О решении задач нелинейной теории вязкоупругости интегральными преобразованиями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

1. Представление краевых задач для стареющих вязкоупругих композитов

1,1. Координатное представление в тензорных: произведениях гильбертовых пространств краевой задачи вязкоупругости.

1*2. Временные интегральные преобразования краевых задач вязкоупругости

1.3. Сведение интегральным преобразованием задачи кубически нелинрШой вязкоупругости для стареющего материала ш-задаче фиктивной упругости

1.3.1. Случай однородного материала

1.3.2. Неоднородно стареющий материал.

1.4. Определение из опытов функций влияния для однородных вязкоупругих материалов.

2. Решение задач кубически нелинейной вязкоупругости с неоднородным старением

2.1. Задача о кручении бруса из кубически нелинейного стареющего материала.

2.2. Задача о трубе из вязкоупругого стареющего материала с заданными внутри давлениями и на поверхности трубы перемещениями

2.3. Задача о брусе, сжимаемом между двумя жесткими плитами.

В В Е Д Е Н И Е Работа посвя1цена решению краевых задач вязкоущзугости для стареющих и неоднородно стареющих материалов путем сведения мощи Л1ше1шых интегральных преобразований. В работе [9] проведен подробный анализ приемов сведешш з а дач линейной теорш! вязкоупругости к зацача[л линейной теории упругости. Поэтому остановжлся только на методах, позволяюац-к сводить задачи нелинеfiiioи теоррш вязкоупругости к задачаг-л нелинеШои теор1ш упругости. Проблемой распространения принципа Вольтерра на нелинейще нестабш1ьные материалш зашмались многие авторы. Приемы решения задач нелинейной вязкоупругости предлагались авторагли в работах [67,72 ,62 ,5В] Нелршейные вязкоупругие задачи решались в 8 0 ,5f [68 ,44l а физтетески нелинеЁНЫТУ! упруго- пластическшл и нелине йно- упругШЛ задачам посвящены работы Наиболее распространенньм методогл решения"задач нелинеШой вязкоупругости является метод упругих решений Б.Е. Победри предлойсеьшый шл в работах [66 6 Если связь меж,ду компонентами тензоров деформаций и напряжений заддется в виде операторного ряда Фреше,то, аппроксш.шруя ядра интеграхьньк операторов кусочно-выролоденньми ядpavlи, можно свести задачу нелинейной вязкоупругости к задаче нелинейной упругости методом, предложенным В.В.Колокольчиковым в его работе исходной задачи вязкоупругости к задачам теории упругости при поИб] Метод основан на введении модифшлрованного интегрального, преобразования (М -преобразования) идее пржленения различных интегральных преобразований к геометрпчоскшл и статичесюш величинам краевой задачи и методе последовательных приближений. При помощи М- преобразования исходная краевая задача нестабхиьной не,лш-1ейной вязкоупругости, когда ядра интег|)альны:]{: операторов записываются в виде: приводится к задаче фиктивной нелинейной упругости для материa;ia: [£№б,а)Г""--"(р„л,....Р„%) =|E(e;-np)xn(B::[:f(p)(6,„jj>). Трудность предложенного в 16] метода заключается в том, что М-преобразоваш/ie заранее не известно, и для вычисления образов пр1код1/1ТСя шрмлит)Овать метод последовательных прибльшений, сходрмость которого доказывается в В [501 методом М- преобразования решены задачи о коническом стержне, клрше и трубе для случая, когда они изготовлены из нелинеiinoro вязкоупругого материала. В настоящей работе обосновывается принцип соответстврш для одного 1сласса вязкоупругих материалов. Вводится семейство интегральных преобразований и семейство соответствующих игл материалов, позволяющее сводить точно краевые задачи вязкоупругости к задачшл нелинейной упругости. Тшшл образом, целью настоящей о работы является дюрмулировка принципа соответствия между краевыми задачами вязкоу пру гости и задача1ли упругости для нелинейных неоднородно стареющих материалов при помощи линерлого интегрального преобразования с иввестньм до преобразования базисом. Работа состоит из двух глав и двух првложений. тематический аппарат, необходимый для реапрвации принципа соответствия меясду задачат-ш нелине feoи теоррш вязкоупругости и задачшШ теории нелинейной упругости, развивается в п р и л ож е н и и I. В П.1 приложения I рассматриваются тензорные произведения гильбертовых пространств, вводятся понятие тензоров- элементов eTi-ix тензорных произведений и преобразование тензоров при сменах базисов в сомножителях- гршьбертовых пространствах. В п.2 рассматриваются интеграяьные операторы и их представления в различных базисах тензорных пространств. В главе I, на основе разработанного в пп. 1-2 приложения I математического аппарата, производится конкретная реализация принципа соответствия между задачами нелинеШоы теории вязкоупгругости и нели:не1йюй теории упругости. В п.1 гл.1 приводится координатное тензорное представяение краевой задачи вязкоупругости для нелинейного стареющего материала. В п.2 на основе приведенного в приложении I аппарата,преобразований коордршат в тензорных пространствах,рассматриваются линейные интегральные преобразования по времени исходной задачи вязкоу пругости. Формулируется понятие оптрплального представления и нахоД11ТСя класс вязкоупругих материалов, для которых краевая задача сводится интегральныт-ли преобразовашшм к задаче нелинейной теории упругости, В п.З формулируются условия, при которых краевая задача вязкоупругости для кубически нелинейного стареющего материала с линейными объемными свойствами сводится интегральными преобразованиями либо к задаче об оцределении упругих несовместных деформаций с неоднородными для них уравнениями, либо к задаче кубически нелинейной теории упругости с дополнительными массовыми силами. Здесь рассматриваются два материала: однородно стареющий и неоднородно стареющий. Неоднородно стареющий материала в области линейного поведения описывается ядрами Н.Х.Арутюняна [2,4,9]. В п,4 предлагается методика определения из эксперимента параметров ядер, введенных в рассмотрение в п,2. В качестве примера рассматриваются опыты на ползучесть металлов в широком диапазоне температур, Во в т о р о й главе решаются конкретные нелинейные и линейные задачи вязкоупрутости, для которых в п,3 гл,1 сформулирован принцип соответствия. В п,1 решается о кручении неоднородного по оси бруса из кубически нелинейного стареющего материала. В п,2 решается задача о кручении неоднородного стареющего линейного вязкоупрутого бруса. В п.З решена задача о трубе из кубически нелинейного стареющего материала в смешанной постановке. В п,4 исследуется задача о брусе, сжимаемом мезкду двумя жесткими плитами. Задача решается методом Ритца на основе теоремы Кастильяно и принципа соответствия, сформулированного в п,3 гл,1, Результаты расчетов приведены в п р и л о ж е н и и П. Основное содержание диссертации отражено в работах [31], 133], 134].Автор благодарит своего научного руководителя профессора Колокольч1Жова В.В. за постановку задачж и постоянное вниглание к работе.

В работе получены следующие результаты.1. Pc;t3работай аппарат тензорных произведений гильбертовых про странств пршленительно к задачшл вязкоупругости. Введены преоб разования координат в используемом тензорном пространстве и по лучены законы преобразования тензоров при смене базисов в гиль бертовых пространствах.2. Как частный случай преобразований тензоров при смене бази сов в гильбертовых пространствах, рассмотрены линейныь интег ральные преобразования по времени краевых задач вязкоупругости, когда связь меж;щ/ компонентагли тензоров напрягкений и дефор^маций задается в виде операторного ряда Фреше. Полз'че1Щ необходилые и достаточные услов1ш сводшлости такшли преобразованишш задач нелинеШой теории вязкоупругости к зацачшл нелинеШои теор1ш упругости. Введено понятие оптршального преобразования, позво ляю.цего производить подобное сведение.3 . Выделен класс нелинеI^ KHX стареющих неоднородных материалов, для которых существует оптиглальное преобразование, то есть для которого лине1йыми интегральнытли преобразованиягли задача теории вязкоупругости сводится к задаче теории упругости.4. Для материалов с лжпеШшш объемными и нелинейными сдв1п?овы ми свойствами пслучены следующие результаты: 1 Форг;1улР1руются ^],остаточные условия сводрЕлости лршерЗными интегральными прообразоваю1Ягли задач теории вязкоупру гости к краевьм задачагл теоргш унгругости.2 Выделяются классы материалов, допускающих подобное све дение. 5. Предложена методика определения параметров ядер релаксащш

14ЛИ ползучести введенного класса материалов.6. Ш конкретных прилерах опробывается ыетодака приленешш развитого аппарата.

1. Александровский С.В, Расчет бетонных и железобетонных конструкций на изменения температуры и влажности с учетом ползучести. М.:Стройиздат, 1973.

2. Арутюнян Н.Х. Ползучесть стареющих материалов. Ползучесть бетона. В кн.: Механика в СССР за 50 лет, т.З. М.: Наука, 1963.3» Арутюнян Н.Х. Некоторые задачи теории ползучести для неоднородно стареющих тел. Изв.АН СССР МТТ, 1976, № 3, с. 153-164.

3. Арутюнян Н.Х. Об уравнениях состояния в нелинейной теории ползучести неоднородно стареющих тел. ДАН СССР, 1976, т.231, № 3, с.559-562.

4. Арутюнян Н.Х. Краевая задача теории ползучести для наращиваемого тела. ПММ, 1970, т.41, вып.5, с.783-789.

5. Арутюнян Н.Х. О принципе соответствия в теории ползучести при конечных деформациях. Изв. АН СССР МТТ, 1980, № 5, с.5-96.

6. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. О принципе соответствия в нелинейной теории ползучести стареющих тел. Изв. АН СССР МТТ, 1979, Я 6, с.51-55.

7. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Об одном классе ядер для описания ползучести стареющих сред. ДАН СССР, 1981, т.258, № 3,с.559-561.

8. Арутюнян Н.Х, Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983, - 336 с.

9. Арутюнян Н;Х., Метлов В.В. Некоторые задачи теории ползучести неоднородно-стареющих тел с изменяющейся границей. Изв. АН СССР МТТ, 1982, № 5, с.91-100.

10. Арутюнян Н.Х., Метлов В.В, Нелинейные задачи теории ползучести наращиваемых тел, подверженных старению. Изв. АН СССР МТТ, 1983, & 4, с.142-162.

11. Батиров Р. К решению физически нелинейных квазистатических задач вязкоупругости. Механика полимеров, 1973, № 3,с.558-561.

12. Баринов Ю.Ф. Упруго-пластический расчет трубы переменной толщины из уточняющегося материала. Тр. ВНИИ по строительству магистральных трубопроводов. 1977, № 40, с.24-31.

13. Бленд Д. Теория линейной вязко-упрутости. М.: Мир, 1965, 199 с.

14. Болотин В.В., Новиков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М»: Машиностроение, 1980. - 374 с.

15. Бугаков И.И. Нелинейная неизотермическая наследственная теория ползучести. Вестник ШУ, матем., механ., астрон., 1971, В I, вып.1, с.86-93.

16. Варданян Г.С., Гетрик В.И. О теории термоползучести неоднородно стареющих сред. Изв. АН СССР, Механика, 1979, т.32, Я 5, с.38-47.

17. Вилке У.К., Табуне В.А., Крегерс А.Ф. Ползучесть наполненного полиэтилена цри сложном нагружении растяжением и кручением. Мех. композит, материалов, 1980, J 4, с.601-607.

18. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, .1971. - 512 с.

19. Волков В.В., Усманов М.А. Осесимметричная плоская задача нелинейной теории упругости.,В кн.: Работы по механике . сплошных сред. Тула, 1977, с.18-23.

20. Вольтерра В.В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. - 304 с.

21. Гаврилов Д.А. О некоторых методах обработки экспериментальных данных при определении ядер ползучести или релаксации. Мех. композиты, материалов, 1980, № 4, с.753.

22. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.: Наука, 1980. - 303 с.

23. Гвоздев А.А. Замечание о нелинейной теории ползучести бетона при одноосном сжатии. Изв. АН СССР МТТ, 1972, № 5, с.33.

24. Громов В.Г. О математическом содержании принципа Вольтерра в граничной задаче вязкоупругости. ПММ, 1971, т. 36, вып. 5, с.869-878.

25. Дарвиш Д.М. Кручение бруса из нелинейного вязкоупругого материала. Механика полимеров, 1977, № 4, с.668-672.

26. Дроздова И.В. О поведении кольцевого стержня из растущего материала. Мех. композита, материалов, 1981, № 5, с. 889 -895.

27. Дюво Г., Мюнс Ж. Л. Неравенства в механике и физике. - М.: Наука, 1980. - 383 с.

28. Екельчик B.C., Рябов В.М. Об исследовании одного класса наследственных ядер в линейных уравнениях вязкоупругости . -Мех. композита, материалов, 1981, J& 3, с.393-404.

29. Ермоленко Г.Ю. Представления краевых задач для нелинейных стареющих вязкоуиругих композитов. В кн. " Тезисы докладов 5-ой Всесоюзной конференции по композиционным материалам (выпуск 2). М.: Издательство МГУ, 1981, с. II-I3.

30. Ермоленко Г.Ю. Одна из возможностей построения определяющего уравнения для скорости ползучести. Межвузовский сборник. Физика структуры и свойств твердых тел. Куйбышев, 1976, с. 4954.

31. Ермоленко Г.Ю. Динамика дислокаций и внутреннее трение.В кн.: Механика деф.тв.тела. Всесоюзная школа и конференция молодых ученых. Тезисы докладов. Куйбышев, 1978, с.16.

32. Ермоленко Г.Ю., Колокольчиков В.В. О решении задач главной кубической теории вязкоупругости дня неоднородно-стареющих тел. ДАН Арм.ССР, 1984, т.78, № 4, с.159-164.

33. Ершова М.П. Кручение вязкоупругих неоднородных изотропных брусьев. Прикл.механика, 1981, т.1, № 3, с.104-109.

34. Ефимов А.Б., Малый В.И. О принципе Вольтерра и методе аналитического продолжения в линейной вязкоупругости. -ДАН СССР, 1974, т.218, №5, с.1039-1043.

35. Ефимов Н.В. Введение в теорию внешних форм. М.: Наука, 1977. - 88 с.

36. Зевин А.А. Приближение функций вольтерровых в задачах теории ползучести стареющих материалов. Изв. АН Арм. ССР. Механика, 1979, т.32, Л» 6, с.41-35.

37. Зезин Ю.П. Толстостенный цилиндр из наполненного полимера, связанный с упругой оболочкой. Тематический сб. науч.трудов. Моск.авиац.институт, 1978, Jfc 423, с.28-32.

38. Ильюшин А.А. Метод аппроксимаций для расчета конструкций по линейной теории термовязко-упругости. Механика полимеров, 1969, № 4, с.584-587.

39. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: М1У, 1978. -286 с.

40. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука, 1970, - 280 с.

41. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности и ползучести, учитывающая наследственные свойства и влияние скорости пластического деформирования на локальный предел текучести материала. ДАН СССР, 1978, т.238, В I,с.36-38.

42. Кадырбеков Т.В. Нелинейные колебания вязко-упругой балки. В кн.: Сейсмостойкость подземных сооружений и натурное исследование зданий. Ташкент: Фан, 1976, с.159-167.

43. Каралетян К.С. 0 теоретических и экспериментальных исследованиях в области теории ползучести. Изв.АН СССР, Механика, 1976, т.29, № I, с.27-38.

44. Колокольчиков В.В. Метод последовательных приближений для нелинейной вязкоупругости, основанный на нелинейном принципе соответствия и методе аппроксимаций. Механика полимеров,Я 3, 1978, с.417-424.

45. Колокольчиков В.В. 0 сходимости метода последовательных приближений с интегральными преобразованиями для задач нелинейной вязкоуцругости. ДАН СССР, 1979, т.245, № 2, с.325-329.

46. Колокольчиков В.В. Смешанные сверточно-суперпозиционные ряды при решении интегральных уравнений нестабильной вязкоупругости. -ДАН СССР, 1980, т.252, 1 4, с.829-831.

47. Колокольчиков В.В. Принцип соответствия и метод аппроксимаций для некоторых нелинейных наследственных сред. Механика полимеров, . 1971, * I, с.66-73.

48. Колокольчиков В.В. Решение задач о коническом стержне, плоском клине, пористой трубе для нелинейных вязкоупрутих материалов при помощи обобщенного принципа соответствия,Механика полимеров, 1978, № 6, с.1071-1078.

49. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: Высшая школа, 1976. - 277 с.

50. Колтунов М.А., Трояновский И.Е. Метод упругих решений задач термовязкоупругости. Механика полимеров, 1970, # 4, с.603-614.

51. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоуцругости. М.: Мир, 1974. - 338 с.

52. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: Мир, 1982. - 348 с.

53. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: М1У, 1976. - 367 с»

54. Ломакин В.А. Современные проблемы и методы теории упругости. В кн.: Расчеты на прочность, вып.17. М.: Машиностроение, 1976, с.3-7.

55. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. -512 с.

56. Малмейстер А.К., Янсон Ю.О. Прогнозирование деформативности физически нелинейных материалов при сложном напряженном состоянии. Мех.композитн. материалов, 1981, № 2,с.313-318.

57. Мальцев Л.Е., Крекнин А.И. Метод непосредственного решения задач вязкоупрутости. Механика полимеров, 1977, № 4,с.606-613,.

58. Мешков С.И. Приложение интегральных уравнений Вольтерра к описанию наследственно-упругих свойств твердых тел, В кн.: Механика деформируемых твердых тел и конструкций. - М*:Машиностроение, 1975, с.286-294.

59. Мешков.С.И, Вязко-упругие свойства металлов. М.: Металлургия, 1974. - 192 с.

60. Москвитин В.В, Об одном методе решения задач нелинейной термо-вязко-упругости. В кн.: Упругость и неупрутость. Вып.2. -М.: М1У, 1971, с.167-175.

61. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981. 344 с.

62. Педаховский И.И. Общее решение трехмерной задачи линейной теории ползучести. В кн.: Исследования по теории сооружений. - М.: 1970, вып.18.

63. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977. 384 с.

64. Победря Б.Е. Метод последовательных приближений в нелинейной теории вязко-упругоети. Механика полимеров, 1969, № 2.

65. Победря Б.Е. О сходимости метода упругих решений в нелинейной вязкоупругости. ДАН СССР, 1970, т.195, № 2, с.307-310,

66. Победря Б.Е. Симметричная деформация цилиндрической оболочки из нелинейного вязкоуцрутого материала. В кн.: Теория пластин и оболочек. - М.: Наука, 1971, с.227-231.

67. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.

68. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. - 383 с.

69. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. -416 с.

70. Савин Г.Н., Рущицкий Я.Я. О применимости принципа Вольтер-ра. В кн.: Механика деформируемых тел и конструкций. - М.:Машиностроение, 1975, с.431-436.

71. Сорокин О.В., Самарин Ю.П. Ползучесть деталей машин и сооружений. Куйбышев: Куйбышевское книжное изд-во, 1968. -144 с.

72. Суворова Ю.В., Хазанов С.Ю. Метод разрывов в нелинейных динамических задачах наследственной вязкоупругости. Изв. АН СССР. Мех.твер.тела, 1978, № 2, с.120-124.

73. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория улрутости. М.: Наука, 1979. - 560 с.

74. Тимошенко С.П. Статические и динамические проблемы теории упругости. Киев: Наукова думка,1975. - 564 с*

75. Толоконников Л .А., Макаров Е.С. Вариационный метод в теории пластичности сжимаемых сред. В кн.: Работы по механике сплошных сред. - Тула, 1977, с.3-18.

76. Физическое металловедение. Вып.З. М.: Мир, 1968. -484 с.

77. Харлаб В.Д. Распространение принципа Вольтерра на случай некомму тирующих операторов. Труды Ленингр. инж.-строит. ин-та, 1968, № 57, с.89-100.

78. Эль Карамани A.M. Решение задач неоднородной теории вязко-упругих тел. Механика полимеров, 1978, № 5, с.826-831.

79. Bychawski Z. Inversion of weak nonlinear constitutive operators of eheological media. "Proc. 7 th Int.Congr. Rheol., Gothenburg, 1976, p.626-627.

80. Boonlualohr P., Valliappan S. Elastoplastic torsion of anisotropic bars. "J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng.,", 1976, v.102, N 6, p. 995-1008.

81. Bnuer Shlomo On the form of the free energy in linear viscoelastic solids. I.mec., 7, N 4, 1968.

82. Chen Peter J., Gurtin Morton E., Willianis Wulliaam 0.Oh the thermodynamics of non simple elastic materials with two temperatures. "Z. angew. Maht. und Phys.", N f, 20,1969.

83. Jaan Nsiu-lin, Lianis G. Experimental investigation of nonlinear viscoelasticity in combined finite tirsion-tension. "Frans. Soc. Real.", 1972, 16, N 4, 615-633.

84. Huet C. Viscoelasticite non linearite et calcul symboligue. "Cah. Groupe franc, rheol.1974, 3, N 4, p.150-159.

85. Krieg R.D., Krieg D.B. Accuracies of numerical solution methods tor the elastic-perfectly plastic model. "Trans. ASME", 1977, 199, N 4, p.510-515.

86. Lobliner J. Short-time approximations in nonlinear viscoelasticity. Internat. J. Solids and Struct. 3, N 4, 1967.

87. Lipmann H. Eine Cosserat Theorie des plastischen Fliessen. "Acta. mech.", 1969, N 3-4, p.255-284.

88. Lockett P.J., Turner S. Nonlinear creep of plastics. "J.Mech. and Phus. Solid.", 1971, 19, N 4, 201-214.

89. Madan V.P. On a correspondence principle in thermo linear viscoelasticity. "Riv. mat. Univ. Parma", 1970, 11, 111-116.

90. Mangin G.A., Eringen A.C. On the eguations of the electrodynamics of deformable bodies of finite extent. "J. mec.", 1977, v. 16, N 1, 101-147.

91. Nowacki W. Coupled fields in elasticity."Trends Appl. Pure Math. Mech.", London e.a., 1976, 263-280.

92. Ohaski Y., Kawashima K. Plastie deformation of aluminium alloy under abruptly-ehanging loading or strain paths. "J. Mech. and Phys. Solids", 1977, 25, И 6, 409-421.

93. Ohashi Y., Tokuda M., Tanaka Y. Formulation of stress-strain relation for plastie deformation of mild steel for strain trajectory cousisting oftwo straight branches. "J. Mech. and Phys. Solids", 1977, 25, К 6, 385-407.

94. Pobedria B.E. Some methods of solving problems of non-linear thermo-viscoelasticity. "Rorpr. inz.", 1974(75), 22, И 4, p.545-563.

95. Pdbedria B.E. Torsion of a Visco-elastio Circular. Bulletin de e'academie Polonaise des Sciences. Ser. techn. vol.14, IT 3, 1966.

96. Saito Masakatsu. Constitutive eguations of polarizable thermoplastic materials."Technol. Repts Osaka Univ.", 1977, v 27, N 1364-1393, 457-462.

97. Sharma M.G., Wen P.R. Nonlinear viscoelastic behaviorof cellulose acetate,- SPE Trans., 1964, v.4, N 4, p.282.

98. Struik L.C.E. Physical aging in amorhous polimers and other materials.- Amsterdam: Elsevier, 1978. 222 p.

99. Tsien H.S. A generalization of Alfrey's theorem for viscoelastic media. Quart.Appl.Math., 1950, v.8, N 1.

100. Variational methods in the mechanics of solids. Ed.S. Uemat-Uasser.- N.Y.:Pergamon Press, 1980. 406 p.

101. Volterra V. Lemons sur les fonctions de lignes. Paris: Gauther-Villard, 1913. - 230 p.

102. Volterra V. Sulle equazioni integro-differenziali, della theoria dell elasticita. Atti Reale Academia dei Lincei Rend., 1909, v.18, И 2, p.295.