О некоторых свойствах непрерывного поливерсума

Рябко, Даниил Борисович

О некоторых свойствах непрерывного поливерсума тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Рябко, Даниил Борисович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Новосибирск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «О некоторых свойствах непрерывного поливерсума»

Автореферат диссертации на тему "О некоторых свойствах непрерывного поливерсума"

2ооЗ-(\

На правах рукописи УДК 517.98

РЯБКО ДАНИИЛ БОРИСОВИЧ

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ НЕПРЕРЫВНОГО ПОЛИВЕРСУМА

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2003 г.

Работа выполнена на механико-математическом факультете Новосибирского государственного университета.

Научный руководитель: доцент, доктор физ.-мат. наук

Гутман Александр Ефимович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

Малюгин Сергей Артемьевич, доцент, кандидат физ.-мат. наук Рубан Анатолий Альбертович

Ведущая организация: Институт прикладной математики

и информатики Владикавказского научного центра РАН и Правительства Республики Северная Осетия — Алания

Защита состоится « 1Л * \л£> ЛиГ2003 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д 003.015.03 при Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект академика Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Автореферат разослан о 2003 |\ РО%и^отекаНЛЯ |

Ученый секретарь

Диссертационного совета /фс*^.

09 Щ

кандидат физ.-мат. наук —* А.С. Романов

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия в математике все большую роль играют методы булевозначного анализа. Это объясняется, в частности, тем, что они находят широкое применение в исследовании таг ких классических объектов, как ^-пространства и векторные решетки.

Использование методов булевозначного анализа, возникновение которого связано со знаменитыми работами П. Дж. Коэна по проблеме континуума, уже привело к возникновению новых идей в таких областях математики как теория алгебр фон Неймана, выпуклый анализ, теория векторных мер, теория векторных решеток и ^-пространств.

Особенно возрос интерес к булевозначному анализу в связи с выходом (одновременно на русском и английском языках) книг серии «Нестандартные методы анализа», издающейся под редакцией С.С. Кутателадзе.

Роль булевозначного анализа в развитии современного функционального анализа в основном определяется тем, что он позволяет упрощать многие математические объекты рассматривая их в специальных моделях теории множеств. Так, теорема Гордона утверждает, что произвольное расширенное ^-пространство является интерпретацией поля вещественных чисел подходящей булевозначной модели, а реализационная теорема Кусраева дает булевозначное представление архимедовых векторных решеток.

Новый этап в развитии этого направления был начат А.Е. Гутманом и Г.А. Лосепковым, предложившими представление произвольного булевозначного универсума в виде непрерывного расслоения (так называемого поливерсума), слоями которого являются классические модели теории множеств. При этом булевозначный универсум представляется в виде класса непрерывных сечений поливерсума — непрерывных функций, сопоставляющих каждой точке компакта <5 элемент соответствую-

щего слоя. Таким образом, исследователи в области функционального анализа могут иметь дело не с абстрактным булевозначным универсумом, а с его функциональным аналогом — моделью, элементами которой являются непрерывные функции, а основные операции вычисляются поточечно.

Такое функциональное представление подсказывает идею представления объектов исследования булевозначного анализа, таких как расширенные ^-пространства, и, более общо, векторные решетки, в виде расслоений. Это позволило бы свести изучение данных объектов к изучению их «поточечных» свойств, действительно упрощая работу исследователя с этими объектами. Поэтому важной является задача нахождения представления векторных решеток в виде расслоений (подрасслоений непрерывного поливерсума) и исследование вопроса, какие свойства этих объектов имеют поточечные аналоги.

На современном этапе развития булевозначного анализа в нем все большую роль играют методы, использующие идеи и понятия другого направления нестандартного анализа — инфинитезимального. Идейные основы инфинитезимального анализа принято ассоциировать с именами Лейбница и Эйлера, однако формальные основания он получил только в середине XX века благодаря А. Робинсону, сделавшему, в частности, бесконечно большие и бесконечно малые величины строгими математическими понятиями. Бурное развитие инфинитезимального анализа и его применение в самых различных областях математики (от математической экономики до теории /^-пространств) началось в конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э.Нельсона.

Гутманом, А.Г. Кусраевым, С.С. Кутателадзе и другими исследователями были разработаны различные подходы к комбинированию методов инфинитезимального и булевозначного анализа, что послужило исходной точкой для многих направлений исследований. Среди этих подходов мы отметим метод инфинитезимального моделирования в булевознач-ном универсуме А.Г. Кусраева и С.С. Кутателадзе и попытку построения булевозначной модели теории внутренних множеств А.Е. Гутмана и А.И. Попова, приведшую авторов к доказательству невозможности построения такой модели.

В рамках изучения векторных решеток в настоящей работе предлагается другой вариант совместного использования идей и методов инфинитезимального и булевозначного анализа, с помощью которого становится возможным изучение «поточечных» свойств векторных решеток. В связи с этим ставится задача введения понятий инфинитезимального анализа вещественной прямой (по аналогии с теорией Э.Нельсона) в слоях по-ливерсума, что позволило бы с новых позиций подойти к упрощению работы с векторными решетками методами булевозначного анализа.

Целью диссертации является изучение свойств поливерсума, позволяющих упростить работу с /^-пространствами и векторными решетками с помощью техники инфинитезимального анализа.

Методы исследования. В работе были использованы основные положения и результаты инфинитезимального и булевозначного анализа, а также теории векторных решеток.

Научная новизна и основные результатов работы, выносимые на защиту. В работе получены следующие новые результаты:

(1) Изучены аналоги понятий инфинитезимального анализа на вещественной прямой в рамках функционального представления булевозначного универсума (непрерывного поливерсума). Это позволило найти один из возможных вариантов решения задачи Кусраева-

Кутателадзе о построении булевозначной интерпретации нестандартной оболочки и изучении соответствующей конструкции «спущенной» нестандартной оболочки.

(2) Введено понятие внешних сечений и разработаны методы их использования. Показано, что определенный класс внешних сечений является булевозначным аналогом множества векторных решеток. Новое понятие позволяет упрощать доказательства многих утверждений о ^-пространствах и векторных решетках переходя к их «поточечным» аналогам, что сводит изучение векторных решеток к изучению подмножеств множества вещественных чисел в рамках инфинитезимального анализа.

(3) Формализовано понятие поточечного критерия и детально исследовано, какие из рассматриваемых свойств векторных решеток и К-пространств имеют поточечные аналоги.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут быть использованы специалистами в области векторных решеток и функционального анализа знакомыми с методами инфинитезимального анализа, без детального изучения аппарата булевозначного анализа. Полученные результаты могут использованы в курсах нестандартного анализа, булевозначного анализа, функционального анализа и ряде других спецкурсов, читаемых на механико-математических факультетах университетов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по функциональным пространствам (4th Conference On Function Spaces SIUE, Edwardsville, USA, 2002), на XXIII Конференция молодых ученых мехмата МГУ в 2001 г., на XXXVIII Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-

технический прогресс", НГУ в 2000 г., а также на семинарах отдела математического анализа Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

2 Краткое содержание работы

Во введении (первая глава) обосновывается актуальность темы, формулируются цели работы, приводится обзор литературы по изучаемым вопросам, приводится краткое содержание диссертации по главам.

В главе 2 даются общие сведения по изучаемым в диссертации вопросам, приводятся основные определения и факты, используемые в работе.

В главе 3 в слоях функционального представления булевозначного универсума (поливерсума) введено понятие бесконечной близости элементов нормированного пространства (и, в частности, вещественных чисел). Стандартными числами в слое поливерсума ассоциированного с точкой q компакта С} объявляются образы вещественных чисел при каноническом вложении (•)л, взятые в точке ц. Найдены аналоги некоторых теорем инфинитезимального анализа, касающиеся вещественных чисел. В том числе, установлено, что каждое ограниченное число А имеет стандартную часть °А — единственное стандартное число, бесконечно близкое к А.

Используя введенные понятия, теорема о полноте нестандартной оболочки нормированного пространства перенесена на слои поливерсума, ассоциированные с не сг-изолированными точками компакта Полноту нестандартной оболочки удалось доказать благодаря установленному в этой же главе критерию насыщенности слоя поливерсума. Точнее, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть 'V — слой в точке д е С} непрерывного поливерсума над экстремально несвязным компактом ССледующие утверждения эквивалентны:

(а) точка д не является а-изолированной;

(б) модель ЧУ счетно насыщена;

(в) нестандартная оболочка любого нормированного пространства внутри 'V полна.

В главе 4 введено понятие непрерывного внешнего сечения, в определенном смысле обобщающее понятие сечения. Значением внешнего сечения в точке компакта <2 является не элемент, а подмножество соответствующего слоя поливерсума. Таким образом, внешнее сечение ш> ливерсума, как и сам поливерсум, является непрерывным расслоением, множество непрерывных сечений которого называется его спуском.

Спуски внешних сечений, обладающих определенными свойствами, являются векторными решетками. Более того, любая векторная решетка оказывается изоморфной спуску подходящего внешнего сечения.

Понятие стандартной части, введенное в главе 3, позволяет получить явное описание изоморфизма между спусками внешних сечений поливерсума и подрешетками пространства расширенных функций представляющего собой общий вид расширенного .^-пространства. А именно, каждая подрешетка совпадает с решеткой функций ц где и — элементы спуска некоторого внешнего сечения поливерсума. Соответствующая теорема доказана в параграфе 4.1.

Новое функциональное представление позволяет упрощать доказательства многих утверждений о ^-пространствах и векторных решетках с помощью перехода к их «поточечным» аналогам. В данной главе формализовано понятие поточечного критерия для произвольного свойства векторной решетки и установлено, какие из рассматриваемых свойств имеют поточечные критерии.

Чтобы описать полученные результаты более формально, нам потребуется несколько определений.

Подмножество F векторной решетки Е назовем конечно-циклическим, если для любых элементов /х,...,/п € -F и для любых попарно дизъюнктных порядковых проекторов Tri,..., 7Г„ € Рг(Е) элемент 7Ti/i 4----f- 7гп/„ принадлежит F.

Всюду далее мы имеем дело с непрерывным поливерсумом над экстремально несвязным компактом Q. Класс непрерывных сечений поли-версума (который и является булевозначным универсумом) обозначают символом C(Q,®V). Символ V обозначает универсум всех множеств.

Символ обозначает множество вещественных чисел поливерсума. Стандартной частью сечения и £ ЭЦ назовем R-значную функцию "и, определенную на множестве dorn "и тех точек q £ Q, в которых внутреннее число u(q) ограничено, полагая (°u)(q) = °(u(q)) для всех q £ dorn°и.

Пусть D € Clop(G). Функцию з : D —> V назовем внешним сечением, если s(g) С 'V для любой точки q 6 D. Внешнее сечение s : Q V назовем внешним подмножеством 31, если s(q) С для всех q £ Q. Пусть a:D-*V-внешнее сечение. Символом обозначим множество {u € C(D,YQ) : u(q) £ s(q) для всех q £ D}. Ясно, что если s — внешнее подмножество 31, то «4- С

Внешнее сечение 8 будем называть непрерывным в точке q £ dorn s, если для любого элемента х £ s(q) найдутся множество Р £ Clop(g) и сечение и £ $¡¿4 такие, что u(q) = х. Внешнее подмножество Л будем называть непрерывным, если оно непрерывно во всех точках компакта Q. Множество внешних подмножеств условимся обозначать символом S~(3?), а множество непрерывных внешних подмножеств 3? — символом С«, (31). Кроме того, обозначим через £(3£) множество всех внешних подмножеств 31, непустых в каждой точке компакта Q, а символом С (Л) — множество С„(Я) П S(X).

Для произвольного з £ С(Х) положим s {°и : и £ Для s 6 C(3i) обозначим множество {q £ Q : s(q) = {90}} символом {s = 0}, а его

дополнение — символом {й Ф 0}. Аналогично обозначим через {в С о} множество {</ е <2 : в(д) С о(?К)}, а его дополнение — через {з £ о}.

Лемма 1. Для любого з £ С (Я) множество {в ф 0} открыто.

Лемма 2. Для любого в € С ("Я) множество {в £ о} открыто и всюду плотно в {в ф 0}.

Множество сечений и С С((2,13V) назовем конечно-циклическим, если оно замкнуто относительно конечных перемешиваний.

Теорема 2. Множество Е С Соо((2) является конечно-циклическим тогда и только тогда, когда Е — з ^ для некоторого з € С (Л).

Ясно, что для любого конечно-циклического множества Е С Соо(£?) непрерывное внешнее подмножество з 6 С (01), фигурирующее в формулировке теоремы 2, единственно. Условимся обозначать это внешнее подмножество символом Е Очевидно, для любого конечно-циклического множества Е С С^ф) имеет место равенство Е = Е 1Н1-.

Перейдем к описанию свойств векторных решеток в терминах внешних сечений, подробно приведенному в параграфе 4.2.

Теорема 3. Конечно-циклическое множество Е С Сх(0) является идеалом С00(<3) в том и только том случае, когда для любой точки множество Е (д) является идеалом

Теорема 4. Идеал Е С является фундаментом С^Я) в том и

только том случае, когда множество {Е ^Ф 0} всюду плотно в <2-

Теорема 5. Пусть Е — конечно-циклическая векторная подрешетка СооОЗ). В Е есть слабая порядковая единица тогда и только тогда, когда множество {Е 0} замкнуто (а значит, открыто-замкнуто согласно лемме 1).

Теорема 6. Идеал Е пространства Соо(<2) является его полосой тогда и только тогда, когда множество {Е 0} замкнуто и для каждой точки qeQ верно Е -Ц- (д) = {90} или Е ^ (<?) =

Можно заметить, что некоторые из приведенных утверждений носят «поточечный» характер, так что проверка соответствующих свойств векторных решеток сводится к проверке определенных утверждений в каждой точке компакта (}■

В параграфе 4.3. формализовано понятие поточечного критерия и получен ряд утверждения, показывающие, какие из рассматриваемых свойств векторных решеток имеют поточечные аналоги.

Итак, пусть множества £ и Ф — произвольные множества конечно-циклических подмножеств пространства Соо(<2)- Будем говорить, что на множестве £ есть поточечный критерий принадлежности множеству Ф, если найдется семейство множеств (рч С д € ф, удовлетворяющее следующему условию:

У£€£ (ЕеФ& \ZqeQE1t (?)брв). (1)

Условие 1 будем называть поточечным критерием принадлежности Ф, а семейство ~ реализацией этого критерия.

Теорема 7. (а) На множестве фундаментов Соо(Ф) есть поточечный критерий существования слабой единицы: в фундаменте Е С Соо(<3) есть слабая порядковая единица тогда и только тогда, когда Е -Ц- (д) ф {?0} для всех q & Q (т.е. поточечный критерий реализуется семейством множеств ц>ч = У(9Щ)\{{'10}}) <7 6 0).

(б) Если экстремально несвязный компакт ф бесконечен, то на множестве идеалов Сж^) нет поточечного критерия существования слабой порядковой единицы.

Теорема 8. Пусть экстремально несвязный компакт С? бесконечен. Тогда на множестве фундаментов Соо(<2) нет поточечного критерия существования сильной порядковой единицы.

Следствие 1. Пусть экстремально несвязный компакт С? бесконечен. Тогда на множестве идеалов С^О) нет поточечного критерия существования сильной порядковой единицы.

Теорема 9. На множестве идеалов Сао((д) есть поточечный критерий принадлежности множеству фундаментов в том и только том случае, когда множество изолированных точек компакта ф всюду плотно в д. Критерий следующий: идеал Е с Сос^) является фундаментом тогда и только тогда, когда Е ^ (д) € для всех q £ Q, где <рч = {?Щ}, если точка д изолирована, и <рд = !Р(9Щ) в противном случае.

Теорема 10. Если экстремально несвязный компакт <5 бесконечен, то на множестве идеалов Соо(<2) мет поточечного критерия принадлежности множеству полос Соо{0).

В параграфе 4.4, приведена следующая таблица условий существования поточечных критериев для рассмотренных в работе множеств и свойств.

Множество Свойство Множество конечно-циклических множеств Множество идеалов Множество фундаментов

Быть идеалом Есть критерий (теорема 3) Критерий тривиален

Быть фундаментом Есть критерий тогда и только тогда, когда множество изолированных точек (3 всюду плотно в <3 (теорема 9) Критерий тривиален

Иметь сильную порядковую единицу Есть критерий тогда и только тогда, когда компакт С} конечен(теорема 8, следствие 1)

Иметь слабую порядковую единицу Есть критерий тогда и только тогда, когда компакт конечен(теорема 7) Есть критерий (теорема 7)

Быть полосой Нет критерия (теорема 10)

3 Публикации автора по теме диссертации

[1] Гутман А.Е., Рябко Д.Б. Нестандартная оболочка нормированного пространства в булевозначном универсуме // Мат. труды, 2001 — V. 4 №2- С. 42-52

[2] Гутман А.Е., Рябко Д.Б. Критерий полноты нестандартной оболочки нормированного пространства в булевозначном универсуме // Доклады Академии Наук, 2002— V. 384- №2 — С. 153-155.

[3] Гутман А.Е., Рябко Д.Б. Функциональное представление пространств Канторовича в булевозначных моделях. // Владикавказский мат. журнал., 2002. — V. 4 Вып. 1 С. 34-49

[4] Рябко Д.Б. Применение синтеза инфинитезимального и булевознач-ного анализа в теории нормированных пространств // Тезисы ХХП1 Конференция молодых ученых мехмата, МГУ, 2001, С. 42-52.

[5] Рябко Д.Б. Полнота нестандартной оболочки нормированного пространства в булевозначном универсуме // Материалы XXXVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», 2000 Изд-во Новосибирского Гос. Университета, Новосибирск.

[6J Gutman А.Е., Ryabko D.B. Nonstandard hull of a normed space in a Boolean valued universe // Siberian Advances in Mathematics, 2002, Vol.12, Ж 2, pp. 38-47.

[7] Gutman A., Riabko D. Functional representation of a Dedekind-complete Reisz space in a Boolean valued universe. // Proceedings of 4th Conference on Function Spaces at SIUE, USA, 2002 http://www.siue.edu/MATH/conference/info-pack/Abstracts.pdf

P 16 90 4

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рябко, Даниил Борисович

1 Введение

1.1 Общая характеристика работы.

1.2 Постановка проблемы и литературный обзор.

1.2.1 Булевозначный анализ.

1.2.2 Непрерывный поливерсум

1.2.3 Изучение векторных решеток средствами булевознач-ного анализа.

1.2.4 Инфинитезимальный анализ.

1.2.5 Комбинирование нестандартных методов анализа

1.3 Краткое содержание работы.

2 Предварительные сведения

2.1 Топологические пространства и расширенные функции

2.2 Булевы алгебры.

2.3 Векторные решетки.

2.4 Булевозначные модели и непрерывный поливерсум.

3 Инфинитезимальный анализ в слоях поливерсума

3.1 Критерий счетной насыщенности слоя поливерсума.

3.2 Инфинитезимальный анализ на вещественной прямой в слоях поливерсума.

3.3 Нестандартная оболочка нормированного пространства

4 Изучение векторных решеток синтетическими методами нестандартного анализа

4.1 Изоморфизм между и &oo(Q).

4.2 Описание свойств ifT-пространств в терминах внешних сечений.

4.3 Поточечные критерии.

4.4 Таблица существования поточечных критериев.

5 Публикации автора по теме диссертации

Введение диссертация по математике, на тему "О некоторых свойствах непрерывного поливерсума"

1.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последние десятилетия в математике все большую роль играют методы булевозначного анализа. Это объясняется, в частности, тем, что они находят широкое применение в исследовании таких классических объектов, как /^-пространства и векторные решетки.

Роль булевозначного анализа в развитии современного функционального анализа в основном определяется тем, что он позволяет упрощать многие математические объекты рассматривая их в специальных моделях теории множеств. Так, теорема Гордона утверждает, что произвольное расширенное /^-пространство является интерпретацией поля вещественных чисел подходящей булевозначной модели, а реализационная теорема Кусраева дает булевозначное представление архимедовых векторных решеток.

Новый этап в развитии этого направления был начат А.Е. Гутманом и Г.А. Лосенковым, предложившими представление произвольного булевозначного универсума в виде непрерывного расслоения (так называемого поливерсума), слоями которого являются классические модели теории множеств. При этом булевозначный универсум представляется в виде класса непрерывных сечений поливерсума — непрерывных функций, сопоставляющих каждой точке компакта Q элемент соответствующего слоя. Таким образом, исследователи в области функционального анализа могут иметь дело не с абстрактным булевозначным универсумом, а с его функциональным аналогом — моделью, элементами которой являются непрерывные функции, а основные операции вычисляются поточечно.

Такое функциональное представление подсказывает идею представления объектов исследования булевозначного анализа, таких как расширенные А'-пространства, и, более общо, векторные решетки, в виде расслоений. Это позволило бы свести изучение данных объектов к изучению их «поточечных» свойств, действительно упрощая работу исследователя с этими объектами. Поэтому важной является задача нахождения представления векторных решеток в виде расслоений (подрасслоений непрерывного поливерсума) и исследование вопроса, какие свойства этих объектов имеют поточечные аналоги.

Первые шаги в области комбинирования нестандартных (булевознач-ных и инфинитезимальных) методов анализа были сделаны в 80-е годы работах С.С. Кутателадзе, в которых реализован метод булевозначного моделирования в инфинитезимальном универсуме. В дальнейшем, А.Е. Гутманом, А.Г. Кусраевым, С.С. Кутателадзе и другими исследователями были разработаны различные подходы к комбинированию методов инфинитезимального и булевозначного анализа, что послужило исходной точкой для многих направлений исследований. Среди этих подходов мы отметим метод инфинитезимального моделирования в булевознач-ном универсуме А.Г. Кусраева и С.С. Кутателадзе и попытку построения булевозначной модели теории внутренних множеств А.Е. Гутмана и А. И. Попова, приведшую авторов к доказательству невозможности построения такой модели.

Научная новизна и основные результатов работы, выносимые на защиту- В работе получены следующие новые результаты:

1) Изучены аналоги понятий инфинитезимального анализа на вещественной прямой в рамках функционального представления булевозначного универсума (непрерывного поливерсума). Это позволиf ло найти один из возможных вариантов решения задачи Кусраева-Кутателадзе о построении булевозначной интерпретации нестандартной оболочки и изучении соответствующей конструкции «спущенной» нестандартной оболочки.

2) Введено понятие внешних сечений и разработаны методы их использования. Показано, что определенный класс внешних сечений является булевозначным аналогом множества векторных решеток. Новое понятие позволяет упрощать доказательства многих утверждений о /^-пространствах и векторных решетках переходя к их «поточечным» аналогам, что сводит изучение векторных решеток к изучению подмножеств множества вещественных чисел в рамках инфинитезимального анализа.

3) Формализовало понятие поточечного критерия и детально исследовало, какие из рассматриваемых свойств векторных решеток и /^-пространств имеют поточечные аналоги.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции по функциональным пространствам (4th Conference On Function Spaces SIUE, Edwardsville, USA, 2002), на ХХ1П Конференция молодых ученых мехмата МГУ в 2001 г., на ХХХУШ Международной научной студенческой конференции "Студент и научно

Т ♦ технический прогресс", НГУ в 2000 г., а также на семинарах отдела математического анализа Института математики им. C.JI. Соболева СО РАН.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Рябко, Даниил Борисович, Новосибирск

1. Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные пространства.— Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.

2. Альбеверио С., Фейнстад Й., Хёэг-Крон Р., Линдстрём Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике.— М.: Мир, 1990.

3. Архангельский А.В., Пономарёв В.И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях.— М.: Наука, 1974.

4. Бурбаки Н. Общая топология.— М.: Наука, 1968.

5. Владимиров Д.А. Булевы алгебры.—М.: Наука, 1969.— 318 с.

6. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. — М.: Физматгиз 1961.—408 с.

7. Гордон Е.И. Вещественные числа в булевозначных моделях теории множеств и /^-пространства. // Докл. АН СССР.— 1977.— Т. 237, т.- С. 773-775

8. Гордон Е.И. АТ-пространства в булевозначных моделях теории множеств. // Докл. АН СССР.- 1981.- Т. 258, т.- С. 777-780

9. Гордон Е.И., Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Инфинитезимальный анализ, часть I. Новосибирск, 2001. Изд-во Института математики.

10. Гутман А.Е. Линейные операторы, согласованные с порядком // Труды института математики, 1995 — V. 29— Р. 63-211

11. Гутман А.Е., Емельянов Э.Ю., Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартный анализ и векторные решетки. Новосибирск, Изд-во Института математики, 1999.

12. Гутман А.Е., Лосенков Г.А. Функциональное представление булевозначного универсума // Математические труды, 1998 Т. 1 Jf«l С. 54-77

13. Емельянов Э.Ю. Порядковые и регулярные оболочки векторных решеток // Сиб. мат. журн.- 1994. Т. 35 №6.— С 1243-1252

14. Емельянов Э.Ю. Инфинитезимальный подход к представлению векторных решеток пространствами непрерывных функций на компакте // Докл. РАН.- 1995.- Т. 344, №1/- С. 9-11

15. Емельянов Э.Ю. Инвариантные гомоморфизмы нестандартных расширений булевых алгебр и векторных решеток // Сиб. мат. журн. -1997. Т.38 №2 С. 286-296.

16. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.— М.: Наука, 1984 752 с.

17. Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. —М.-Л.: Гостехиздат, 1950.- 548 с.

18. Кусраев А.Г. Числовые системы в булевозначных моделях теории множеств // VIII Всесоюз. конф. по мат. логике.— М.: 1986.— С. 99

19. Кусраев А.Г. Векторная двойственность и ее приложения.— Новосибирск: Наука, 1985.— 256 с.

20. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Булевозначный анализ.— Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1999.

21. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нерешенные нестандартные задачи.— Новосибирск, 2000. Препринт/ Изд-во Института математики.

22. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Нестандартные методы анализа.— Новосибирск, 1990, Наука, Новосибирское отд-ние.

23. Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. О комбинировании нестандартных методов // Сиб. мат. журнал- 1990.— Т.31 №5. — С.111-119

24. Кусраев А.Г., Малюгин С.А. Некоторые вопросы теории векторных мер. — Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988.— 190 с.

25. Кутателадзе С.С. Циклические монады и их применение // Сиб. мат. журн. 1986.- Т.27.- № С. 100-110.

26. Кутателадзе С.С. Монады проультрафильтров и экстенсиональных фильтров // Сиб. мат. журн. 1989.- Т.ЗО, JM. —С. 129-133.

27. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа.— Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 2000.— 336 с.

28. Сикорский Р. Булевы алгебры.— М.: Мир— 1969

29. Любецкий В.А., Гордон Е.И. Булевы расширения равномерных структур // Исследования по неклассическим логикам и формальным системам,— М.: Наука, 1983 —С. 82-153.

30. Aliprantis C.D. and Burkinsaw О. Positive operators. —New York: Academic Press, 1985.— 367 pp.

31. Bell J. L. Boolean-Valued models and Independence Proofs in Set Theory.— New York etc.:Clarendon Press, 1985.— xx+165 pp.

32. Cozart D. and Moore L.C. The nonstandard hull of a normed Riesz space // Duke Math. J. 1974.-No. 41 P. 263-375

33. Cutland N. Nonstandard measure theory and its applications // Proc. London Math. Soc. 1983. V.15, No. 6. - P. 530-589.

34. Halmos P.R. Lectures on Boolean Algebras.— Toronto, New York and Lo ndon: Van Nostrand, 1963.— 147 pp.

35. Heinrich S. Ultraproducts in Banach Space theory //J. Reine Angem. Math.- 1980. V. 313. - P. 72-104

36. Henson C.W. Infinitesimals in functional analysis // Nonstandard analysis and its applications.— Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 1988. P. 140-181

37. Henson C.W. and Moore L. C. Jr. Nonstandard hulls of the classical Banach spaces // Duke Math. J. 1974. - V. 41. No.2. - P. 277-284

38. Hrbacek K. Axiomatic foundations for nonstandard analysis // Fund. Math.—1978.—V. 98Д?1.-Р.1-24.

39. Hurd A.E., Loeb P.A. An introduction to nonstandard real analysis.— 1985.— Orlando etc.: Academic Press, Inc.

40. Jech T.J. Abstract theory of abelian operator algebras: an application of forcing // Trans. Amer. Math. Soc 1985. V. 289. -No. 1- P. 133-162

41. Jech T.J. Boolean-linear spaces // Adv. in Math. 1990. V. 81. —No. 2.— P. 117-197

42. Johnstone P.T. Stone Spaces.— Cambridge and New York: Camprige University Press, 1982. —xxii+370 pp.

43. Monk J.D. and Bonnet R. (eds.), Handbook of Boolean Algebras. Vol. 1-3.— Amsterdam etc.: North-Holland, 1989

44. Kawai T. Axiom systems of nonstandard set theory // Logic Symposia, Hakone 1979, 1980-Berlin etc.: Spriger-Verlag, 1981.-P. 57-65

45. Kusraev A.G. and Kutateladze S.S. Nonstandard methods for Kan-torovich spaces // Siberian Adv. Math.— 1992.— V.2, No. 2. — P. 114152

46. Luxemburg W.A.J, and Zaanen A.C. Riesz Spaces. Vol 1.— Amsterdam and London: North-Holland, 1971.— 514 pp.

47. Luxemburg W. A. J. A general theory of monads // Applications of Model Theory to Algebra, Analysis and Probability.— New York: Holt, Rinehart and Minston.— P. 18-86.

48. Nelson E. Internal set theory. A new approach to nonstandard analysis // Bull. Amer. Math. Soc.-1977.-V. 83Д*6.-Р.1165-1198

49. Nelson E. The syntax of nonstandard analysis // Ann. Pure Appl. Logic.- 1998.- V. 38Д'2. P. 123-134.

50. Ogasawara T. Theory of vector lattices //J. Sci. Hirosima Univ., Ser. A. 1942- Vol. 12 P. 37-100

51. Ozawa M. A Boolean valued interpretation of Hilbert space theory // J. Math. Soc. Japan 1983.- V. 35, No. 4. — P. 609-627

52. Ozawa M. A classification of type I AW-algebras and Boolean valued analysis // J. Math. Soc. Japan 1984.- V. 36, No. 4. - P. 141-148

53. Robinson A. Non-Standard Analysis, Proc. Koninkl. ned. akad. wet. A, 1961,- V. 64, P. 432-440

54. Robinson A. Non-Standard Analysis.— Princeton: Princeton University Press, 1966.

55. Rosser J. B. Simplified independence proofs: Boolean valued models of set theory. —New York : Academic , 1969— 217 pp

56. Schaefer H.H. Banach Lattices and Positive Operators.— Berlin etc.: Springer-Verlag, 1974.

57. Schwarz H.-U. Banach Lattices and Operators.— Leipzing: Teubner, 1984. -208 pp.

58. Stone M.H. Application of theory of Boolean rings to general topology// Trans. Amer. Math. Soc. 1937 Vol. 41- P. 309-375

59. Solovay R.M. A model of set theory in which every set of reals is Lebesgue measurable // Ann. Math — 1970 — V. 92, №2. — P. 1-56.

60. Takeuti G. and Zaring W.M. Axiomatic set theory.— New York: Springer-Verlag, 1973 238 pp.