Строение решеток квазимногообразий модулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГб ОД

'■) о „

{_ £ : , • < - На правах рукописи

БЕЛКИН ДЕНИС ВАЛЕРЬЕВИЧ

УЛК 512.57

СТРОЕНИЕ РЕШЕТОК КВАЗИМНОГООБРАЗИЙ МОДУЛЕЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск — 1995

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель — Официальные оппопенты —

кандидат физико-математических наук, доценг ГОРБУНОВ В.А. ■ ;

доктор физико-математических наук, профессор МАРТЫНОВ Л.М. кандидат физико-математических наук, доцент КАРТАШОВ В.К.

Ведущее учреждение — Алтайский государственный университет.

£ с/и>нл

Защита состоится___ "_

-часов на заседании Диссертационного Совета К 064.36.02. при Ом<

государственном университете по адресу 644077, Омск, пр. Мира, 55-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного верситета.

Автореферат разослан__^- ^ р

п

_19

Ученый секретарь Диссертационного Совета

доктор физико-математических наук Уму ¿оссЫ*^^ РОМАНЬКОВ

в

Основы теории квазимногообразий алгебраических систем заложены А.И. Мальцевым [1,2]. В пастоящее время эта теория является интенсивно развивающейся областью универсальной алгебры, имеющей тесные связи с математической логикой и теоретическим программированием (см., например, [3, 4, 5])

Наиболее известной проблемой теории квазимногообразий является проблема об описании всех решеток кназимногообразий, поставленная в 1946 г. Г. Биркгофом [6] и независимо в 1966 г. А.И. Мальцевым [7]. К настоящему времени в решении этой проблемы получен значительный прогресс (см. [3, 8, 9, 10]).

Наряду с обшей проблемой можно выделить локальпузо проблему об описании конкретных решеток квазимногообразий. Эта проблема возникает, как правило, там, где решетка многообразий достаточно хорошо изучена. В этом направлении получены глубокие результаты в случае групп (см. [11] и библиографию к пей), полугрупп и колец [12, 13], псевдобулевых и топобулевых алгебр [14, 15], решеток [16, 10], коммутативных луп Муфанг [17], унарных алгебр [18, 19].

В настоящей диссертации проблема Биркгофа - Мальцева рассматривается в классе модулей над ассоциативными кольцами с единицей.

Модули играют значительную роль в универсальной алгебре ввиду известной теоремы Херрмана, согласно которой любая аффиная алгебра в модулярном многообразии полиномиально эквивалентна модулю над ассоциативным кольцом с единицей, и ее многочисленных обобщений (см. Фриз и Маккензи [20], Ирингер [21], Ü.M. Смирнов [22]). Известно такке, что некоторые проблемы универсальной алгебры, например, проблема об описании локально конечных многообразий алгебр с разрешимой элементарной теорией, сводятся к аналогичным проблемам для модулей (см. Валериот и Маккензи [23], Сендрей [24]). Наконец, с теорией модулей тесно связаны многие вопросы об абелевых квазимногообразиях (см. Хогбеп и С. Бергман [26], С.Н. Старченко, Харт и Валериот [25]).

Первый результат о решетках квазимногообразий модулей получен A.A. Виноградовым в [27], где описана решетка квазимногообразий Z-модулей, оказавшаяся континуальной в отличие от решеток многообразий Z-модулей. Заметим, что решетка мно-

гообразий R- моду лей, где R— произвольное ассоциативное кольцо с 1, антиизоморфна решетке идеалов кольца R. Такие решетки также интенсивно изучаются (см. A.A. Ту-ганбаев [28]).

В настоящей диссертации начато систематическое изучение решеток квазимногообразий модулей над факториальными и конечными кольцами. В диссертации получены следующие основные результаты:

1) Дано описание решетки квазимногообразий Д-модулей, где R — произвольная область главных идеалов.

2) Дало описание минимальных квазимногообразий ZfzJ-модулей и их базисов гаа-зитождеств.

3) Доказано, что решетка квазимногообразий Zfrl-модулей не модулярна.

4) Доказано, что если конечное кольцо с единицей R разложимо в прямую сумму полных матричных колец пал локальными кольцами, то решетка квазимногообразий Д-модулей конечна тогда и только тогда, когда радикал Джекобсона J(R) является главным односторонним идеалом.

Основные результаты диссертации являются новыми и имеют теоретическое значение. Они докладывались на X всесоюзной конференции по математической логике в Алма-Аты, XI межрегиональной конференции по математической логике в Казани, Международной конференции по математической логике памяти А.И. Мальцева в Новосибирске, а также на заседаниях семинаров "Алгебраические системы", "Теория решеток" и "Алгебра и логика" при Новосибирском государственном университете.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора [34, 35, 36, 37, 38].

Диссертация содержит 61 страшщу, состоит из введения и трех глав. Библиография содержит 38 наименований.

Перейдем к подробному изложению содержания диссертации.

Глава 1 имеет подготовительный характер. В ней приведены необходимые определения и результаты. В частности, доказывается, что решетка квазимногообразий Zfxj-модулей изоморфна решетке квазимногообразий абелевых групп с дополнительной

унарной операцией, .являющейся эндоморфизмом.

Глава 2 посвящена изучению модулей над факториальными кольцами. Лля произвольного кардинала а ф 0 (рассматриваемого как наименьший ординал данной мощности) пусть D(a) обозначает решетку, определенную следующим образом: элементами в D(a) являются всевозможные функции f : a U {00} —t и U {со}, удовлетворяющие условиям:

(a) Доо)е {0,оо};

(b) если /(со) = 0, то /(а) С w и /(г) = 0 для почти всех г € а; а операции в D(a) определены до правилу:

(/Vff)(0 = max{/(i),S(2)}, (/Ag)(0 = min{/(i),S(i)}, при этом мы предполагаем, что п < оо для всех п € w.

Нетрудно убедиться, что £>(а) — дистрибутивная решетка, имеющая мощность ш, если а — конечный кардинал, и 2а, если а — бесконечный кардинал. Кроме того, очевидно, что D(a) < D(ß) для всех а < ß.

Пусть R — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Напомним, что элемент а ф 0 называется простым (неприводимым) в Л, если он не является обратимым и если из равенства a^bccbGRncGR следует, что Ь или с — обратимый элемент. В кольце R раз и навсегда выберем некоторую систему представителей для простых элементов (по модулю обратимых элементов). Это множество будем обозначать P(R), при этом будем считать, что P(R) вполне упорядочено по типу а = |Р(Д)|, т. е. P(R) = {pi : i € а}.

Пусть далее Lq(R — mod) обозначает решетку всех квазимногообразий R-модулей. Следующая теорема является осповпым результатом §2.1.

Теорема 2.1 Если R — область главных идеалов и |Р(Д)| = а, то Lq(R — mod) = D{ct)- Требуемый изоморфизм определяется равенством

уз(/) = MorfS/, feD(a), 5

где Ylj состоит из квазитождеств

p/w+i = о _>ртх = о, Pie P(R),f(i) ф оо,

в случае если /(оо) = оо, и единственного тождества

П О

в противном случае.

Заметим, что в качестве R в этой теореме можно взять любое евклидово кольцо, в частности, кольцо целых чисел Z, кольцо многочленов К[х] нал полем К, кольцо формальных степенных рядов if [[г]]. Как следствие получим следующие утверждения:

Следствие 2.2 а) Для любого евклидова кольца. R имеем Lq(R — mod) = D(a), где а = |Р(Д)|. В частности, Lt(R— mod) — бесконечная дистрибутивная решетка, о) Для любого поля К имеем ¿5(А"[[х]]) = -D(l).

в) Пусть Q, R, С обозначают поля рациональных, действительных и комплексных чисел соответственно. Тогда

L,(Ъ - mod) ^ Lg{Q[z] - mod) 2 £>(w)

и

L,(R[a;] - mod) £ L,(C[x} - mod) £ D{ux).

Следствие 2.3 Если R — область главных идеалов, то любое квазимногообразие R-модулей имеет в R — mod независимый базис квазитождеств.

В §2.2 рассматриваются минимальные квазимногообразия Z[а;]-модулей. Заметим, что Z[x] не является кольцом главных идеалов, хотя в Z[x] любой идеал конечно порожден.

Для произвольного простого элемента Ь кольца 2[г], произвольного простого числа р и произвольного простого элемента г кольца 2р[х] положим

С)о = сиги), = скгм/ф), = с^идо),

где соответствующие кольца рассматриваются как 2[х]-молули. Пусть также Р(2[х]) обозначает множество простых элементов в 2[х], у которых старший коэффициент положителен.

Следующее утверждение является основным в §2.2.

Теорема 2.10 Квазимногообразие Z[г:]-модулей С} является минимальным тогда и только тогда, когда найдутся такие р и г, что С) = <5о, либо = либо

Я = ц,г.

Каждое минимальное квазимногообразие Ъ[х]-модулей имеет рекурсивный базис квазитождеств. Более того, определяется системой квазитождеств:

ду = 0-+у = 0, 9€Р№]);

<Э( — системой квазитождеств:

1у = 0, ду — 0 у = О, ?£Р( Ъ[х}),ч^1-

Ур,т — системой тождеств:

ру = 0, ту = 0.

Следствие 2.11 Свободный Х[х]-модуль имеет бесконечный пезависил1ый базис квазитождеств.

Вопрос о том, будут ли квазимногообразия (¡1 иметь независимый базис квазитождеств, остался открытым.

Следствие 2.12 Любое минимальное многообразие Ъ[х]-модулей является минимальным квазимногообразием.

В §2.3 доказывается, что решетка Lq(Z[x] — mod) в отличие, скажем, от решеток Lq(K[x] — mod), где К — поле, является немодулярной.

Теорема 2.15 Пусть А = Z[r]/(4,2х, 2х2), Ах = А/(х), А2 = Л/(2). Тогда квазимногообразия А-модулей Q0 = Q(Z2), <?i = Q(/li), = Qi^), Qs = Q(A,A2), Q4 = СНД^ъ ¿Ь) образуют в L,(A— mod) подрешетку, изоморфную iV5.

Следствие 2.16 Решетка Lq{Z[x] — mod) не модулярна.

В главе 3 рассматриваются квазимногообразия модулей над конечными кольцами. Согласно теореме Хогбена - Бергмана [26], любое квазимногообразие Л-модулей, где R — конечное кольцо с 1, является многообразием тогда и только тогда, когда R разложимо в прямую сумму полных матричных колец над локальными кольцами, и радикал Лжекобсона J{R) порождается одним элементом как левый и правый идеал. Глава 3 посвящена доказательству следующего основного утверждения.

Теорема 3.16 Пусть R — конечное кольцо с единицей, являющееся прямой суммой полных матричных колец над локальными кольцами. Тогда решетка Lq(R — mod) конечна если и только если радикал Лжекобсона J(R) является главным odHocmopoHHUAi идеалом.

Так как конечное коммутативное кольцо с единицей разложимо в прямую сумму локальных колец (см. Макдональд [30]), то получаем

Следствие 3,17 Если R — конечное коммутативное кольцо с единицей, то либо любое квазимногообразие R-модулей является многообразием (и, следовательно, Lq(R — mod) — конечная дистрибутивная решетка), либо решетка Lg(R — mod) бесконечна.

Заметим, что согласно теореме 2.15 решетка Lq(R — mod), где R — конечное коммутативное кольцо, может быть немодулярной.

Доказательство теоремы разбивается на два случая. В §3.1 приводятся вспомогательные утверждения. В §3.2 рассматривается случай, когда R — локальное кольцо.

Предложение 3.4 Пусть R — локальное кольцо, и J(R) не является главным односторонним идеалом. Тогда найдется гомоморфный образ R = RjJ, в котором левый аннулятор Anni(J(R')) не является главным правым идеалом, а правый аннулятор AnnT(J(R )) не является главным левым идеалом. Кроме того, двусторонний аннулятор Ann(J[R)) не является главным левым и главным правым идеалом.

Пусть далее R — локальное кольцо, в котором Ann(J(R)) ne является главным левым и главным правым идеалом, и пусть а ф Ь — различные порождающие для Ann(J(R)). Для любого п >2 определим квазитождество

Т„(а, Ъ) axi = 6xi+i —► ахг = ax2,

1<1<П

где n + 1 берется по модулю ri. Пусть также

К(а,Ь) ^ ах = 0 <-> Ьх = 0.

Лемма 3.6 Если конечный R-модулъ N удовлетворяет квазитождеству К (а, Ь), то N удовлетворяет также квазитождествам Тр(а, Ь), гдер> |JV| up — простое ■число.

Лемма 3.7 Лля любого п найдется такой R-модулъ Мп, что квазитождество К{а,Ь) истинно в М„, а квазитождество Тп(а,Ь) ложно в Мп.

В §3.3 приводится окончание доказательства теоремы 3.16. Лля этого определяется два функтора

F : S — mod —> Я — mod и G R — moi —» S — mod,

где S — локальное кольцо и R = M„{S) — кольцо матриц над S, и доказывается следующее

Предложение 3.14 Если R-модулъ N является квазикритическим о R — mod, то S-людулъ G(N) является квазикритическим S — mod. Обратно, если S-модулъ М является квазикритическим в S — mod, то R-модулъ F(M) является квазикритическим в R — mod. В частности, решетка Lq{S — mod) конечна тогда и только тогда, когда Lq(R— mod) — конечная решетка.

В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю В.А. Горбунову за постановку задач и всестороннюю поддержку.

Литература

[1] А.И. Мальцев, Алгебраические системы// М.: Наука.— 1970.

[2] А.И. Мальцев, Избранные труды// М.: Наука, т. 2.— 1976.

[3] V.A. Gorbunov, The structure of the lattices of quasivarieties// Algebra Universalis — 32(1994).— p. 493-530.

[4] K. Kearnes and R. McKenzie, Commutator theory for relatively modular quasivarieties// Trans. Amer. Math. Soc.— 331(1992).— p. 465-502.

[5] Don Pigozzi, Finite basis theorem for relatively congruence distributive quasivarieties// Trans. Amer. Math. Soc — 310(1988).— p. 499-533.

[6] G. Birkhoff, Universal algebra, Proc. First Canadian Math. Congress (Montreal, 1945)// University of Toronto Press: Toronto.— 1946.— p. 310-326.

[7] А.И. Мальцев, О некоторых пограничных вопросах алгебры и логики, Труды межд. конгр. мат. (Москва, 1966)// М.: Мир.— 1968.— с. 217-231.

[S] K.V. Adaricheva, W. Dziobialc ajid V.A. Gorbunov, Finite atomistic lattices that can be represented as lattices of quasivarieties// Fund. Math.— 142(1992).— p. 19-43.

[9] R. Freese, K. Kearnes and J.B. Nation, Congruence lattices of congruence semidistributive algebras// to appear.

[10] B.A. Горбунов, Строение решеток многообразий и решеток квазимногообразий: сходства и различия, I, II, III// Алгебра и логика.— 1995.— в печати.

[11] А.И. Будкин, Квазимногообразия групп// Алтайский государственный универси- -тет: Барнаул.— 1992.

[12] М. Sapir, The lattice of quasiveirieties of semigroups// Algebra Universalis.— 21(1985).—p. 172-180.

[13] В.П. Белкин, Квазитождества конечных колец и решеток// Алгебра и логика.— 17(1978).— с. 247-259.

[14] М.П. Тропин, О вложимости свободной решетки в решетку квазимкогообра-зий дистрибутивных решеток с псевдодополнениями// Алгебра и логика.— 22(1983).— с. 159-167.

[15] М.П. Тропин, Квазимногообразия решеток с дополнительными операциями// Диссертация.— ИГУ,— 1988.

[16] W. Dziobiak, On lattice identities satisfied in subquasivariety lattices of varieties of modular lattices — Algebra Universalis.— 22(1986).— p. 205-214.

[17] В.И. Урсу, Квазитождества конечнопорожденных коммутативных луп Муфанг// Алгебра и логика.— 30 №6 (1991).— с. 5-12.

[18] В.К. Карташов, Квазимногообразия унаров// Мат. заметки.— 27(1980)// с. 7-20.

[19] И.П. Бесценный, Квазитождества конечных унарных алгебр// Алгебра и логика.— 28, №5(1989).— с. 499-512.

[20] R. Freese and R. McKenzie, Commutator theory for congruence modular varieties// London Mat. Soc..— Lecture Note №125.— 1987.

[21] Th. Ihriager, Allgemeine Algebra// B.G. Tenbner Stuttgart.— 1988.

[22] Л.М. Смирнов, Многообразия алгебр// H.: Наука.— 1992.

[23] R. McKenzie and М. Valeriote, The structure of decidable locally finite varieties// Birkhauser, Progress in Math.— Vol. 79,— 1989.

[24] Л. Szendrei, Simple abelian algebras// J. Algebra — 151(1992).— p. 408-424.

[25] B. Hart, S. Starchenko and M. Valeriot, The structure of superstable varieties (manuscript).— 1990.

[26] L. Hogben and C. Bergman, Deductive varieties of modules and universal algebras// Trans. Amer. Math. Soc.— v. 289, №(1985).— p. 303-320.

[27] А.А. Виноградов, Квазимногообразия абелевых групп// Алгебра и логика.— 4, №6 (1965).— с. 15-19.

[28] А. А. Туганбаев, Кольца с дистрибутивной структурой идеалов// Абелевы группы и модули,— №5 (1985).— с. 88-104.

[29] С. Лепт, Алгебра// М.: Мир,— 1968.

[30] McDonald, Finite rings with identities// Marcel Dekker.— 1974.

[31] S. Burris, M. Valeriot, Expanding varieties by monoid of endomorphisms// Algebra Universalis.— 17(1983).— p. 150-169.

[32] А.И. Кострикин, Введение в алгебру// М.: Наука.— 1977.

[33] М. Атья, И. Макдональд, Введение в коммутативную алгебру// М.: Мир.— 1972.

Работы автора по теме диссертации

[34] Л.В. Белкип, Квазимногообразия абелевых групп и модулей// X Всесоюзная конференция по математической логике, тезисы докладов.— Алма-Ата, 1990.— с. 13.

[35] Л.В. Белкин, Решетки квазимногообразий конечных модулей// XI Межреспубликанская конференция по математической логике, тезисы докладов.— Казань, 1992.— с. 19.

[36] Л.В. Белкин, Конечные решетки квазимпогообразий модулей над конечными кольцами// Международная конференция по математической логике, тезисы докладов.— Новосибирск, 1994.— с. 22.

[37] Д.В. Белкин, 0 конечных решетках квазимногообразий модулей над конечными кольцами// Препринт №11.— НИИ МИОО Новосиб. гос. универ.— 1995.— 20 с.

[38] Л.В. Белкин, Квазимногообразия модулей над факториальными кольцами// Препринт №8.— ИМ СО РАН.— 1995.— 15 с.