Связь явного закона взаимности Ивасавы с явными формулами куммерова типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

1 Введение

2 Обзор многомерных полных полей и топологических К-групп Милнора

2.1 Многомерные полные поля.

2.2 Топология Паршина на многомерном полном поле.

2.3 Топология Паршина на мультипликативной группе.

2.4 Топологические А'-группы Милнора.

3 Обобщенный символ Гильберта и явное спаривание Во-стокова

3.1 Функция Артина-Хассе и модуль кривых Картье.

3.2 Примерные элементы.

3.3 Обобщенный символ Гильберта.

3.4 Явное спаривание Востокова.

4 Вспомогательные утверждения

5 Обобщенные формулы Артина—Хассе и Ивасавы в случае смешанной характеристики

5.1 Многомерный аналог кругового поля в случае смешанной характеристики

5.2 Обобщенный след.

5.3 Обобщенные формулы Артина-Хассе в случае смешанной характеристики

5.4 Многомерная логарифмическая производная

5.5 Обобщенная формула Ивасавы в случае смешанной характеристики

6 Обобщенные формулы Артина-Хассе и Ивасавы в случае char(AT) = char(K) =

6.1 Обобщенные формулы Артина-Хассе.

6.2 Обобщенная формула Ивасавы.

Диссертационная работа посвящена выводу явных формул типа Артина-Хассе для обобщенного символа Гильберта и изучению их связи с явными формулами куммерова типа. Исторически сложилось два относительно независимых подхода к задаче нахождения явного вида спаривания Гильберта. Первый из них восходит к работе Э. Артина и Г. Хассе [15] (1928), в которой выведены явные формулы, дающие ответ в определенных частных случаях в терминах следа некоторого элемента. Позднее этот подход был развит в работах К. Ивасавы [21] (1968) в круговом случае и Ш.Сена [25] (1980) в общем случае. Мы называем явные законы взаимности, полученные в этом направлении, формулами типа Артина-Хассе. Другой подход был впервые предложен И. Р. Шафаревичем в [14] (1950). Окончательные явные формулы для классического символа Гильберта в этом направлении были независимо получены С. В. Востоковым в [3] (1978) и Г. Брюкнером в [16], [17] (1979). Явные законы взаимности этого типа выражают символ через вычет некоторого степенного ряда. Мы условно называем их формулами куммерова типа, так как в одном частном случае их вид аналогичен виду формулы, полученной Кумме-ром в XIX веке. Надо отметить, что формулы этих двух типов имеют разные области приложения. Так, формулы Брюкнера-Востокова хорошо применимы в явных конструкциях локальной теории полей классов и /Г-групп Милнора локальных полей, в то время как формулы в стиле Артина-Хассе удобно использовать в вопросах, связанных с норменными отображениями. Связь между двумя данными подходами к явным формулам долгое время оставалась неясной. Лишь в 1994 г. П. Кельче в своей диссертационной работе [23] вывел для классического символа Гильберта на круговом расширении Qp из формулы Брюкнера-Востокова формулу смешанного типа, из которой следуют классические законы взаимности Артина-Хассе и Ивасавы.

В конце семидесятых А. Н. Паршин и К. Като независимо начали изучение многомерных локальных полей, которые представляют собой естественное обобщение классических локальных полей. В работе А. Н. Паршина [12] в равнохарактеристическом случае и в работах К. Като [22] в общем случае была развита высшая локальная теория полей классов и, в частности, построено локальное отображение взаимности для многомерных локальных полей. С помощью этого отображения взаимности естественно определяется обобщенный символ Гильберта. В [4] (1985) С. В. Востоковым была решена задача явного вычисления данного спаривания. В этой работе С. В. Востоков строит явное спаривание между топологической ^-группой Милнора и мультипликативной группой многомерного локального поля смешанной характеристики при р ф 2 (где р - характеристики последнего поля вычетов, которое предполагается конечным) и доказывает, что оно совпадает с символом Гильберта, тем самым давая для него явную формулу куммерова типа. В [24] (1998) М. Курихара вывел многомерную формулу типа Артина-Хассе для спаривания Гильберта в случае многомерного локального поля смешанной характеристики (последнее поле вычетов которого предполагается конечным), которая обобщает явную формулу Сена.

Следующим шагом в развитии локальной теории полей классов стал естественный переход от изучения многомерных локальных полей, имеющих конечное последнее поле вычетов, к рассмотрению многомерных полных полей, последнее поле вычетов которых предполагается совершенным простой характеристики. Используя метод Нойкирха, И. Б. Фе-сенко в работе [18] построил высшую локальную теорию полей р-классов, которая описывает абелевы вполне разветвленные р-расширения многомерного полного поля с совершенным последним полем вычетов характеристики р, которое дополнительно предполагается не алгебраически р-замкнутым. С помощью локального отображения взаимности, построенного в этой теории, И. Б. Фесенко определил обобщенный символ Гильберта для многомерных полных полей нулевой характеристики в наиболее общем случае. Задача его явного вычисления была решена С. В. Востоковым, который построил явное спаривание на топологических /^-группах Милнора многомерных полных полей в работах [5], [6] (1995) для р ф 2 и в [6] показал, что оно совпадает с символом Гильберта. Случай р = 2 рассмотрен в [1] (2001).

В настоящей диссертации рассматривается обобщенный символ Гильберта, определение которого дано в теории Фесенко, в случае кругового расширения стандартного абсолютно неразветвленного n-мерного полного поля с совершенным последним полем вычетов характеристики р, которое предполагается не алгебраически р-замкнутым. В этом случае при р ф 2 мы выводим из явной формулы Востокова, доказанной в [6], обобщенные формулы Артина-Хассе и Ивасавы. Данный метод проясняет связь между двумя типами явных законов взаимности. Формулы, полученные в настоящей диссертации, могут найти интересные применения, в частности, в вопросах, связанных с норменными отображениями в наиболее общем случае многомерных полных полей.

В разделе 2 мы представляем обзор основных определений и фактов, связанных с многомерными полными полями и топологическими К-группами Милнора. Обозначения, введенные в разделе 2, используются на протяжении всей диссертации без каких-либо дополнительных ссылок. Мы напоминаем определение топологии Паршина на многомерном полном поле и его мультипликативной группе и формулируем основные свойства этой топологии. В частности, мы обсуждаем аддитивные и мультипликативные разложения элементов многомерного полного поля относительно топологии Паршина. В параграфе 2.3 мы доказываем лемму, которая утверждает, что логарифм секвенциально непрерывен относительно топологии Паршина. Этот факт применяется в доказательстве главных результатов диссертации в разделе 5. В параграфе 2.4 мы напоминаем определение канонической топологии на Х-группе Милнора многомерного полного поля, которая впервые была введена А. Н. Паршиным в равнохарактеристическом случае. С помощью этой топологии мы даем определение топологических Х-групп Милнора и формулируем ряд результатов о них, которые будут использованы ниже при выводе обобщенных формул Артина-Хассе и Ивасавы в случае смешанной характеристики.

Раздел 3 мы начинаем с определения модуля кривых Картье и ряда важных отображений, включая функцию Артина-Хассе Е и обратный к ней гомоморфизм I. В терминах этих отображений, развивая идеи Хассе, С. В. Востоков явно построил примарные элементы и;(а), которые играют существенную роль в доказательстве формулы Врюкнера-Востокова в одномерном случае, а также в доказательстве ее обобщений в многомерном случае. В парграфе 3.2 мы приводим эту конструкцию примарных элементов и в определенном смысле явно описываем группу примарных элементов. Далее мы напоминаем два определения обобщенного символа Гильберта. Первое из них происходит из высшей локальной теории полей классов К. Като в случае конечного последнего поля вычетов. Второе было предложено И. Б. Фесенко в более общей ситуации совершенного, не алгебраически р-замкнутого последнего поля вычетов. В параграфе 3.4 при р ф 2 определяется явное спаривание Востокова на топологических А'-группах Милнора. Это спаривание сперва строится для многомерного полного поля смешанной характеристики, а затем общий случай разноха-рактеристического поля сводится к случаю смешанной характеристики. Наконец, мы формулируем принадлежащую С. В. Востокову теорему 3.1, которая утверждает, что явное спаривание Востокова совпадает с обобщенным символом Гильберта.

В разделе 4 рассматриваются коэффициенты некоторых бесконечных рядов Лорана. Явная формула Востокова для символа Гильберта, которую мы применяем ниже для вывода обобщенных формул Артина-Хассе и Ивасавы, дает ответ в терминах вычета некоторого ряда, определенного с помощью рассматриваемых в этом разделе рядов Лорана. Мы даем новое доказательство ключевой леммы П. Кельче, позволяющей нам связать вычисление следа в формулах типа Артина-Хассе с вычислением вычета в формулах куммерова типа в случае кругового расширения абсолютно неразветвленного поля. Мы также доказываем несколько технических результатов о р-адических нормированиях коэффициентов рассматриваемых рядов Лорана.

Раздел 5 занимает центральное место в диссертации. Мы строим многомерный аналог кругового поля Qp(Cpm) в случае смешанной характеристики. Следуя М. Курихаре, мы определяем отображение из п-мерного полного поля в одномерное поле, которое мы называем обобщенным следом. В теореме 5.1 мы формулируем обобщенные формулы Артина-Хассе в случае n-мерного полного поля смешанной характеристики, последнее поле вычетов которого предполагается совершенным характеристики р, но не алгебраически р-замкнутым. В отличие от классических формул Артина-Хассе, наши формулы имеют естественное ограничение на нефиксированный аргумент спаривания. Без этого ограничения, как следует из замечания 5.1 и вычислений в доказательстве теоремы, обобщенные формулы Артина-Хассе потеряли бы смысл. В следствии 5.1 мы формулируем этот результат в частном случае конечного последнего поля вычетов. Теперь формулы Артина-Хассе справедливы для любой главной единицы а. В параграфе 5.4 мы обобщаем логарифмическую производную Ивасавы на многомерный случай. Во-первых, мы строим отображение из произведения К* х . х К* и проверяем, что оно мультипликативно по всем аргументам, удовлетворяет соотношению Стейн-берга и секвенциально непрерывно по всем аргументам. Отсюда мы заключаем, что это отображение факторизуется через топологическую К-группу Милнора. Используя многомерную логарифмическую производную, мы формулируем и доказываем обобщенную формулу Ивасавы в теореме 5.2. В следствии 5.3 это утверждение формулируется в частном случае конечного последнего поля вычетов.

В разделе 6 рассматривается случай разнохарактеристического многомерного полного поля, первое поле вычетов которого также имеет характеристику 0. Такое поле содержит подполе смешанной характеристики. Явная формула Востокова сводит вычисление символа Гильберта в исходном поле к его вычислению в подполе смешанной характеристики. Применяя эту идею и явную формулу Востокова, мы сводим вывод обобщенных формул Артина-Хассе в рассматриваемом случае к случаю смешанной характеристики, где соответствующие формулы были получены в разделе 5. В параграфе 6.2 мы определяем многомерную логарифмическую производную на топологической /Г-группе Милнора и выводим обобщенную формулу Ивасавы для произвольного разнохарактеристического многомерного полного поля из доказанной выше формулы Ивасавы в случае смешанной характеристики.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору С. В. Востокову за постановку задачи и многочисленные полезные обсуждения.

Обозначения

На протяжении всей диссертации будут использоваться следующие обозначения:

• р - фиксированное простое число;

• vp - нормализованное р-адическое нормирование на Qp, т.е. vp(p) =

1;

• С := Cpm ~ фиксированный первообразный корень степени рт из 1, m ^ 1;

• /ipm - циклическая группа, порожденная

• vk ~ нормализованное дискретное нормирование на дискретно нормированном поле К, т.е. vk(K*) = Z;

• О к ~ кольцо целых дискретно нормированного поля К;

• Шк - максимальный идеал О к',

• К = £>к/9Лк ~ поле вычетов дискретно нормированного поля К;

• ек - абсолютный индекс ветвления дискретно нормированного поля К характеристики 0 с полем вычетов характеристики р, т.е. ек = vk(p)

1. Т. Б. Беляева, С. В. Востоков, Символ Гильберта в полном многомерном поле. 1. Зап. научн. семин. ПОМИ 281 (2001), 5-34.2. 3. И. Боревич, И. Р. Шафаревич, Теория чисел, Наука, Москва, 1964.

2. С. В. Востоков, Явная форма закона взаимности, Изв. АН СССР Сер. мат. 42 (1978), вып. 6, 1288-1321.

3. С. В. Востоков, Явная конструкция теории полей классов многомерного локального поля, Изв. АН СССР Сер. мат. 49 (1985), вып. 2, 283-308.

4. С. В. Востоков, Спаривание на К-группах многомерных полных полей, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 140-184.

5. С. В. Востоков, Спаривание Гильберта в полном многомерном поле, Труды МИАН им. В. А. Стеклова 208 (1995), 80-92.

6. И. Б. Жуков, Милноровские и топологические К-группы многомерных полных полей, Алгебра и анализ 9 (1997), вып. 1, 98-146.

7. И. Б. Жуков, А. И. Мадунц, Многомерные полные поля: топология и другие основные понятия, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 4-46.

8. И. Б. Жуков, А. И. Мадунц, Аддитивные и мультипликативные разложения в многомерных локальных полях, Зап. научн. семин. ПОМИ 272 (2000), 186-195.

9. А. Н. Паршин, Локальная теория полей классов, Труды МИАН им. В. А. Стеклова 165 (1984), 143-170.

10. И. Б. Фесенко, Секвенциальные топологии и факторы милно-ровских К-групп многомерных локальных полей, Алгебра и анализ 13 (2001), вып. 3, 198-221.

11. И. Р. Шафаревич, Общий закон взаимности, Мат. сборник 26(68) (1950), вып. 1, 113-146.

12. Е. Artin, Н. Hasse, Die beiden Erganzungssatze zum Reziprozitats-gesetz der ln-ten Potenzreste im Korper der ln-ten Einheitswurzeln, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 6 (1928), 146-162.

13. H. Bruckner, Explizites Reziprozitatsgesetz und Anwendungen, Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematik der Universitat Essen, Heft 2, 1979.

14. H. Bruckner, Hilbertsymbole zum Exponenten pn und Pfaffsche Formen, Manuskript, Hamburg, 1979.

15. I. B. Fesenko, Abelian local p-class field theory, Math. Annal. 301 (1995), 561-586.

16. I. B. Fesenko, Topological Milnor К-groups of higher local fields, in Geometry &; Topology Monogr. 3 (2000): Invitation to higher local fields, 61-74.

17. I. Fesenko, S. Vostokov, Local fields and their extensions: a constructive approach, Transl. Math. Monogr., AMS, Providence, RI 121 (1993).

18. K. Iwasawa, On explicit formulas for the norm residue symbol, J. Math. Soc. Japan 20 (1968), 151-165.

19. K. Kato, A generalization of local class field theory by using Regroups I, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 26 (1979), 303376; II, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 27 (1980), 603-683.

20. P. Kolcze, Explizite Formeln fur das klassische Hilbertsymbol, Dissertation, Regensburg, 1994.

21. M. Kurihara, The exponential homomorphisms for the Milnor K-groups and an an explicit reciprocity law, J. Reine Angew. Math. 498 (1998), 201-221.

22. S. Sen, On explicit reciprocity laws, J. Reine Angew. Math. 313 (1980), 1-26.

23. I. B. Zhukov, Higher dimensional local fields, in Geometry &; Topology Monogr. 3 (2000): Invitation to higher local fields, 5-18.