0.05 / / / / / ✓ /

1 1 1 г 1 г 1 Рис. la.IV = 3.9. 1 2 1 Рис. 16. ТУ = 4.3

Зависимости амплитуд мод (?), где _/ = 2; 4; 6, от времени, измеренного в долях периода основной моды при IV - 0, р = 1(Г3 и е1 =0.3. Зависимость для £2(0 нанесена штрихами; для ^(О - точками; для £6(/) - сплошной линией.

В третьей главе диссертации исследованы нелинейные осцилляции заряженного слоя идеальной несжимаемой электропроводной жидкости на поверхности твердого сферического ядра и найдены решения вблизи вторичных комбинационных и вырожденных резонансов.

В первом параграфе решалась задача о возможности накопления градиной, падающей в грозовом облаке во внешнем электрическом поле, заряда достаточной величины для реализации электрогидродинамических эффектов при взаимодействии с маленькими капельками жидкости.

В результате решения поставленной задачи было получено выражение для силы взаимодействия точечного заряда с градиной. Показано, что на определенных достаточно малых расстояниях между каплей и градиной из-за наличия внешнего электростатического поля их взаимодействие будет носить характер притяжения. В итоге, на градину вдоль оси симметрии системы будет падать поток одноименно заряженных мелких капелек, что приведёт к увеличению ее заряда и массы. Когда при заданной напряженности электростатического поля заряд на градине достигнет величины

поток капель на градину прекратится.

Показано, что увеличение Е0 при прочих равных условиях приводит к росту угла раствора телесного угла, внутри которого маленькие капельки могут попасть на одноименно заряженную градину. Увеличение заряда градины 0, при прочих равных условиях приводит к уменьшению угла раствора телесного угла. Это означает, что по мере увеличения заряда градины в постоянном поле £0, скорость набора ею заряда уменьшается.

Во втором параграфе третьей главы исследовались нелинейные осцилляции заряженного сферически симметричного слоя идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с внешним радиусом К, плотностью р и коэффициентом поверхностного натяжения а на поверхности твердого сферического ядра радиусом 7?0. На свободной поверхности жидкости распределен заряд ц. Примем, что в начальный момент времени / = О равновесная сферическая форма свободной поверхности слоя жидкости претерпела виртуальную деформацию конечной амплитуды, существенно меньшей радиуса Л и меньшей толщины слоя жидкости, пропорциональную одной из мод капиллярных осцилляций слоя жидкости. Будем исследовать нелинейные осцилляции градины при (> 0.

Рассмотрение проводилось в безразмерных переменных при Л = сг = р = 1 в сферической системе координат {г, 3, (р} с началом в центре масс системы. Решение задачи было проведено в квадратичном приближении по амплитуде осцилляций, которая принималась за малый параметр е, с использованием известного асимптотического метода многих масштабов.

В результате решения поставленной задачи и удовлетворения всем граничным условиям получим дифференциальное уравнение на нахождение неизвестных временных коэффициентов в выражении для возмущения

поверхности. После удовлетворения начальным условиям, были получены во втором порядке малости выражения для амплитудных коэффициентов возмущения свободной поверхности осциллирующего слоя жидкости, в которых содержатся слагаемые вида

ук„п + <а„со щ

А(±) -Л%« " , 2

<=ПХ„(П-Щ2+П-1Г)-, Хп =

о I

IV =

к

4л'

1 + и(1 + Ло2"+|) '

Здесь у^п'Л^п ' коэффициенты зависящие от номеров мод осцилляций и физических параметров задачи.

Таюке исследованы условия возникновения комбинационных резонансов при докритическом значении зарядового параметра. Результаты исследования приведены на рис.3.

Рис. 3. Зависимости значения зарядового параметра ¡V от безразмерного радиуса твердого ядра для различных резонансных ситуаций

В третьем параграфе третьей главы более детально исследовано нелинейное взаимодействие мод осцилляций. В случае, когда существует резонансное взаимодействие, т.е. выполняется одно из равенств п = к,р,д, в функции неоднородности дифференциального уравнения (1) содержатся слагаемые, которые в решении будут давать дроби с малыми знаменателями, и при определенных комбинациях физических параметров эти знаменатели будут принимать

нулевые значения. В частности, для любых трех мод с номерами р,д,к условие

обращения в ноль знаменателя в выражении А^ имеет вид

Щ

Для того чтобы получить решения вблизи указанных резонансов введем так называемый параметр расстройки:

<ар-ач=ык( 1 + £0"), Тогда в условия исключения секулярных членов добавятся новые слагаемые

£ I схр(;Т1и4ст) ^(Г,) (Г,) А« =0; + £ I ехр(/Т^а) ^(П) лЦ =0;

"1\ ксЕрс-

£ £ ехр(-/Г,^а) 4')(Г,) ^(Т,) Л« =0;

где

ЛЦ =Гчрк+Грчк ±Км + )®Л

Решения для коэффициентов А/'1' (Г0>7"|) с у = р; с/; к в первом порядке малости имеют вид:

41' №)соз((шя )т0 -^(г,));

М« (7-0,7]) = 4«) (71 Г0 +41' (2|)); (3)

Л/0) (Г0,7]) = (7] )со3 Г0 + (7])). Также рассматривался случай вырожденного резонанса, т.е. когда для индексов выполняется равенство р = Ц {в нижеследующих рассуждениях эти индексы обозначим одной буквой А), тогда выражение для параметра расстройки будет определяться следующим образом

2 сон =ак(1 + сг£). Проводя расчеты аналогичные приведенным выше амплитудные коэффи-

циенты первого порядка малости для случая вырожденного резонанса будут иметь вид

мР(Т0,Ц) = 241)(7])соз(2(Эа Г0 - (Г,));

(Г0,Г,) = 241' (ГОехр^ Г0 + *|')(Г.))- (5)

Необходимо отметить, что сами значения частот а„ зависят от величины заряда на градине (от параметра IV). Причем при значении параметра \¥сг = 4 частота колебаний основной моды (с п = 2) обращается в нуль, дальнейшее же увеличение IV приводит к тому, что свободная поверхность слоя жидкости становится неустойчивой по отношению к собственному заряду. Поэтому вторичные резонансы оказывают влияние на нелинейные осцилляции слоя жидкости и их имеет смысл исследовать, только в том случае, если это соотношение выполняются при IV < IVсг.

С использованием результатов численных расчетов построены графики зависимостей амплитудных коэффициентов (3) и (5) и представлены на рис.4-7. На графиках рис.4,5 представлены временные зависимости амплитудных коэффициентов возмущения свободной поверхности слоя жидкости, когда реализовано вырожденное резонансное взаимодействие между модами с номерами ¿ = 18-сплошная черная линия; д = 17-точечная линия; р = 5- толстая линия,

при разных значениях зарядового параметра {V. На рис.6,7 представлены аналогичные зависимости, но когда реализован вырожденный комбинационный резонанс между модами с номерами /г = 12 - сплошная линия; к = 18- толстая линия. На всех графиках е = 0.01; ^ = 0.9

мЮ

0.006

0.004

0.002

-0.002 V 50 А. 150 200

-0.004

-0.006

Рис.4. Огибающие быстро меняющихся во времени амплитуд резонансно взаимодействующих мод с номерами ¿ = 18- сплошная черная линия; ¿7 = 17 — точечная линия; р = 5 - толстая линия. IV = 3.3415

Рис. 5. Огибающие быстро меняющихся во времени амппитуд резонансно взаимодействующих мод с номерами к = 18- сплошная черная линия; д = \1— точечная линия; р = 5- толстая линия. }У = 3.393

<'(0 0.010,

0.010,_

-0.0101

Рис.6 Вырожденный резонанс ¿ = 18, Ь = 12. Огибающие быстро меняющихся во времени амплитуд резонансно взаимодействующих мод. \У = 3.335495_

Рис.7. Вырожденный резонанс ¿ = 18, А = 12. Огибающие быстро меняющихся во времени амплитуд резонансно взаимодействующих мод. \У = 3.33559_

Основные результаты и выводы

1. Показано, что на свободной поверхности осциллирующей сильно заряженной капли за счет взаимодействия мод со сфероидальной деформацией, определяющейся основной модой, также возбуждаются две соседние четные моды, связанные с ней взаимодействием. Часть энергии начальной деформации с течением времени периодически перекачивается между всеми модами, связанными взаимодействием.

2. Показано, что при наличии на капле заряда, близкого к критическому, в смысле реализации ее электростатической неустойчивости, задание начальной деформации основной моды конечной амплитуды выводит каплю из состояния устойчивости, а эмиссионные выступы на вершинах капли будут осциллировать

3. Выяснено, что в достаточно сильных внутриоблачных электростатических полях свободно падающая в грозовом облаке заряженная градина может набирать весьма большие электрические заряды при столкновении с мелкими одноименно с нею заряженными капельками, из-за сильного влияния поляризационного взаимодействия, имеющего характер притяжения.

4. Найдено выражение для осцилляций свободной поверхности слоя электропроводной несжимаемой идеальной жидкости на поверхности твердого сферического ядра при многомодовой начальной деформации.

5. Показано, что нелинейные поправки к решениям имеют резонансный вид. Множество ситуаций, в которых реализуются внутренние нелинейные резонансные взаимодействия, как вырожденные, так и вторичные комбинационные, является двухпараметрическим в пространстве радиусов ядра и заряда градины.

6. Выяснено, что в зависимости от значения заряда и радиуса градины и толщины слоя жидкости на её поверхности перекачка энергии между модами либо полностью, когда соотношение частот соответствует точному резонансу, либо частично, когда значения физических параметров отлично от резонансных значений.

Публикации по теме диссертации

1. Корниенко Д.О. Исследование механизмов неустойчивости сильно заряженной капли//Неравновесные процессы в сплошных средах: Материалы Всероссийской конф. молодых ученых. Пермь,2008.- С. 183-185.

2. Корниенко Д.О. О физическом механизме реализации неустойчивости сильнозаряженной капли//Пятнадцатая Всеросийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: Материалы конф. Кемерово-Томск., 2009. С.277-279.

3. Корниенко Д.О. Временная эволюция мод капиллярных колебаний сфероидальной заряженной капли//4-я Международная научно-техническая конфе-

ренция «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем». Пенза. 2009. С. 185-187.

4. Ширяева С.О., Корниенко Д.О., Волкова М.В. Об электростатической неустойчивости заряженной сфероидальной капли // Электронная обработка материалов -2010. №4. С.20-30.

5. Корниенко Д.О. О динамическом эмиссионном выступе на вершинах электростатически неустойчивой капли // Шестнадцатая Всеросийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: Материалы конф. Волгоград, 2010. С. 263-264.

6. Григорьев А.И., Корниенко Д.О., Ширяева С.О. О физических закономерностях заряжения градины, свободно падающей в грозовом облаке // ЖТФ. 2010. Т.80. Вып.4. С.47-51.

7. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Корниенко Д.О. О некоторых закономерностях реализации сфероидальных осцилляций и электростатической неустойчивости заряженной капли // ЖТФ. 2010 Т.80. Вып. 11. С. 11-20.

8. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Корниенко Д.О., Волкова М.В. О некоторых особенностях асимптотического расчета физических закономерностей реализации электростатической неустойчивости заряженной капли // Электронная обработка материалов -2010. №4

9. Григорьев А.И., Корниенко Д.О. Физические закономерности реализации сфероидальных осцилляций и электродинамической неустойчивости сильно заряженной капли// Дисперсные системы: XXIV научная конференция стран СНГ, 20-24 сент. 2010г., Одесса, Украина: материалы конференции / М-во образования и науки Украины, Одесский нац. унив. им. И.И. Мечникова. Одесса: Астропринт, 2010. С.89-91.

Подписано в печать 29.09.11. Формат 60x84/16. Бумага оф. Отпечатано на ризографе.

Тираж 100 экз. Заказ 23/11. Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская ,14.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Литературный обзор.

1.1. Капля и электродиспергирование жидкости

1.2 Исследования устойчивости жидкого слоя воды на поверхности градины

ГЛАВА 2. Асимптотический анализ осцилляций заряженной капли

ГЛАВА 3. Асимптотический анализ нелинейных осцилляций заряженного слоя проводящей жидкости на поверхности тающей градины

3.1. Исследование физических закономерностей заряжения градины свободно падающей в грозовом облаке

3.2. Нелинейный анализ осцилляций заряженного слоя жидкости на твердом сферическом ядре при многомодовой начальной деформации свободной поверхности

3.3 Нелинейное резонансное взаимодействие мод капиллярных осцилляций сферического слоя жидкости на поверхности тающей градины.

Актуальность темы. Исследование нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных капель по отношению к собственному заряду, а также исследование пространственной и временной эволюции свободной поверхности сильно заряженного тонкого слоя жидкости на твердой подложке с отличной от нуля средней кривизной представляет интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями. Одно из них связано с теорией грозового электричества, поскольку электростатическая неустойчивость заряженной поверхности жидкости (поверхности капель и тающих градин), сопровождающаяся эмиссией значительного количества сильно заряженных микрокапелек, играет важную роль в физическом механизме зарождения разряда линейной молнии. Электростатическая неустойчивость заряженной поверхности тонкого слоя жидкости на твердой подложке играет существенную роль в физическом механизме функционирования масс-спектрометров для анализа органических молекул и термически нестабильных химических соединений, а также при анализе физических особенностей функционирования жидкометаллических источников ионов. Результаты исследований имеют важное значение не только для тех приложений в которых присутствуют указанные объекты, но и играют фундаментальную роль в общей теории и практике применения явления электрогидродинамической неустойчивости поверхности жидкости.

Линейные осцилляции слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра по отношению к собственному и поляризационному зарядам при различных осложняющих физических факторах (вязкость жидкости, расклинивающее давление) исследовались неоднократно. Также существуют работы по нелинейному анализу, но лишь для одномодовой начальной деформации свободной поверхности жидкого слоя на поверхности твердого сферического ядра. Усложнение вида начальных условий в нелинейном аналитическом исследовании позволяет расширить круг возможных нелинейных взаимодействий мод осцилляций жидкого слоя на более широкий их класс.

Цель работы заключалась в исследовании: физических закономерностей потери каплей устойчивости по отношению к поверхностному заряду, с учетом взаимодействия амплитуды сфероидальной деформации с модами капиллярных осцилляций; возможности накопления заряженной тающей градиной заряда достаточного для развития разрядных процессов на ее поверхности при столкновениях с одноименно заряженными малыми капельками; нелинейных осцилляций заряженного слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра; вторичного комбинационного и вырожденного резонансного взаимодействия мод осцилляций на поверхности тающей заряженной градины.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• выполнен аналитический нелинейный асимптотический рассчет осцилляций сфероидальной заряженной капли идеальной идеальнопроводящей жидкости во внешней несжимаемой диэлектрической среде;

• теоретически решена задача об электростатическом взаимодействии обводненной сферической заряженной градины с маленькой сферической заряженной капелькой радиусом много меньшим, чем радиус градины во внешнем электростатическом поле;

• аналитический рассчет нелинейных осцилляций слоя идеальной проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра;

• построены решения вблизи всех возможных резонансных комбинаций частот капиллярных осцилляций заряженного слоя проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

Научная новизна проведенных исследований заключается в том, что в ней впервые описан механизм осциллирующих во времени «динамических» эмиссионных выступов на вершине заряженной капли в период распадной неустойчивости Рэлея;

- впервые проведен теоретический анализ возможности накопления заряженной градиной, падающей в грозовом облаке во внешнем электрическом поле, заряда, достаточного для реализации гидродинамических эффектов, при столкновении с мелкими капельками жидкости, несущими заряд того же знака, что и градина; впервые исследовано нелинейное межмодовое резонансное взаимодействие в задаче о нелинейных осцилляциях заряженного слоя идеальной проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра при многомодовой начальной деформации.

Научная и практическое значение работы заключается в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления ( о нелинейных эффектах, происходящих в жидкокапельных дисперсных системах, определяющую роль в эволюции которых играют заряды, и электрические поля. Результаты исследования могут быть, использованы в разнообразных академических, технических и технологических приложениях. Полученные результаты позволяют более точно вычислять параметры распада неустойчивых капель при изучении коллективных процессов г в естественных жидкокапельных облаках, а также в аэрозолях, образующихся в технических устройствах, использующих диспергирование1 жидкостей (каплеструйная печать, лакокрасочные распылители). Результаты работы могут найти применениепри разработке новых конструкций жидкостных масс-спектрометров.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты аналитического рассчета осцилляций и физического механизма' потери устойчивости сфероидальной заряженной каплей идеальной несжимаемой проводящей жидкости

2. Результаты Анализа электростатического взаимодействия* обводненной заряженной градины с маленькой одноименно заряженной капелькой во внешнем электростатическом поле.

3. Результаты нелинейного аналитического асимптотического рассчета осцилляций конечной амплитуды заряженного слоя проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

4. Результаты анализа внутреннего нелинейного резонансного обмена энергией между модами осцилляций заряженного слоя проводящей жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах [1-9]. Работы [1-3,5] выполнены и опубликованы автором лично. В остальных работах теоретические рассчёты и обработка результатов проведены диссертантом, обсуждение и анализ проводился совместно с соавторами. Работы [6,7] опубликованы в научном журнале из перечня ВАК.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на: Всероссийской конф; молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2008); VIII и IX Международных конференциях «Волновая электрогидродинамика проводящей жидкости. Долгоживущие плазменные образования и малоизученные формы естественных электрических разрядов в атмосфере» (Ярославль, 2009, 2011); Пятнадцатой: Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых (Кемерово-Томск,. 2009); 4-ой международной научно-технической .конференции «Аналитические и численные методы моделирования; естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2009); Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование и наука в технических и экономических вузах» (Ярославль, 2010); шестнадцатой и семнадцатой Всероссийских научных конференциях студентов-физиков и молодых ученых (Волгоград, 2010; Екатеринбург, 2011); 24-ой научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 20 Юг):

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 127 наименований. Общий объем диссертации составляет 139 страниц, включающий 36 рисунка.

1. Bailey A.G. Electrostatic atomization of liquids (revue)// Sci. Prog., Oxf. 1974. V.61.P. 555-581.

2. Bailey A.G. The Theory and practice of electrostatic spraying (revue) // Atomization and Spray Technology. 1986. V.2. P.95-134.

3. Bartoli C., Rohden H. von, Thompson S.P., Blommers J. Recent development in high current liquid metal ion sources for space propulsion // Vacuum. 1984. V. 34. №1-2. P.43-46.

4. Berg T.G.O., Trainer RJ , Vaughan U. Stable, unstable and metastable charged droplets // J. Atmos. Sci. 1970. V.27. №8. P. 1173-1181.

5. Cloupeau M., Prunet-Foch B. Electrostatic spraying of liquids: Main functioning modes // J. Electrostatics. 1990. V.25. №2. P. 165-184.

6. Duft D., Achtzehn Т., Muller R. et al. // Nature. 2003. V. 421. P. 128.

7. English W. N. Corona from a water drop // Phys. Rev. 1948. V.74. №2. P. 179189.

8. Fenn J.B., Mann M, Mmg C.K. et al. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules // Science. 1989: V.246. №4926. P.64-71.

9. Garton C.G., Krasucki Z. Bubbles in insulating liquids: stability in an electric field//Proc. Roy. Soc. London. 1964. V.280A. № 138. P.211-226.

10. Grigor'ev A. I., Grigor'eva I'. D., Shiryaeva S. O. Ball lightning and St. Elmo's fire as forms of thunderstorm activity // J. Sci. Exploration. 1991. V.5, № 2. P.163-190.

11. Grigor'ev A.I., Munichev.M.I., Shiryaeva S.O. Influence of Disjoining Pressure upon Stability in the Electric Field of a Charged Liquid Film on the Surface of a Hard Core // J. Coll. Int. Sci. 1994. №166. P.267-274.

12. Grigor'ev A. I., Shiryaeva S. O. The possible physical mechanism of initiation and growth of lightning // Physica Scripta. 1996. V.54. P.660-666.

13. Inculet J.J., Kromann R. Breakup of large water droplets by electric fields // IEEE Trans. Ind. Appl. 1989. V.25. №5. P.945-948.

14. Inculet I. I., Floryan J. M., Haywood R. J. Dynamics of water droplets breakup in electric fields // IEEE Trans. Ind. Appl. 1992. V.28. №5. P. 1203-1209.

15. Jones A.K., Thong K.C. The production of charged monodisperse fiiel droplets by electrical dispersion// J. Phys. D.: Appl. Phys. 1971. V.4. №8. P.l 159-1165.

16. Jeynes C. Novel applications of ion implantation // Vacuum. 1989. V.39. №1112. P.1047-1056.

17. Latham J. The mass loss of water drops falling in electric fields // Quart. J. R. Met. Soc. 1965. Y.91. №387. P.87-91'

18. Latham J., Myers Y. Loss of charge and mass from raindrops falling in intense electric fields//J. Geophys. Res. 1970. V.75. №3. P.515-520.

19. Mahoney J.F„ Taylor S., Perei J. Fine powder production using electrohydrodynamic atomization // IEEE Trans. Ind. Appl. 1987. V.IA-23. №2. P. 197-204.

20. Mason J., Mason N. The physics of a thunderstorm // Eur. J. Phys. 2003. V.24. P.99-110.

21. Miskovsky N, M., Chung M., Cutler P. H. et al. An electrohydrodynamic formalism for ion-and. droplet formation in stressed conducting fluids // J. Vac. Sci, Technol. 1988. V.6. № 5. P.2992-2997.

22. Rayleigh, Lord. On equilibrium of liquid^ conducting masses charged with electricity // Phil. Mag. 1882. V.14. P.184-186.

23. Richards C. N., Damon C. A. The hydrodynamic instability of water drops falling at terminal velocity in vertical electric fields //J. Geophys. Res. 1971. V.76. №15. P.3445-3455.

24. Roulleau M., Desbois M. Study of evaporation and instability of charged water droplets//J. Atmos. Sci. 1972. V.29. №3. P.565-569.

25. Rozhkov I., Vakakis A.F., Rand R.H. Non-linear modal interaction in the oscillations of a liquid drop in a gravitational field // Int. J. Non-linear Mechanics. 2001. V.36. P:803-812.

26. Ryce S. A., Patriarche D. A. Energy considerations in the electrostatic dispersion of liquids // Canad. J. Phys. 1965. V.43. №12. P.2192-2199.

27. Sample S.B., Raghupathy B. Production of liquid aerosols by harmonic electrical spraying // J. Coll. Interface Sci. 1971. V.41. №2. P.185-193.

28. Schweizer J.W., Hanson D.N. Stability limit of charged drops // J. Coll. Interface Sci. 1971. V.35. №3. P.417-423.

29. Tomita Y., Ishibashi Y., Yokoyama T. Fundamental studies on an electrostatic ink jetprinter//Bull. JSME.1986. V.29. № 257. P.3737-3743.

30. Tsamopolous J.A., Brown,R.A. Resonant oscillations.of inviscid charged*drops // J. Fluid Mech. 1984. V.147.i>:373-395.

31. Vonnegut В., Neubauer R. Production of monodisperse liquid' particles by electrical atomization*// J. Coll. Sci. 1952. V. 7. №6. P.616-622.34: Wagner A., Hall T.M: Liquid gold ion source // Vacuum Sci and Techn. 1979. V.16. №6. P.1871-1874.

32. Woosley J.P., Turnbull RJ , Kirn K. Field* injection electrostatic spraying of liquid hydrogen // J. Appl. Phys. 1988. V.64. №9. P.4278-4284.

33. Бейтуганов M.H. Об обусловливаемых сильными электрическими полями физических явлениях в облаках // Метеорология и гидрология. 1989. №9. С.42-49.

34. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. введение в механику сплошных сред. М.: Наука, 1982. 336 с.

35. Бураев Т.К , Верещагин И.П., Пашин Т.М. Исследование процессов распыления жидкостей в электростатическом поле // Сильныеэлектрические поля в технологических процессах. Выи.З. М.: Энергия, 1979. С.87-105.

36. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 436 с.

37. Габович М.Д. Жидкометаллические эмиттеры ионов // УФН. 1983. Т. 140. №1. С.137-151.

38. Григорьев А.И. О механизме неустойчивости заряженной проводящей* капли//ЖТФ. 1985. Вып.7. С.1272-1278.

39. Григорьев А.И. Об ограниченной применимости закона парности взаимодействий // Проблемы качества подготовки специалистов. Тезисы докладов научно-методической конференции физического факультета ЯрГУ. Ярославль: Изд. ЯрЕУ, 2005. С.20-22.

40. Григорьев1 А.И., Дорошенко Д.Н: Критические условия неустойчивости водяной1 пленки на поверхности неподвижной заряженной тающей во внешнем электрическом поле градины // Изв. АН ССОН. МЖГ. 1987. №1. С.10-15.

41. Григорьев- А.И., Жаров А-.Н., Ширяева« С.О. Влияние формы начальной! деформации заряженной капли на нелинейные поправки к критическим условиям реализации ее неустойчивости // ЖТФ. 2005. Т.75. №8. С.44-53.

42. Григорьев А.И., Корниенко Д.О., Ширяева С.О. О физических закономерностях заряжения градины, свободно падающей в грозовом облаке // ЖТФ. 2010. Т.80. Вып.4. С.47-51.

43. Григорьев А.И., Коромыслов В.А, Ширяева- С.О. Неустойчивость заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра //ЖТФ. 1997. Т.67. Вып.9. С. 8-13

44. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Влияние расклинивающего давления на развитие неустойчивости заряженного тонкого слоя жидкости на твердом сферическом ядре // Изв. РАН. МЖГ. 1999. №1. С. 102-106.

45. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной сферической вязкой капли, движущейся-относительно среды // ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.7. С.26-34.

46. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. О возможности зажигания коронного, разряда у поверхности нелинейно-осциллирующего жидкого слоя на поверхности заряжено градины // ЖТФ. 2009. Т.79. 1 Вып.11. С.10-19'

47. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. О возможности зажигания коронного разряда у поверхности нелинейно-осциллирующего жидкого слоя на поверхности заряженной градины в однородном электростатическом поле //ЖТФ. 2010. Т.80. Вып.8. С.22-31.

48. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. Устойчивость заряженного сферического слоя маловязкой жидкости на поверхности твердого ядра // ЖТФ. 1990. Т.60. Вып.6. С.29-36.

49. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. Рэлеевская неустойчивость заряженной вязкой капли//Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. №5. С.11-17.

50. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. Об одном методе решения, уравнении^ Навье-Стокса в криволинейных системах координат // ЖВММФ. 1992. Т.32. №6. С.929-938.

51. Григорьев А.И., Морозов В.В., Ширяева С.О. О формировании и диспергировании пленки электролита на оплавляющемся в результатеджоулева тепловыделения ледяном электроде // ЖТФ. 2002. Т.72. Вып. 10. С.33-37.

52. Григорьев А.И., Синкевич O.A. К механизму развития неустойчивости капли жидкости в электростатическом поле // Изв. АН СССР.1 МЖГ. 1985. №6. С. 10-15.

53. Григорьев А.И., Синкевич O.A. О природе электрических явлений в воронке смерча//ЖТФ. 1986. Т. 56. Вып.Ю: С.1985-1987.

54. Григорьев А.И., Ширяева С, О. Механизм развития ступенчатого лидера и внутриоблачного ветвления«линейной молнии // ЖТФ. 1989. Т.59. Вып.5. С.6-13.

55. Григорьев А.И., Ширяева4 С.О., а; Закономерности' рэлеевского? распада заряженной капли //ЖТФ. 1991. Т.6Г. Вып.З. С.19-28'.

56. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Ь,, О механизме «коронного»- разряда с капли воды //ИФЖ. 1991'. Т.60. №4. С.632-641.

57. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Электрогидродинамические аспекты функционирования жидкометаллических источников ионов // 1992. ЖТФ. Т.62. Вып. 12. С.9-20.4

58. Григорьев А.И., Ширяева С.О: Капиллярные неустойчивости заряженной-поверхности капель и. электродиспергирование жидкостей'(обзор) // Изв. РАН: МЖГ. 1994 №3; С.3-22.

59. Григорьев А. И., Ширяева С.О., Белавина Е.И. Равновесная форма заряженной капли вэлектрическом и< гравитационном полях // ЖТФ. 1989. Т.59. Вып.6. С.27-34.

60. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Волкова М.В. О возможности зажигания коронного разряда* в окрестности нелинейно- осциллирующей слабо заряженной капли // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.11. С.31-36.

61. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Григорьева И.Д. и др. О возможности деления шаровой молнии на две // ЖТФ; 1991. Т.61. Вып.4. С.25-31.

62. Григорьев' А.И., Ширяева С.О., Корниенко Д.О., Волкова М.В. О некоторых особенностях асимптотического расчета физических закономерностей* реализации электростатической неустойчивости^ заряженной капли // Электронная обработка материалов. 2010. №4"

63. Григорьев- А.И., Ширяева* С.©., Коромыслов. В.А., Муничев. М.И: Об особенностях реализации? неустойчивости заряженного слоя' жидкости на сферическом ядре // Письма в ЖТФ. 1996. Т.22. Вып. 10. С.23-28.

64. Григорьев А.И:, Ширяева С.О., Крючков О.С. О влиянии расклинивающего давления на нелинейные осцилляции слоя воды на поверхности заряженной тающей градины // ЖТФ. 2007. Т.77. Вып. 12. С.1-9.

65. Дорошенко Д.Н., Синкевич O.A. Оценка границы области устойчивости жидкого слоя на поверхности сферического ядра в электрическом поле // Изв. АН СССН. МЖГ. 1992. №3. С.163-166.

66. Дудников> В.Г., Шабалин А.Л. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор) // Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск.: 1987. 66 с.

67. Дьячук В.А., Мучник В.А. Коронный разряд с обводненной градины, основной механизм инициирования» молнии // ДАН СССР. 1979. Т.248. №К 1.С.60-63.

68. Жаров А.Н., Ширяева С.О.', Григорьев А.И. Диспергирование заряженной капли в электростатическом поле // ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.12. С.26-30.

69. Золотой Н.Б., Карпов Г.В., Скурат В.Е. О механизмах образования ионов и ионных кластеров/из заряженных капель // 1988. ЖТФ. Т.58. Вып.2. С.315-323.

70. Коженков В.И., Фукс Н;А. Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор) // Успехи Химии. 1976. Т.45. №12. С.2274-2284.

71. Корниенко Д.О. Исследование механизмов неустойчивости сильно заряженной капли//Неравновесные процессы в сплошных средах: Материалы всероссийской конф. молодых ученых. Пермь,2008. С.183-185.

72. Корниенко Д.О. Ь, О физическом механизме реализации неустойчивостисильнозаряженной капли//Пятнадцатая Всеросийская научнаясконференция студентов-физиков и молодых ученых: Материалы конф. Кемерово-Томск. 2009. С.277-2791

73. Корниенко Д.О. а, Вывод аналитического выражения для { гидродинамического давления на поверхность сфероидальной капли | идеальной жидкости//Электронный журнал "Исследовано вРоссии",http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2010/019.pdf. 2010. С. 250-259.

74. Корниенко Д.О. с, Капиллярные и упругие осцилляции заряженной сферической капли вязкой жидкости// Электронный журнал "Исследовано в России", http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2010/025.pdf. 2010. С. 312-320.

75. Корниенко ДЮ. d, Капиллярные осцилляции заряженного слоя идеальной жидкости на поверхности твердого сферического ядра// Электронный журнал "Исследовано в России". http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2010/058.pdf. 2010. С. 681-688

76. Корниенко Д.О: е, О динамическом эмиссионном выступе на. вершинах электростатически неустойчивой капли// Шестнадцатая. Всеросийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: Материалы конф. Волгоград, 2010. С. 263-264.

77. Корниенко Д.О. а, О резонансном взаимодействии мод осцилляций слоя заряженной жидкости на поверхности тающей градины.// Семнадцатая Всеросийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых: Материалы конф. Екатеринбург, 2011. С. 522-523.

78. Коромыслов В.А., Григорьев А.И. Неустойчивость сферической заряженной капли, движущейся параллельно внешнему электростатическому полю // ЖТФ. 2002. Т. 72. Вып.9 С. 21-28

79. Коромыслов В.А., Григорьев А.И. Нелинейные осцилляции заряженного слоя электропроводной жидкости на поверхности твердого сферического ядра // ЖТФ. 2008. Т.78. Вып.2. С.42-50.

80. Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Ширяева С.О., Жигалко Ю.Н. Нелинейный расчет напряженности электрического поля на поверхности тающей градины в условиях грозового облака // ЖТФ. 2011 Т. 8 Г. Вып. 4 С. 35-44.

81. Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли в диэлектрической среде при одномодовой начальной деформации формы // ЖТФ. 2003. Т. 73. Вып.9! С. 44-51.

82. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М^-Л.ЮГИЗ. ГОСТЕХИЗДАТ, 1944. 624 с.

83. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

84. Мазин И.П., Хргиан А.Х., Имянитов И.М. Облака и облачная атмосфера. Справочник. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 647с.

85. Мазин И.П., Шметер С.М. Облака. Строение и физика образования. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. 280 с.

86. Мучник И.М., Фишман Б.Е. Электризация грубодисперсных аэрозолей в атмосфере. Л: Гидрометеоиздат, 1982. 208 с.

87. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.99: Рабинович М.И., Трубецков Д.И; Введение в теорию колебаний и волн. М: Наука, 1984, 432с.

88. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987.592 с.

89. Саранин В. А. а, Некоторые эффекты электростатического »взаимодействия1 капель воды в атаосфере //ЖТФ. 1999. Т.69. Вып. 12. С.12-17.

90. Саранин В.A. b, Ó взаимодействии двух электрически, заряженных проводящих шаров:// УФН. 1999. Т.169. №4. С.453-458.

91. Саранин. В.А. Напряженность электрического поля: заряженных проводящих шаров и пробой воздушного промежутка между ними // УФН. 2002. Т. 172. Лг°12. С.1449-1454. Л

92. СмайтВ.Электростатика ^^электродинамика: М:;ИЛ;1954.

93. Стаханов И.П. Об устойчивости; шаровой молнии' // ЖТФ; 1974. Т.44. Вып.7. С. 1373-1379.

94. Шевченко С.И:О потенциалеобразованияжонусногошенискашроводящей« жидкости в электрическом поле // ЖТФ.11990. Т.60:.№2: С.54-57.

95. Ширяева С.О. Нелинейные капиллярные колебания' объемно заряженной диэлектрической капли // Изв; РАН. МЖГ. 2003. №1. С. 104-113.

96. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Об условиях реализации внутреннего нелинейного резонанса при осцилляциях; заряженной; капли// Письма в ЖТФ. 2002. Т.28. Вып.22. С.45-51.

97. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О внутреннем нелинейном резонансном трехмодовом взаимодействии осцилляций заряженной капли. // ЖТФ. 2005. Т.75. Вып.2. С.45 -52.

98. Ширяева С.О., Григорьев А.И. Об устойчивости капиллярных колебаний слабосфероидальной заряженной капли //ЖТФ. 1996. Т.66. Вып.9. С. 1220.

99. Ширяева С.О., Григорьев А.И. Заряженная капля в грозовом облаке. Ярославль: Изд. ЯрГУ им. П.Г. Демидова. 2008. 535 с.

100. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Волкова М.В. О возможности зажигания коронного разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей во внешнем электростатическом поле электропроводной капли // ЖТФ. 2005. Т.75. Вып.7. С.40-46.

101. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Григорьева И.Д. Характерное время развития неустойчивости сильно заряженной капли // ЖТФ. 1995. Т.65. Вып.9. С.39-45.

102. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Корниенко Д.О. О некоторых закономерностях реализации сфероидальных осцилляций и электростатической неустойчивости заряженной капли // ЖТФ. 2010 Т.80. Вып. 11. С. 11-20.

103. Ширяева С.О., Жаров А.Н., Григорьев А.И. О некоторых особенностях нелинейного резонансного четырехмодового взаимодействия капиллярных осцилляций заряженной капли // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.1. С. 10-20.

104. Ширяева С.О., Корниенко Д.О. а, Вывод дисперсионного уравнения для осцилляций квазисфероидальной заряженной капли//Электронный журнал "Исследовано в России". 2009. С. 183-195. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2009/019.pdf

105. Ширяева С.О., Корниенко Д.О., Волкова М.В. Об электростатической неустойчивости заряженной сфероидальной капли // Электронная обработка материалов. 2010. №4. С.20-30.

106. Щерба Е.А., Григорьев А.И., Коромыслов В.А. О взаимодействии двух заряженных шаров при малых расстояниях между ними // ЖТФ. 2002. Т.72. Вып. 1.С. 15-19.