Совершенствование конечно-элементных алгоритмов расчета произвольных оболочек при различных вариантах интерполяционной процедуры

Киселева, Татьяна Алексеевна

Совершенствование конечно-элементных алгоритмов расчета произвольных оболочек при различных вариантах интерполяционной процедуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Киселева, Татьяна Алексеевна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Волгоград МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Совершенствование конечно-элементных алгоритмов расчета произвольных оболочек при различных вариантах интерполяционной процедуры»

Автореферат диссертации на тему "Совершенствование конечно-элементных алгоритмов расчета произвольных оболочек при различных вариантах интерполяционной процедуры"

На правах рукописи

Киселева Татьяна Алексеевна

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ВАРИАНТАХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ

01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

г 1 ноя 2013

Волгоград - 2013 005539573

005539573

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный аграрный университет» на кафедре «Высшая математика».

Научмый руководитель доктор технических наук, профессор

Клочков Юрий Васильевич.

Официальные оппоненты: Бандурин Николай Григорьевич,

доктор технических наук, профессор, Волгоградский государственный ' архитектурно-строительный университет, кафедра, строительной механики, профессор;

Козлов Владимир Анатольевич, доктор физико-математических наук, доцент, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, кафедрг1 строительной техники и инженерной механики, профессор.

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Российский университет

дружбы народов».

Защита состоится « 19 » декабря 2013 года в 13:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.028.04, созданного на базе Волгоградского государственного технического университета по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ауд. 209.

С диссе|ггацигй можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университет!I.

/автореферат разослан « 11» ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Водопьянов Валентин Иванович.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В настоящее время одними ш наиболее распространенных элементов строительных конструкций и промышленных сооружений являются оболочки различных форм. Благодаря разнообразию своих конфигураций оболочечные конструкции позволяют как в полной мере учесть прочностные свойства применяемого материала, так и: более рационально его использовать. Многообразие форм оболочечных конструкций Диктует необходимость совершенствования методов определения напряженно-деформированного состояния не только оболочек вращения, но и произвольных оболочек.

В создании общей теории тонких оболочек важную роль сыграли отечественные ученые Власов В.З., Новожилов В В., Бидерман BJL, Векуа И.Н., Вольмир A.C., Григолюк Э.И. и другие. В процессе решения поставленных задач по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) оболоч!-ки получаются достаточно сложные системы дифференциальных уравнений, поэтому наиболее используемыми ранее являлись приближенные и упрощенные методы решения прикладных задач. Однако, с развитием и постоянным повышением эффективности компьютерной техники, а также появлением большого количества прикладных программ, все большее расп[юстр;шение стали получать численные методы расчета оболочек, в частности метод конечных элементов (МКЭ).

Наиболее важным аспектом конечно-элементной процедуры является интерполяция искомых величин во внутргнней области конечного элемента через их узловые значения. В настоящее время ши|Юкое распространение получила скалярная интерполяционная процедура, основанная на аппроксимации отдельной компоненты вектора перемещения через узловые значения этой же компоненты. Такой подход позволяет получить удовлетворительные решения при достаточно плавной геометрии оболочек. При наличии же значительных градиентов кривизн срединной поверхности или имеющих место смещений оболочки как жесткого целого, скалярная интерполяционная процедура приводит к резкому увеличению погрешности расчета.

Для решения данной проблемы может быть использована векторная интерполяционная процедура, основанная на гяпроксимации непосредственна вектора перемещения, а не отдельных его компонент, представляющих собой скалярные величины.

Цель работы — выявить области эффективности применения интерполяции полей векторов перемещений при расчете произвольных оболочек и усовершенствовать конечно-элементные алгоритмы расчета произвольных оболочек и сочлененных оболочек с различными значениями физико-механических свойств при различных вариантах интерполяционной процедуры.

Достижение поставленной цели т ребует решения след ующих задач:

1. Разработать новые варианты формул задания срединных поверхностей произвольных оболочек, позволяющих рассчитывать оболочки без наложения каких-либо существенных ограничений на их размеры.

2. Разработать алгоритмы формирования матриц жесткостей четырехугольных конечных элементов для расчета произвольных непологих оболочек при различных вариантах интерполяционной процедуры.

3. Создать на базе разработанных алгоритмов пакеты прикладных программ по расчету на прочность произвольных непологих оболочек, а также произвольных сочлененных оболочек при различных вариантах интерполяционной процедуры.

4. Выполнить сравнительный анализ эффективности разработанных алгоритмов мезвду собой и с алгоритмами, использованными в программном комплексе А^УБ.

Научная новизна заключается в следующем:

1. Предложены новые варианты формул, задающих срединные поверхности произвольных оболочек, имеющих в сечении эллипс или какую-либо другую замкнутую линию, дающие ясную геометрическую интерпретацию срединных поверхностей оболочек и позволяющие представить непрерывную параметризацию рассчитываемой поверхности.

2. Разработан алгоритм формирования матриц жесткостей четырехугольного конечного элемента для расчета произвольных оболочек при скалярной и векторной интерполяциях перемещений.

3. Разработаны кинематические и статические условия сочленения произвольных оболочек с различными значениями физико-механических свойств материала.

4. Выполнен сравнительный анализ эффективности применения интерполяции полей векторов перемещений в алгоритмах формирования матриц жесткостей четырехугольных конечных элементов при расчете произвольных оболочек со значительными кривизнами срединных поверхностей, при наличии зон сочленения оболочек с различными физико-механическими свойствами.

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается корректной математической постановкой задач с использованием векторного и тензорного анализа, теории тонких оболочек, теории аппроксимации функций, а также подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных алгоритмов, с аналитическими решениями и решениями программным комплексом АЫвУЗ. Анализ сходимости вычислительного процесса отслеживался варьированием количества дискретных элементов рассчитываемых оболочек.

Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в разработке алгоритмов, реализующих теоретические результаты диссертационной работы, в виде пакета прикладных программ по расчету на прочность произвольных непологих оболочек, который может быть использован научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, занимающимися проектированием, строительством и эксплуатацией сложных оболочечных конструкций. Использование указанных алгоритмов позволяет выполнять уточненный расчет прочности конструкций из оболочек, что обеспечивает их надежную работу.

Реализация и внедрение результатов.

Результаты диссертационном работы используются при расчётах конструкций на прочность в Поволжском НИИ эколого-мелиоративных технологий РАСХН, г. Волгоград.

Основные результаты работы, выносимые на защиту:

1. Новые варианты формул, задающих срединные поверхности произвольных оболочек.

2. Алгоритм формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента для расчета произвольных оболочек при скалярной и векторной интерполяциях перемещений.

3. Кинематические и статические условия сочленения произвольных оболочек с различными значениями физико-механических свойств материала.

4. Результаты исследования НДС произвольных оболочек и их сочленений с помощью разработанных программ на базе предложенных алгоритмов.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на международной научно-практической конференции «Современные направления повышения эффективности использования мелиорированных территорий и охраны земель», посвященной 45-легию эколого-мелиорагивного факультета ВГСХА (Волгоград, ВГСХА, 2009), III всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Научное обеспечение агропромышленного комплекса» (Краснодар, КубГАУ, 2009), международной научно-практической конференции «Новые направления в решении проблем АПК на основе ресурсосберегающих, инновационных технологий», посвященной 65-летию Победы в Великой Отечественной войне (Волгоград, 2010), III международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2010» (Москва, РУДН, 2010), международной научно-практической конференции «Интеграционные процессы в науке, образовании и аграрном производстве - залог успешного развития АПК» (Волгоград, ВГСХА, 2011), IV международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2011» (Москва, РУДН, 2011), V международной научно-практической конференции молодых исследователей «Наука и молодежь: новые идеи и решения» (Волгоград, ВолГАУ, 2011), XVI региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области (Волгоград, ВолГАУ, 2011), международной научно-практической конференции «Аграрная наука - основа успешного развития АПК и сохранения экосистем» (Волгоград, ВолГАУ, 2012), V международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2012» (Москва, РУДН, 2012), VI международной научно-практической конференции молодых исследователей «Наука и молодежь: новые идеи и решения» (Волгоград, ВГСХА, 2012), международной научно-практической конференции «Интеграция науки и производства - стратегия устойчивого развития АПК России в ВТО» (Волгоград, ВолГАУ, 2013), VI международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2013» (Москва, РУДН, 2013). Полностью работа докладывалась на совместном заседании кафедр «Высшая математика» и «Лесное и водное хозяйство» Волгоградского государственного аграрного университета 30 мая 2013 г.

Публикации. По теме диссертации опубликована двадцать одна научная работа, из них пять - в рецензируемых изданиях, рекомендованных Перечнем ВАК РФ.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы. Основной текст работы изложен на 182 страницах, содержит 16 рисунков, 15 диаграмм и 17 таблиц. Список используемой литературы включг;ет 237 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

По введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи исследования; указана научная новизна и практическая ценность работы, описана структура диссертации.

II первой главе проведен обзор существующих в настоящее время работ по исследуемой теме. При анализе научных работ различных авторов выявлены недостатки и проблемы применения метода конечных элементов в определении параметров напряженно-деформированного состояния оболочек. В работах Косицыиа С.Б., Мануйлова Г.А., Голованова А.И., Кузнецова Ю.М. и других акторов при расчете оболочек вращения предлагается производить учет смешений конечного элемента как жесткого целого в явном виде различными способами. Однако предложенные способы не позволяют считать проблему учета, смещений конечного элемента как жесткого целого полностью решенной.

Обозначенную проблему п работах Николаева А.П., Бандурина Н.Г., Клочков>1 Ю.В. предложено решать в неявном виде на основе векторной интерполяции перемещений, основанной на использовании интерполяционного выражения для вектора перемещения в целом, а не для его отдельных компонент. В рамках предложенной векторной интерполяции на базе научной школы при Волгоградском государственном аграрном университете ведется решение проблемы учета смещения конечного элемента как жесткого целого, однако исследования проводились в основном для оболочек вращения, что требует дополнительного исследования эффективности использования веггорной интерполяции при расчете произвольных оболочек.

Расчет произвольных оболочек можно производить с помощью разработанных конешго-элементных вычислительных комплексов, таких как ЛЫвУв, МА8ТЯА1^, АВАрив и других, использующих в качестве элемента дискретизации четырехугольные и треугольные фрагменты срединной поверхности оболочки. Однако при расчете оболочек с большими значениями кривизн срединной поверхности или допускающих смещение оболочки как жесткого целого под действием заданной нагрузки современные программные комплексы могут давать некор|>ектные результаты, поскольку матрицы жесткости конечных элементов, используемых в них, формируются на основе скалярной интерполяционной процедуры, когда отдельная компонента вектора перемещения интерполируется через узловые значения этой ж« компоненты. Вышеуказанные причины требуют совершенствования алгоритмов конечно-элементного расчета произвольных Ыюлочек, основанных на использовании четырехугольных конечных элементе«.

Во второй главе на основе уравнения механики сплошной среда! изложена процедура получения основных соотношений теории тонких произвольных оболочек с использованием гипотезы прямых нормалей. Предлагаются новые варианты формул, задающих срединные поверхности произвольных оболочек, имеющих в сечении эллипс или какую-либо другую замкнутую линию, уравнение задания радиус-вектора которой известно, позволяющих выполнить расчет оболочек без каких-либо ограничений их размеров.

х2 у2 :2

Например, радиус-вектор трехосного эллипсоида —г + —+ — = 11 предла-

а b с

гается записывать в форме

R°=xT + r{x,e)sme¡ + r{x,e)cos6k, (1)

где в - угол, отсчитываемый от оси О: против хода часовой стрелки is плоскости, перпендикулярной оси Ох (рис. 1).

Входящая в (1) функция г(х,в) вычисляется пс5 формуле

г(х,0) = £Щ , , , ЪС , -• (2)

\ а л/с sin 0 + Ь cos' 0 В энциклопедии аналитических поверхностей С.Н. Кривошалко, В.Н. ÜEia-нова 2010 года издания приводятся различные параметрические формулы задания эллипсоида, однако применяемые параметры не имеют явной геометрической интерпретации в отличие от предложенных параметров х и д. Формулу (1) можно применить и для расчета компенсатора (рис. 2) (: = А1 + В, cos(x/C\ \y = A2+B2cos{x/c),

где A, S В„ Л2 > Вг.

Функция г(х,9) при этом может быть згдана в виде (А, + В, cos(x/C))-(A1 + Вг cos(jf/С))

(3)

г{х,в) =

т/(/42 + Вг cos(x/C))2 соз! 0 + (А, + В, cos(х/С))г sinJ6>

(4)

Рис. 1 Рис. 2

В третьей главе изложен алгоритм расчета произвольных непологих оболочек при использовании независимой интерполяционной процедуры и векторной интерполяции полей перемещений.

Столбец узловых неизвестных четырехугольного конечного элемента! (КЭ) размером 72x72 при независимой интерполяционной процедуре: в локальной системе координат -1 £ // < 1 имеет следующий вид

1>72 ^ 1*2-1 1*24 J

= {н-' IV' Н>* М>' К,', И',', XV ^ 1С,; И'4 Н'4

1<24

и,4 и-4 <, »-4 <, <„ и-4 < м'41

Здесь и ниже под »г понимается компонента вектора перемещения V1, V2 или V.

Перемещения произвольной точки конечного элемента выражаются через соответствующие узловые значения в виде зависимостей

и>=я,(<г)я,(7У + я2(#)я,0/У + нМ)игШ + нХ£)н1(г}у + + я з (<г)я, (/;><,+//,(£)//, +/Л (<ГК О/К+я,(£ )я2 (пН+

+ я, )я5(^Я'„+яг (<г )я, (7У4,+яг )я6 V:, + я,(^)я6(7К:,+

где Н,...Н6 - полиномы Эрмита пятой степени.

Соотношение (6) можно записать в матричном виде

(7)

Первые и вторые производные компонент вектора перемещения можно получить дифференцированием (7) по криволинейным координатам 9х и в1

™>а = (К Г К Ь

= (к« У +2 }Г £ „ 7,„+К,,+

Ч^^+КЬ^Ы (8)

= (К* }Г +К-, }Г 7,.,+К-, }Г<Г>, 7,„ +

Ч >а

КГ

Ж}>

где нижние индексы аг и р обозначают дифференцирование по глобальным координатам в{ и в2.

Связь между столбцами {(/} и {сг} может быть представлена в матричном виде

М = (9)

3x1 3x72 „„

где {{/}г ={у'у2у}.

Для вывода матрицы жесткости и вектора сил криволинейного четырехугольного конечного элемента используется равенство работ внутренних и внешних сил конечного элемента на возможном перемещении

\{е<}т{о}<1У = \{иПР}<1Р. (10)

г р

Матрицу жесткости и вектор внешней нагрузки в глобальной системе координат получают в результате умножения матрицы жесткости и вектора сил в локальной системе координат на матрицу преобразования [Р5]

[ку [лГ =[«№!• (11)

72«72 72«72 72«72 72x72 72к1 72«72 72*1

Столбец основных узловых неизвестных для элемента 72x72 с векторной интерполяцией полей перемещений в локальной и глобальной системах координат выбирается в следующем виде

{у;}г = {»'у'У'У'У,', У,; V,1, у,; У4 У,;.У,;

1*24

у4 У4 V,;,. V,;, у,^ У4 У4 К-, }; (12)

кг=И'? *у'у,:, у,:, У/, у,'в1 У,:, V,:,

1*24 .

у,^ ^ у^,.. У4, у,:,г у,и, у,:,. ^ ^ у,^},

где у'...у' - векторы перемещения узловых точек конечного элемента; у'....у'. ^ ...у', - производные вектора перемещения узловых точек в локальной системе координат; , у^-у'„, - производные вектора перемещения узло-

вых точек в глобальной системе криволинейных координат О' и в1. Между векторами (12) формируется матричная зависимость

К1=[м/]{у;}, С1з>

24x1 и»21 24x1

где элементы матрицы [М/] определяются из выражений

у;=V- ■ в'; + у; • у; = у; • С + ■ у.:, = у;,в, + 2у;,, в';-в? {в^-,

V,;=V;,, -(СУ + 2у;„-в: -с+у;. -(с)2; <14>

индекс т принимает значения /, у, Л, /.

Для узлов четырехугольного конечного элемента, можно сформулировать матричное соотношение

Кг}=р]{*Л> (15)

24x1 72x1

где матрица Щ представляет собой квазидиагональную матрицу, элементами

которой являются базисные векторы узловых точек конечного элемента. Столбец {Л,} определяется выражением

= {у "у2Уу"у2'ууу"у2'у'у"у V

/"/V 1Чи у / Л (16)

V V V —1в-,в'- •• 0=V«1 »У V»1 '<А)= V«5 У к '

Входящие в (16) многочлены ^, являются компонентами производных векторов перемещений узлов четырехугольных КЭ и представляют собой многочлены, содержащие у'-, V1;, у';, У2", V2;, у2- и так далее (т = /, у, к, /).

Для узловых точек I, у, к, I элемента столбец может быть выражен в глобальной системе координат через столбец {и^} скалярных узловых неизвестных четырехугольного элемента дискретизации

ШруШ

(17)

где

И*72 I 1x24 1x24 1x24 )

(18)

Вектор перемещения внутренней точки конечного элемента интерполируется через узловые векторы (12), (13)

V =- {„Г Кл}= ыт [м/]{у; }=(хГ (19)

|«24 2Ы1 2'1*24 24x1 1,24 24x1

В результате подстановки (17) и (18) в (19), последнее может быть преобразовало к виду

У=={г}г Ы[/>к]{(/;}. (20)

1>::4 Йх72 72x72 72x1

Базисные векторы внутренней точки четырехугольного КЭ и базисные векторы его узлов могут быть представлены в декартовой системе координат

где {/"}=={! 7 к] {а} = {а,а2Й },

{я"в"а" ]', (т = /, ], к, /) Используя операцию нахождения обратной матрицы

[</"]-'{«-}, (22) можно базисные векторы узловых точек четырехугольного КЭ выразить через векторы базиса внутренней точки конечного элемента

(23)

3>1 3x3 3x3 3x1 3x3 3*1

С учетом (23) соотношение (20) может быть записано в следующем виде

(24)

1x3 1-72 72x72 72х|

3x72 _ 3*3 3x3 | 3x3 | Зх!! 3x3 | 3x3 | 3*3 | 3x3 3x3 _

П|юизводные в ектора перемещения (24) определяются выражениями

Ь-Ш",№Ь'Л К'^Л'ГШ (25)

Р, р принимают значения в' и в2.

Из (24) и (25) можно получить искомые интерполяционные зависимости при векторном способе интерполяции перемещений

З.п 72x72 72>1

=[нЛрфгЛ

А>

=["АрФгЛ (26)

3x72 7272x1

Сопоставляя интерполяционные зависимости (8) и (26), можно отметить, что при векторном способе интерполяции каждая компонента вектора

перемещения зависит от полного наСюра узловых варьируемых параметров в структуру которых входят узловые значения всех трех компонент

вектора перемещения и их производные (18). При скалярном варианте интерполяции отдельная компонента вектора перемещения зависит от узловых значений только этой же компоненты и её производных (8) и не зависит от узловых значений остальных двух комп онент.

Пример I.

При выполнении любого конечно -элементного расчета возникает проблема верификации полученных численных результатов. Поэтому для верификации разработанного алгоритма была решена задача по определению НДС хом-пенсатора (3), являющегося оболочкой вращения в случае В1 = В1, загруженной внутренним давлением интенсивности я (рис. 2). Радиус-вектор компенсатор! задавался с помощью предложенных формул (1), (4).

Были приняты следующие исходные данные: я¡=0,004 МИа, Е=2105 МПа, коэффициент Пуассона у=0,3, толщина оболочки 1=0,002м; параметры компенсатора Л, = Аг = У -V, В, = Вг = 0,4 м, С 0,56 м. Левый край оболочки был шар-нирно закреплен, правый край оставался свободным.

Вследствие наличия плоскостей симметрии рассматривалась одна четвертая часть оболочки. Координаты х и 0 изменялись в пределах 02х^0,5бя>и, 0йв<п!2.

Расчеты были выполнены в двух вариантах: в первом варианте при формировании матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента использовалась скалярная интерполяционная процедура; во втором варианте бьш реализован описанный выше алгоритм векторной интерполяции перемещений.

Результаты повариантного расчета представлены в таблице I, в которой приведены значения нормальных напряжений ег„, в срединных волокнах в опорном и концевом сечениях компенсатора в зависимости от густоты сетки дискретизации.

____Таблица И

Координаты х(м), 0(рад) Напряжения, МПа Вариант интерполяции

сктярная векторная

6x6 8x8 11x11 6x6 8х£ 11x11

х = 0 м, 0 = 0 1,212 1,220 1,223 1,237 1,227 1,223

&оо 0,720 0,722 0,723 0,730 0,723 0,722

х = 0,56л- м, (9 = 0 0,001 0,001 0,000 -0,005 -0,002 0,000

О"» 1,794 1,794 1,793 1,786 1,790 1,792

Для рассмотренного компенсатор!, являющегося оболочкой вращения в данном случае, можно получить аналитическое решение для нормального напряжения а„ в опорном сечении исход» из условия равновесия конструкции

а = ЯГ(А + ВУ-"(.А-В)1 д = 35 Ша (27)

2я(А + В) I

В приведенном примере компенсатора параметр С = 0,56л/, поэтому кривизна при 0 = 0 в точках х = 0 м и х = 0,56жи равна 1,276 м'1, то ость несуще-

ственная. Таким образом, как видно из таблицы 1, результаты повариантного расчета практически совпадают, что лишний раз подтверждает достоверность вычислений по разработанным алгоритмам.

Пример 2.

Была решена задача аналогичная примеру 1, с такими же исходными данными, с той лишь разницей, что параметр С уменьшили в 7 раз до С = 0,08л!. Таким образом, кривизна рассматриваемой оболочки увеличилась в 49 раз и стала равна 62,5 м"1. Изменился интервал координаты х и стал 0< 0,08ям.

Результаты повариантного расчета представлены в таблице 2, в которой приведены значения нормальных напряжений <т„, в срединных волокнах в опорном и концевом сечениях компенсатора в зависимости от густоты сетки дискретизации и способа интерполяции векторов перемещений.

Таблица 2

Координаты х (м), 6 (рад) Напряжения, МПа Вариант интерполяции

скалярная векторная

13x13 17x17 21x21 25x25 11x11 13x13 17x17

* = 0 м, 0 = 0 62,98 -24,94 -39,35 -27,34 1,280 1,225 1,234

-32,07 -101,04 -116,70 -115,11 -107,03 -107,05 -107,04

х = 0,08 л- м, 0 = 0 -297,37 -239,33 -101,80 -33,35 0,0099 0,0054 0,0017

-88,04 -81,54 -32,80 -9,85 0,735 0,731 0,728

Как видно из таблицы 2, результаты повариантного расчета значительно различаются между собой. В первом варианте удовлетворительного результата получить не удалось. Во втором варианте сга в опорном сечении практически совпадают с аналитическим решением (27) при сетке узлов 13x13 и 17x17. В концевом сечении <г„ во втором варианте близко к нулю, так как правый край оболочки не загружен.

Исследование зависимости напряжений на срединной поверхности и погрешности вычислений в опорном и концевом сечениях от способа интерполяции и кривизны оболочки при сетке узлов 11x11 представлено в таблице 3.

Таблица 3

Параметр С (м) 0,56 0,28 0,14 0,08

Кривизна К (м ) 1,276 5,104 20,416 62,524

сг„(МПа) в опорном сечении Скалярная интерполяция. 1,2234 1,1831 -2,5925 77,0389

Погрешность относительно точного решения 0,008% 3302% 311,892% >1000%

Векторная интерполяция 1,2229 1,2077 1,2056 1,2803

Погрешность относительно точного решения 0,049% 1,294% 1,463% 4,642%

<т„ (МПа) в концевом сечении Скалярная интерполяция 0,0002 -0,1675 -15,5899 -305,1132

Погрешность относительно нуля 0,02% 16,75% >1000% >1000%

Векторная интерполяция -0,0005 -0,0019 0,0084 0,0100

Погрешность относительно нуля 0,05% 0,19% 0,84% 1%

Исходя из данных таблиц 2 и 3, можно сделать вывод о достаточно высокой точности определения НДС оболочек со значительными кривизнами разработанным алгоритмом с векторной интерполяцией полей перемещений.

Пример 3.

В качестве примера была решена задача по определению НДС компенсатора (3), являющегося произвольной непологой оболочкой в случае В, Ф В3 и С = 0,08л(, загруженной внутренним давлением интенсивности q (рис. 2).

Были приняты следующие исходные данные: q=0,004 МПа, Е=2105 МПа, коэффициент Пуассона v=0,3, толщина оболочки t=0,002 м; параметры компенсатора А, = Аг =1,3А', В, =0,4м, Вг =:0,42м, С = 0,08л<. Левый 1фай оболочки был шарнирно закреплен, правый край оставался свободным.

Вследствие наличия плоскостей симметрии рассматривалась одна четвертая часть оболочки. Координаты х та 0 изменялись в пределах О 5 * 5 0,08л- м, 0 < в < л п.

Результаты расчета при использовании скалярного и векторного способов интерполяции перемещений представлены в таблице 4, в которой приведены значения нормальных напряжений и <тж в срединных волокнах в опорном и концевом сечениях компенсатора в зависимости oí: густоты сетки диск{>етизации.

Координаты х(м),0(рзд) Напряжения, МПа Вариант интерполяции

скалярная векторная

17x17 21x21 :!5х25 29x29 17x17 21x21 25x25 29x29

х = О.и, 0 = 0 -26,90 -53,02 -50,41 -36,15 4,72 5,46 5,79 5,88

-101,24 -120,35 -117,49 -110,34 -96,28 -95,87 -95,63 -95,47

х ~ 0,08 ям, в = я/2 -318,05 -263,29 -:t09,77 -117,53 0,316 0,242 0,187 0,147

°оо -110,05 -82,01 -48,22 -5,70 29,76 35,21 39,62 43,28

---------------Г.............1 *'1.....и 1шишць -г, нипсишисни!,

что результаты расчета при использовании скалярной и веюгорнэй интерполяции значительно различаются между собой. В первом варианте удовлетворительного результата получить не удаюсь. Во втором варианте значение в концевом сечении монотонно убывает с увеличением числа элементов дискретизации, что позволяет сделать вывод о корректности численных; значений напряжений, полученных с помощью разработанного алгоритма с векторной интерполяцией полей перемещений. Также следует отметить быструю сходимость вычислительного процесса во втором варианте расчета.

Пример 4.

В качестве примера была решена задача по определению НДС оболочки в форме эллиптического цилиндра, нагруженного внешней сосредоточенной силой Р и имеющего одну шарнирную опору в середине цилиндра на диаметрально противоположном конце от точки приложения силы (рис. 3).

Радиус-вектор рассчитываемой оболочки задавался формулой

г{х,в)~-

Ьс

(28)

л/с^п2^ б2 СОБ20

Были приняты следующие исходные данные: сила Р=453,6Н, Е=0,738-105МПа, коэффициент Пуассона у=0,3125, толщина оболочки1=0,0024м, длина цилиндра вдоль оси Ох равна а=0,26289 м, Ь=0,1258 м, параметр с варьировался.

Вследствие наличия плоскостей симметрии рассматривалась одна четвертая часть цилиндра. Координаты х и в изменялись в пределах 0<х<0,131445л, 0<в<п.

Были вычислены значения нормальных напряжений ег„, аю в МПа во внутренних волокнах оболочки в сечении, проходящем через центр цилиндра, перпендикулярно оси Ох в точках 1 и 2 (рис. 3) при различных вариантах интерполяции перемещений. Для удобства проведения анализа полученных напряжений введем обозначения:

Зависимости параметров р и у от значений параметра а при сетке узлов дискретизации 20x20 приведены в форме диаграмм 1 и 2.

(1 10

Диаграмма 1

20.4?«»

< 'ширыя

-рнаи инт^п» ыция

Диаграмма 2

Сшцимс - а Нгмчфвдн

ИМ|1|1Ви.»ЯИН»

Данные, представленные на диаграммах, показывают, что в случае раЕ(ен-ства параметров Ь и с, при котором показатель а = 1, то есть цилиндр был круговым, значения показателей Р и у равны единице при скалярной и векторной интерполяционной процедуре, вследствие чего можно сделать вывод о правильности разработанного алгоритма. По мере того, как значение параметра с уменьшалось, то есть цилиндр все более отличался от кругового и принимал эллиптическую форму, значения коэффициентов Р и у при векторной интерполяционной процедуре оставались постоянными, а при скалярной они изменялись как по величине, так и по знаку.

Если усложнить расчетную схему данного примера, заменив шарнирную опору в точке 2 на две пружинные по краям, то оболочка под действием внешней сосредоточенной силы Р получит возможность перемещаться вертикально вниз как жесткое тело (рис. 4). При этом величина жесткого смещения будет зависеть от жесткости пружины.

Были приняты следующие исходные данные: сила Р=453,6Н, Е=0,738 105МПа, коэффициент Пуассона у=0,3125, толщина оболочки 1=0,0024м, длина эллиптического цилиндра вдоль оси Ох равна а=0,26289м, Ь=0,1258 м, с=0,0629 м. Координаты х и в изменялись в пределах

Были вычислены значения нормальных напряжений аж в МПа во внешних волокнах оболочки в точках 1 и 2 в зависимости от жесткости пружины при сетке дискретных элементов 15x15, 20x20, 25x25 при различных вариантах интерполяции перемещений.

Полученных результаты представлены на диаграммах 3 и 4 для точки 1, а также на диаграммах 5 и 6 для точки 2. Значения напряжений в первом и втором вариантах расчета практически совпадают при отсутствии смещения, что еще раз демонстрирует достоверность разработанного алгоритма. Однако с уменьшением жесткости пружины и вследствие возрастания величины жесткого смещения цилиндра, напряжения значительно отличаются друг от друга. Так, при скалярной интерполяции с увеличением жесткого смещения происходит резкое изменение численных значений напряжений. При векторном же варианте результаты расчета остаются стабильными, то есть векторная интерполяция перемещений позволяет в полной мере учитывать смещения конечного элемента как жесткого целого. Увеличение числа элементов дискретизации в первом варианте расчета не приводит к существенному уменьшению погрешности вычислений.

л" Г—

I::

; Г ,

- Ч^

»-■'>: птчммишпн "»а-1Чинши«

1Ш1У|»М 1ШЫН

- -йкаи.

шпушапн

¡КГ*

(15.Л25)

4 »1чч>и *«-|к»гг» онадшия, М

Диаграмма 3

Ч::

Нг.М'МНЫ Жг. ГК'010 ОкВМШ», м

Диаграмма 4

гачрт.мга»

.«..¡иЗЕГ"

<13125}

-ieSZ"

I Ч:

Bc itciHia AKiMin »мши-мни. <и

Диаграмма 5 Диаграмма 6

Таким образом., можно сделать вывод, что разработанный алгоритм, основанный на использовании высокоточного четырехугольного конечного элемента 72x72 с векторной интерполяцией полей перемещений, в задачах со смещением произвольной оболочки как жесткою тела обладает несомненными преимуществами по сравнению с алгоритмами, основанными на использовании скеляркой интерполяционной процедуры.

В четвертой главе для пересекающихся произвольных оболочек разработаны кинематические и статические услозия сочленения оболочек, необходимые для исследования напряженно-деформированного состояния такого рода конструкций с помощью высокоточных конечных элементов четырехугольной формы, матрицы жесткости (72x72) которых формировались на основе предложенного способа интерполяции полей векторов перемещений.

При расчете сочлененных оболочек на кривой пересечения их срединных поверхностей узловые неизвестные примыкающей оболочки

K'bfvVVvVv^v^vVv^v/v^'vi-v^^'v^^^-v^'v^'} (30)

1x13

должны быть выражены через узловые неизвестные основой оболочки

{-■, F == {vVvv>>^>,(31)

ын

Для получения зависимостей между компонентами векторов (30) и (31) используются следующие условия сочленения.

1, Инвариантность векторов перемещения точек срединных поверхностей )/' = V в у:шах на кривой пересечения позволяет получить зависимости

v"=-v'; v2'=-v2; v'=v. (32)

2 . Равенство первой и второй производных по координате в векторов перемещений V„'~ V„, Vт в узлах на кривой сочленения определяет соотношения

vV=vJ,; v2'= vy, v/=-v,; v«,--v'^; V=v„,. (33)

3. Равенство углов поворотов нормалей к срединным поверхностям основной и примыкающей оболочек в точках кривой пересечения позволяет получить

v>-v,. (34)

4. Равенство нормальных усилий на кривой сочленения

Л—..Je '+у£ J)=—!L—(£ + ve ) дает возможность получить зависимость

1 у'г v " 2 ' 1- у2 4

5. Равенство касательных усилий в узловых точках кривой пересечения Е'И' , ЕИ

|--еа - у--приводит к выражению

6. Равенство моментов Ма = дает возможность выразить вторую производную V „' функцией узловых неизвестных основной оболочки

На основе (32) - (37) составляется матричное соотношение {-/И/]!-,} (38)

Пример 5.

В качестве примера была решена задача об определении НДС оболочки в виде кругового цилиндра сочлененного с эллипсоидом вращения, загруженном внутренним давлением интенсивности я (рис. 5).

Были приняты следующие исходные данные: радиус и длина цилиндра 11=0,9 м, 0=4,0 м; параметры эллипсоида а=1,3 м; Ь=с=0,9 м; толщина оболочки 1=0,008 м; коэффициент Пуассона V =0,3; я=1 МПа.

Расчеты выполнялись в двух вариантах: в первом варианте при формировании матрицы жесткости четырехугольного элемента дискретизации использовалась общепринятая интерполяция компонент вектора перемещения как скалярных величин; во втором вариант применялась векторная интерполяция полей перемещений четырехугольного конечного элемента. В обоих вариантам были реализованы разработанные условия сочленения оболочек.

Результаты повариантных расчетов представлены в таблице 5, в которой приведены численные значения меридиональных и кольцевых напряжений в опорном, сочлененном и концевом сечениях оболочки в зависимости от отношения модулей упругости сочленяемых оболочек, при этом модуль упру гости цилиндра £', последовательно уменьшался, а модуль упругости эллипсоида Е2 = 2 • 105 МПа оставался неизменным

Анализ табличного материала показывает, что результаты инвариантного расчета практически совпадают при равенстве модулей упругости основной (цилиндра) и примыкающей (эллипсоида) оболочек. Однако с уменьшением значения модуля упругости цилиндра, величины контролируемых параметров НДС в концевом сечении оболочки существенно отличаются друг от друга в зависимости от варианта расчета. Этот факт наглядно можно проследить на диаграммах 7 и 8. Так как цилиндрическая часть оболочки становится все более податливой, то эллипсоидная часть о<х>лочки получает дополнительную возможность смещаться как абсолютно твердое тело. Такое смещение не должно оказывать влияние на НДС конструкции, что наблюдается во втором варианте расчета, в котором реализована векторная интерполяция полей перемещений. В первом же варианте погрешность вычислений в концевом сечении егримитель-

' £•'/?'(!+ 1')

(36)

(37)

но нарастает. Меридиональные напряжения, которые по физическим соображениям должны быть равны нулю, так как концевое сечение незагружено, достигают неприемлемо больших значений. Кольцевые напряжения изменяют свой знак, что также является недопустимым. Таким образом, можно сделать вывод, что при расчете сочлененных оболочек с различными физико-механическими характеристиками материала необходимо использовать векторную интерполяцию перемещений в сочетании с разработанными корректными условиями сочленения.

Таблица 5

Интерполяция Скалярная Векторная

1 1 1 1 1 I 1 1

■V Е2 1 10 100 1000 1 10 100 1000

сечения

х=0,0 м < 47,92 47,9 47,9 47,4 47,9 47,9 47,9 47,9

< 47,92 47,9 47,9 47,4 47,9 47,9 47.9 47,9

о-; 112,5 112,5 112,5 112,5 112,5 112,5 112,5 112,5

<т" 112,5 112,5 112,5 112,5 112,5 112,5 112,5 112,5

х=4,0 м ст'„ 46,1 128,9 199,7 210,8 46,2 129,3 200,2 211,6

сг" 49,9 -31,3 -101,1 -113,1 49,8 -31,6 -101,6 -112,8

гт" 100,5 63,7 63,5 63,7 100,5 63,8 63,6 63,8

< 101,6 15,7 -26,7 -33,5 101,6 15,5 -26,9 -33,5

х=5,2 м < -0,08 -11,64 -128,60 -1256,12 0,03 0,03 0,03 0,03

<т" 0,12 11,69 128,77 1257,41 0,05 0,05 0,05 0,05

сг" 84,2 72,5 -»5,0 -1177,9 84,5 84,5 84,5 84,5

сг" 82,3 76,3 5,0 -682,2 83,6 83,6 83,6 83,6

•1«

ЯГ.Ч|ГММ «нмима >«(>чт <м К^/К!

ч »Ы » гаг га ГI Я!л

Диаграмма 8

Диаграмма 7

Пример 6.

В качестве примера была решена задача об определении НДС оболочки в виде кругового цилиндра, сочлененного с компенсатором, загруженной внутренним давлением интенсивности я (рис. 6).

Были приняты следующие исходные данные: радиус и длина цилиндра 11=1,3 м, 0=4,0 м; параметры компенсатора А,=А2=0,9м; В,=В2=0,4м; С=0,48м; толщина оболочки 1=0,001 м; коэффициент Пуассона/=0,3; ч=0,02 МПа; модуль упругости цилиндра и компенсатора Е=2Т05 МПа. Вследствие наличия плоскостей симметрии рассматривалась одна четвертая часть оболочки. Координаты х и в принимали следующие значен ия: О < х < 5,51«, О < 0 < я 12. Левый край оболочки шарнирно закреплен, правый край - свободен.

Для верификации разработанного алгоритма, исходя из условия равновесия конструкции, можно получить аналитическое решение для меридионального напряжения <т„ в опорном сечении

, + 0,4)2 - я(0,9 -0,4)' ОЮ ,1U)g Ша (39)

2^(0,9 + 0,4) 0,001

Расчеты выполнялись в двух вариантах: в первом варианте применялась векторная интерполяция полей перемещений четырехугольного конечного элемента с разработанными условиями сочленения оболочек; во втором варианте для получения значений напряжений использовался программный комплекс ANSYS, конечные элементы которого основаны на скалярной интерполяции. В контрольном варианте ANSYS использовались два типа элементов «shell 281» и «shell 181». Результаты повариантных расчетов представлены в таблице 6, в которой приведены численные значения меридиональных <х„ и кольцевых о\ напряжений в опорном сечении (х==0,0м), в сечении, проходящем через кривую пересечения цилиндра и компенсатора (х==4,0м), и в концевом сечении (х=5,51м) при различных значениях сетки дискретизации (число элементов по меридиану цилиндра + число элементов по меридиану компенсатора).

Анализ напряжений, приведенных в таблице 6, показывает, что результаты, полученные с помощью разработанного алгоритма, и результаты, полученные с помощью программного комплекса ANSYS, практически совпадают. Однако, близость к нулю меридиональных напряжений в концевом сечении при векторном способе интерполяции перемещений достигается при меньшем числе элементов дискретизации.

Пример 7.

В данном примере использовались те же исходные данные, что и в примере 6, с той лишь разницей, что параметр компенсатора С был уменьшен с 0,48 м до 0,06 м, вследствие чего кривизна оболоч!си в меридиональном направлении существенно возросла с 1,736 м"1 до 111,104 м"1 (в 64 раза). Координаты х и 0 принимали следующие значения: 0 < х < 4,19л<, 0s£>< zr/2. Результаты повариантных расчетов представлены соответственно в таблице 7, структура которой аналогична таблице 6.

Таблица 6

и :: X ¡5 » Разработанный алгоритм с векторной интерполяцией Комплекс А^УБ

:е о 'О, .11 'Я X 40+40 80+40 160+80

<■» О о £ •ч- о V» о ЧО £ " оо -5 гч ^ 00 (Л ' й 00 •а м 1 2 «Л Тг оо -5 «ч

:г О С» 11,08 11,08 11,08 11,08 11,08 11,08 11,00 11,11 11,08 11,08 11,02 11,11 11,08 11,08 11,02 11,11 11,08 11,08

1 о: а". 26.00 26,00 26,00 26,00 26,00 26,00 25,90 26,10 25,99 25,99 25,90 26,10 25,99 25,99 25,91 26,11 26,00 26,00

ж О < 9,86 12,51 10,51 11,75 10,82 11,38 12,42 9,49 15,11 7,12 10,75 11,10 13,97 8,21 10,08 11,73 12,53 9,53

I о: о: 13,16 13,95 13,34 13,71 13,43 13,59 14,41 14,13 19,36 18,44 13,87 13,64 17,08 16,32 13,62 13,70 15,45 15,12

Я < —* 0, 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 -0,02 -0,02 0,06 0,01 -0,02 -0,02 0,06 0,00 -0,01 -0,01 0,02

V? и < о" 9,98 9,98 9,98 9,98 9,98 9,98 9,71 9,74 9,92 9,91 9,71 9,74 9,92 9,91 9,672 9,647 9,86 9,85

Таблица 7

и § Разработанный алгоритм с векторной интерполяцией Комплекс /\NSYS

а | Ё Я 80+40 160+80 320+160

т и и о ^ о 5 о гч гч « 00 •5 <ч V оо хз СО а оо •5 «-» ]а оо (Л а оо -5 ^ 3 2 (Л

о <Т* 11,08 11,08 11,08 11,08 11,08 11,08 11,10 11,01 11,07 11,07 11,10 11,01 11,07 11,07 11,10 11,01 11,07 11,07

1 < 26,00 26,00 26,00 26,00 26,00 26,00 26,11 25,91 25,96 25,96 26,11 25,91 26,00 26,00 26,11 25,91 26,00 26,00

г < < 321,6 -298,9 322,5 -300,1 323,4 -301,1 217,1 -256,9 157,9 -141,2 214,0 -264,9 199,1 -193,2 190,0 -282,9 215,3 -228,0

О 7" (Г?* 1135 па 11,15 -19,9 8,35 -25,45 2,95 -46,45 -6,35

Ъ (Т" -343,3 -529,5 -343,1 -529,8 -342,9 -530,2 -170,5 -187,6 -119,4 -172,7 -199,4 -163,3 -138,7 -182,7 -210,3 -158,0 154,4 -179,6

3 э\ < ,эг.» 0,05 0,14 0,04 0,10 0,03 0,06 0,35 7,17 1,311 -0,06 1,197 4,802 1,38 1,06 0,506 2,85 1,45 1,62

г к < 3,50 3,53 3,50 3,52 3.50 3.51 -11,68 -16,00 17,72 12,93 -16,75 -31,50 4,09 3,48 -17,95 -50,63 -7,98 -6,40

Величины контролируемых параметров НДС, приведенные в таблице 7, на границе сочленения и в концевом сгчении оболочки существенно отличаются друг от друга в зависимости от применяемого алгоритма. Программный комплекс ANSYS не дает равенство нулю меридиональных напряжений в концевом сечении, хотя концевое сечение незагружено. Также в концевом сечении ни оболочечный элемент «shell 281», ни оболочечный элемент «shell 181» не дают сходимости значений кольцевых напряжений, в отличие от векторного способа интерполяции перемещений, который демонстрирует быструю сходимость вычислительного процесса. В узлах, расположенных на кривой пересечения, наблюдается концентрация напряжений. Однако, на срединной поверхности меридиональные напряжения также должны соответствовать условию равновесия (39). Так как решается линейная задача, напряжения на срединной поверхности могут быть найдены как среднее арифметическое напряжений йа внутренней и наружной поверхностях

^Г =(<+<)/2. " (40)

Из таблицы 7 видно, что для векторной интерполяции на границе сочленения a'"' практически совпадают с (39), а значения напряжении, полученные с помощью ANSYS, не соответствуют условию равновесия (40), что позволяет сделать вывод об их некорректности.

На основе проведенного анализа можно сделать вывод, что разработанный алгоритм на основе векторного способа интерполяции перемещений в сочетании с разработанными условиями сочленения оболочек, позволяет получить корректные значения НДС сочлененных оболочек со значительными кривизнами срединных поверхностей.

В заключении диссертации приводятся основные научные и прикладные результаты, полученные автором в процессе выполнения работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложенные новые варианты формул, задающих срединные поверхности произвольных оболочек, имеющих в сечении эллипс или какую-либо другую замкнутую линию, дают ясную геометрическую интерпретацию срединной поверхности произвольной оболочки и позволяют получать численные результаты при непрерывной параметризации поверхности рассчитываемой оболочки.

2. Разработанные алгоритмы формирования матриц жесткостей четырехугольного конечного элемента при векторной и скалярной вариантах интерполяции перемещений показали эффективность применения векторной интерполяции при расчете произвольных оболочек со значительными кривизнами срединных поверхностей и смещениях оболочек как твердого тела.

3. Разработанные кинематические и статические условия сочленения произвольных оболочек позволяют выполнять расчеты на прочность сочлененных оболочечных конструкций с различными физико-механическими свойствами.

4. Для проверки точности вычислений по разработанными алгоритмам выполнен расчет оболочек, являющихся оболочками вращения с плавной геометрией, и показано совпадение полученных результатов с аналитическими решениями и решениями, полученными с помощью программного комплекса ANSYS.

5. Разработан пакет прикладных программ, реализующих разработанные алгоритмы, внедренный в практику инженерных расчетов в Поволжском НИИ эколого-мслиоративных технологий РАСХН, г. Волгоград.

Основные положения и научные результаты диссертации изложены в следующих публикациях.

Статьи в ведущих рецензируемы* научных журналах и изданиях, определенных Высшей Аттестационной Комиссией Российской Федерации

1. Клочков, Ю. В. Сравнение вариантов интерполяций перемещений на примере произвольной оболочки в форме эллипсоида / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, Т. А. Киселева // Вестник Волгоградского гос. архит.-строит. ун-та. Серия: Стр-во и архит. - 2011. - Вып. 23(42). - С. 54-59.

2. Клочков, Ю. В. Анализ НДС произвольной непологой оболочки в форме компенсатора с использованием векторной интерполяции полей перемещений / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, Т. А. Киселева // Известия Волгоградского технического университета: межвуз. сб. науч. ст. (Сер. Актуальные проблемы управления, вычислительной техники и информатики в технических системах. Вып. 14).- Волгоград: ИУНЛ ВолгГГУ. - 2012. - № 10 (97). - С. 28-32.

3. Клочков, Ю. В. Расчет произвольных оболочек на основе МКЭ с использованием векторной интерполяции полей перемещений / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, Т. А. Киселева // Строительная механика и расчет сооружений. -2012.-№6.-С. 51-56.

4. Клочков, Ю. В. Напряженно-деформированное состояние эллиптического цилиндра с эллипсоидальным днищем из разнородных материалов на основе МКЭ / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, Т. А. Киселева // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. - 2013. - Т. 13. - № 3. - С. 65-70.

5. Клочков, Ю. В. Сравнение напряжений, вычисленных на основе скалярной и векторной интерполяций МКЭ в сочлененных оболочках из разнородных материалов / Ю. В. Клочков, А. П. Николаев, Т. А. Киселева // Строительная механика и расчет сооружений. - 2013. - № 5. - С. 70-76.

Публикации в других изданиях

6. Киселева, Т.А. Численный анализ тонкостенных конструкций строительного и водохозяйственного назначения / Т. А. Киселева // Научное обеспечение агропромышленного комплекса: материалы 3-ей всероссийской научно-практической конференции молодых ученых - Краснодар: КубГАУ. - 2009. - С. 405-406.

7. Клочков, Ю. В. Применение векторного способа интерполяции перемещений в конечноэлементном анализе произвольных оболочек / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // Новые направления в решении проблем АПК на основе современных ресурсосберегающих, инновационных технологий. Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 65-летию Победы в Великой Отечественной войне, Волгоград 26-28 января 2010 г. Том 3. - Волгоград: ИПК «Нива». - 2010. - С. 216-219.

8. Клочков, Ю. В. Конечно-элементный и анализ конструкций и оболочек водохозяйственных систем / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // Проблемы, состояние комплексных мелиорации и их роль в обеспечении продовольственной безопасности России. Материалы международной научно-практической конференции посвященной 45-летию образования эколого-мелиоративного факультета ВГСХА/ ИПК ФГБОУ ВПО Волгоградская ГСХА «Нива». - 2010. - С. 296-298.

9. Клочков, Ю. В. Конечно-элементный анализ произвольных оболочек при векторном варианте интерполяции перемещений / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // «Инженерные системы-2010»: Международная научно-практическая конференция: Тезисы докладов. Москва, 6-9 апреля 2010 г. - М.: РУДН. - 2010. - С. 62.

10. Клочков, Ю. В. Конечно-элементный анализ произвольных оболочек при векторном варианте интерполяции перемещений / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // Труды международной научно-практической конференции «Инженерные системы-2010», Москва, РУДН. - 2010. - С. 175-179

11. Клочков, Ю. В. Расчет произвольных непологих оболочек на основе метода конечных элементов при использовании векторной интерполяции перемещений / Ю. В. Клочков, Т. А Киселева // Материалы Международной научно-практической конференции «Интеграционные процессы в науке, образовании и аграрном производстве - залог успешного развития АПК». Том 4, Волгоград, 25-27 января 2011г. - Волгоград: Волгоградская ГСХА. - 2011. - С. 15-18.

12. Клочков, Ю. В. Расчет произвольных оболочек на основе МКЭ / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // «Инженерные системы-2011»: Международная научно-практическая конференция: Тезисы докладов. Москва, 5-8 апреля 2011г.-М.: РУДН.-2011.-С.43.

13. Клочков, Ю. В. Анализ напряженно-деформированного состояния произвольных оболочек на основе четырехугольного конечного элемента с векторной интерполяцией перемещений МКЭ / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы-2011».- Москва, 5-8 апреля 2011 г. Том IL- М.: РУДН. - 2011. - С. 14-19.

14. Киселева, Т. А. Расчет произвольной оболочки в форме эллипсоида на основе метода конечных элементов / Т. А. Киселева // Наука и молодёжь: новые идеи и решения. Материалы V Международной научно-практической конференции молодых исследователей, г. Волгоград, 11-13 мая 2011 г. Часть I.- Волгоград: ФГОУ ВПО Волгоградская ГСХА. - 2011. - С. 222-225.

15. Киселева, Т. А. Использование векторной интерполяции перемещений в конечно-элементном анализе произвольных оболочек / Т. А. Киселева // Материалы XVI региональной конференции молодых исследователей Волгоградской области. 8-11 ноября 2011 г. - Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ. -2012.-С. 172-174.

16. Клочков, Ю. В. Сравнение вариантов аппроксимации перемещений на примере произвольной оболочки в форме компенсатора / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // Тезисы V Международной научно-практической конференции «Инженерные системы-2012». Москва, 16-18 апреля 2012 г.-М.: РУДН. - 2012. - С. 37.

17. Клочков, Ю. В. Определение напряженно-деформированного состояния произвольной оболочки в форме компенсатора на основе МКЭ / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // Труды V Международной научно-практической конференции «Инженерные систсмы-2012». Москва, 16-18 апреля 2012 г.-М.: РУДН. - 2012. - С. 67-73.

18. Клочков, Ю. В. Расчет произвольной непологой оболочки при векторном варианте интерполяции перемещений / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // Материалы Международной научно-практической конференции «Аграрная наука-основа успешного развития АПК и сохранения экосистем». Том 1. - Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ. - 2012. - С. 406-410.

19. Киселева, Т. А. Расчет произвольной оболочки в форме компенсатора на основе МКЭ / Т. А. Киселева // Наука и молодёжь: новые идеи и решения. Материалы VI Международной научно-практической конференции молодых исследователей., г. Волгоград, май 2012 г. Ч асть I.- Волгоград: ФГОУ ВПО Волгоградский ГАУ. - 2012. - С. 238-242.

20. Клочков, Ю. В. Расчет произвольной непологой оболочки при векторном варианте интерполяции перемещений / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселева // Интеграция науки и производства - стратегия устойчивого развития АПК России в ВТО. Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 70-летию Победы в Сталинградской битве. 30 января - 1 февраля 2013 г., г. Волгоград. Том 3. - Волгоград: ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ. - 2013. -С. 485-489.

21. Клочков, Ю. В. Определение напряженно-деформированного состояния произвольных сочлененных оболочек на основе МКЭ / Ю. В. Клочков, Т. А. Киселев.! // Труды VI Международной научно-практической конференции «Инженерные системы-2013», посвященной 100-летнему юбилею первого ректора РУ,ЦН профессора C.B. Румянцева. Москва, 24-26 апреля 2013 г.-М.: РУДН. - 2013. - С. 86-92.

Лмчкый оклад соискателя по опубликованным в соавторстве научным работам:. в работах [1-5, 7-13,16-18,20,21] обсуждение вопросов построения дискретных моделей произвольных оболочек проводилось совместно с Ю.В. Клоч-ковым. Личный вхлад ТА. Киселевой заключается а разработке алгоритмов расчета, создании пакетов программ и выполнении анализа НДС оболочек.

Киселева Татьяна Алексеевна

Автореферат

Подписано в печать 06.11.2013. Формат 60x84"™

Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 358. ИПК ФГБОУ ВПО Волгоградский ГАУ «Нива». 400002, г. Волгоград, пр- г. Университетский, 26

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Киселева, Татьяна Алексеевна, Волгоград

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Волгоградский государственный аграрный университет

На правах рукописи

04201455652

Киселева Татьяна Алексеевна

УДК 539.3

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Клочков Юрий Васильевич

Волгоград 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.....................................................................................................................4

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК.................................10

2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК....................................................................20

2. 1. Геометрия произвольной оболочки

в исходном состоянии....................................................................20

2. 2. Геометрия произвольной оболочки

в деформированном состоянии........................................................33

2.3. Физические соотношения произвольных

упругих непологих оболочек..........................................................43

2.4. Выводы по второй главе...........................................................46

3. РАСЧЕТ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НЕЗАВИСИМОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ПРОЦЕДУРЫ И ВЕКТОРНОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПОЛЕЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ.......................47

3.1. Основные операции метода конечных элементов....................................47

3.2. Способы интерполяции перемещений

в методе конечных элементов......................................................................48

3.2.1 Общепринятый способ интерполяции перемещений..................48

3.2.2 Интерполяция векторов перемещений...................................50

3.3. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента размером 72x72 при использовании интерполяции компонент

вектора перемещения как скалярных величин.............................................50

3. 4. Матрица жесткости четырехугольного конечного элемента размером 72x72 на основе векторной интерполяции

полей перемещений.............................................................................................59

3.5. Примеры расчета..........................................................................................65

3.6. Выводы по третьей главе............................................................89

4. РАСЧЕТ СОЧЛЕНЕННЫХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОБОЛОЧЕК........................90

4. 1. Геометрические соотношения на кривой пересечения срединных

поверхностей произвольных непологих оболочек.................................90

4. 2. Деформации в ортогональной системе координат..........................95

4. 3. Соотношения преобразования узловых неизвестных

в точках кривой пересечения..........................................................98

4. 4.Примеры расчета...................................................................104

4.5. Выводы по четвертой главе......................................................154

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................................................156

ЛИТЕРАТУРА............................................................................................................157

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время одними из наиболее распространенных элементов строительных конструкций и промышленных сооружений являются, оболочки

" ' I f , 4 V < 1 I ((• г " 1" ' " ' ' ' " . ' I И' I ' ' , < f' 1 ' 1

различных форм. Благодаря разнообразию своих конфигураций оболочечные конструкции позволяют как в полной мере учесть прочностные свойства используемого материала, так и более рационально его использовать. Многообразие форм оболочечных конструкций диктует необходимость совершенствования методов определения напряженно-деформированного состояния не только оболочек вращения, но и произвольных оболочек.

Оболочечные конструкции нашли широкое применение в машиностроении, судостроении, авиации и космической технике. Поскольку оболочки при эксплуатации постоянно испытывают действие внутренних и внешних нагрузок, а также других элементов конструкций, то для объектов вышеупомянутых отраслей народного хозяйства очень важную роль играют расчеты на прочность и их постоянное совершенствование.

В создании общей теории тонких оболочек важную роль сыграли отечественные ученые [26, 36, 37, 39, 40, 54, 58, 75, 106, 107, 111, 127, 136, 148]. В процессе решения поставленных задач по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) оболочки получаются достаточно сложные системы дифференциальных уравнений, поэтому наиболее используемыми ранее являлись приближенные и упрощенные методы [92, 174] решения прикладных задач. Однако, с развитием и постоянным повышением эффективности компьютерной техники, а также появлением большого количества прикладных программ, все большее распространение стали получать численные методы расчета оболочек [9, 33, 59].

Для расчета тонких оболочек наиболее значимым и чаще других применяемым на практике является метод конечных элементов (МКЭ) [49, 59, 65, 74, 138]. Основная идея метода при анализе поведения конструкций заключается в следующем: сплошная среда (конструкция в целом) моделируется путем разбиения ее на дискретные элементы, взаимодействующие в конечном числе

узловых точек. Искомую функцию вычисляют с помощью интерполяционных полиномов в произвольной точке дискретного элемента через ее узловые значения. После минимизации функционала потенциальной энергии и решения

И | т I } * ' I " " ( I1 ( ' 11 I И, Д ,1 « ч ' I «I ) > К 1 ,1 1 , » 1 I ,1 (. ) ]Ч

системы алгебраических уравнении, вычисляются перемещения и их производные в указанной области.

Метод конечных элементов в сравнении с другими численными методами обладает рядом преимуществ:

- возможностью полной автоматизации процесса формирования матриц жесткости отдельных элементов и всей конструкции и решения системы линейных уравнений любого порядка;

- гибкостью составления алгоритмов расчета, позволяющих путем изменения исходных данных изменять различные граничные условия и характер внешней нагрузки оболочечной конструкции;

- возможностью учитывать физическую и геометрическую нелинейность оболочки, а также влияние температурных деформаций, которые возникают в процессе эксплуатации объектов [20].

Наиболее важным аспектом конечно-элементной процедуры является интерполяция искомых величин во внутренней области конечного элемента через их узловые значения. В настоящее время широкое распространение получила скалярная интерполяционная процедура, основанная на аппроксимации отдельной компоненты вектора перемещения через узловые значения этой же компоненты. Такой подход позволяет получить удовлетворительные решения при достаточно плавной геометрии оболочек. При наличии же значительных градиентов кривизн срединной поверхности или имеющих место смещений оболочки как жесткого целого, скалярная интерполяционная процедура приводит к резкому увеличению погрешности расчета.

Для решения данной проблемы может быть использована векторная интерполяционная процедура, основанная на аппроксимации непосредственно вектора перемещения, а не отдельных его компонент, представляющих собой скалярные величины.

Цель работы - выявить области эффективности применения интерполяции полей векторов перемещений при расчете произвольных оболочек и усовершенствовать конечно-элементные алгоритмы расчета произвольных

' ' «.'"V".. 1 " " I " 1 " ' I * К ' 1 4 ' ■[ > V '" ' 1 Л ',\>'", * 1 ^ л/''

оболочек й сочлененных оболочек с различными' значениями физико-механических свойств при различных вариантах интерполяционной процедуры.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

4. Выполнить сравнительный анализ эффективности разработанных алгоритмов между собой и с алгоритмами, использованными в программном комплексе ANS YS.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

2. Разработан алгоритм формирования матрицы жесткости четырехугольного конечного элемента для расчета произвольных оболочек при скалярной и векторной интерполяциях перемещений.

L ■ I ' ' I ("Л 1 'I,1 I- " - ' > • 1 ' 1 L ч" ' Г I ' И Ii и к . ' 1 I 1 i II.' , > ■

Достоверность результатов диссертационной работы обеспечивается корректной математической постановкой задач с использованием векторного и тензорного анализа, теории тонких оболочек, теории аппроксимации функций, а также подтверждается сравнением результатов решения тестовых примеров, полученных с помощью разработанных алгоритмов, с аналитическими решениями и решениями программным комплексом ANS YS. Анализ сходимости вычислительного процесса отслеживался варьированием количества дискретных элементов рассчитываемых оболочек.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в разработке алгоритмов, реализующих теоретические результаты диссертационной работы, в виде пакета прикладных программ по расчету на прочность произвольных непологих оболочек, который может быть использован научно-исследовательскими и проектно-конструкторскими организациями, занимающимися проектированием, строительством и эксплуатацией сложных оболочечных конструкций. Использование указанных алгоритмов позволяет выполнять уточненный расчет прочности конструкций из оболочек, что обеспечивает их надежную работу.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (237 наименований), изложена на 182 страницах машинописного текста, содержит 16 рисунков, 15 гистограмм и 17 таблиц.

Во введении приведено обоснование актуальности проводимых исследований на основе анализа работ по теме диссертации, сформулированы задачи исследования, его цель, а также практическая ценность работы.

В первой главе изложен краткии обзор и анализ работ, посвященных исследованию напряженно-деформированного состояния оболочек на основе метода конечных элементов.

Во второй главе на основе уравнения механики сплошной среды изложена процедура получения основных соотношений теории тонких произвольных оболочек с использованием гипотезы прямых нормалей. Предлагаются новые варианты формул, задающих срединные поверхности произвольных оболочек, имеющих в сечении эллипс или какую-либо другую замкнутую линию, уравнение задания радиус-вектора которой известно.

В третьей главе изложен алгоритм расчета произвольных непологих оболочек при использовании независимой интерполяционной процедуры и< векторной интерполяции полей перемещений.

В данной главе выполнен сравнительный анализ двух вариантов интерполяции перемещений: скалярной интерполяционной процедуры, согласно которой каждая компонента вектора перемещения интерполируется через узловые значения этой же компоненты и не зависит от узловых значений остальных двух компонент, и предложенной Николаевым А.П., Бандуриным Н.Г., Клочковым Ю.В., векторной интерполяции полей перемещений, основанной на использовании интерполяционного выражения непосредственно для самого вектора перемещения внутренней точки четырехугольного конечного элемента. Доказано, что векторная интерполяция полей перемещений позволяет в полной мере автоматически учесть смещения четырехугольного элемента дискретизации в неявном виде, а также провести корректный расчет НДС произвольных непологих оболочек со значительными кривизнами срединных поверхностей. На примере расчета трехосного эллипсоида показана эффективность применения высокоточных конечных элементов, по сравнению с элементами, используемыми в программном комплексе ANS YS.

В четвертой главе для пересекающихся произвольных оболочек разработаны кинематические и статические условия сочленения оболочек, необходимые для исследования напряженно-деформированного состояния такого рода конструкций с помощью высокоточных конечных элементов четырехугольной формы, матрицы жесткости (72x72) которых формировались на основе предложенного способа интерполяции полей векторов перемещений.

В данной главе показана эффективность разработанного алгоритма для расчета НДС произвольных оболочек со значительными кривизнами срединных поверхностей, при сочленении оболочек с различными показателями физико-механических свойств. Также проведен сопоставительный анализ результатов, получаемых с помощью разработанного алгоритма, с результатами, полученными с помощью программного комплекса ANS YS.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом научно-исследовательских работ Волгоградского государственного аграрного университета.

1. КРАТКИЙ ОБЗОР РАЗВИТИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РАСЧЕТАХ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

" ' Современное производство требует анализа напряженно-деформированного состояния весьма сложных оболочечных конструкций. Поскольку расчет оболочек с применением классических аналитических методов возможен лишь для сравнительно узкого класса задач, и точное решение системы дифференциальных уравнений, описывающих процесс деформирования оболочечных конструкций, предполагает ряд существенных допущений, то исследователи вели интенсивный поиск решения данной проблемы. Выход был найден в идее представления континуальных объектов в виде совокупности взаимодействующих между собой конечных элементов, понятие которых впервые было введено Тернером [229].

При исследовании конструкции с помощью МКЭ, она разбивается на множество элементов простейшей геометрической формы. На первом этапе исследований различных конструкций использовались наиболее простые типы конечных элементов, как правило, одной мерности. Для решения плоских задач теории упругости в работах [6, 184, 237] применялись прямоугольные и треугольные плоские конечные элементы. При расчете тонких пластинок на изгиб в работах [9, 118, 178] в качестве элементов дискретизации также были использованы плоские треугольники и четырехугольники. Благодаря возникновению и развитию компьютеризации в настоящее время наиболее широкое применение находят двух- и трехмерные конечные элементы, которые открывают несравненно более широкие перспективы в задачах анализа напряженно-деформированного состояния континуальных объектов.

Одной из наиболее сложных областей применения метода конечных элементов является исследование напряженно-деформированного состояния тонких оболочек [94]. При расчете тонких пластинок изгибные и мембранные деформации рассматриваются как независимые друг от друга, в тоже время вследствие криволинейности срединной поверхности оболочки указанные

деформации становятся взаимосвязанными. Тем не менее многие исследователи применяли плоские конечные элементы для анализа напряженно-

деформированного состояния оболочек. Так, для реализации конечно-элементной

"> % \< ' . ,м ^ vrv ■'I'V' '''ч" v^j.'/ -V '

модели тонких оболочек вращения в [59] используется вариационный принцип

Рейсснера с применением в качестве конечного элемента плоской треугольной

пластинки. Основными узловыми неизвестными являются перемещения в

вершинах треугольника и нормальные моменты в серединах каждой из сторон

треугольного элемента.

Обоснование возможности использования плоских конечных элементов к анализу деформирования тонких оболочек проводится в [67]. Элементом дискретизации при расчете произвольных и цилиндрических оболочек являются соответственно плоские треугольник и прямоугольник. Основными узловыми неизвестными выбираются перемещения и первые производные нормального перемещения.

Применение 9-узлового оболочечного элемента в задачах изгиба пластин описывается в [189]. В [196] интерфейсный конечный эл