Связности на многообразиях Фреше и их проектирование тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

| :8 ЗТ

КАЗАНСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА' И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА

На правах рукописи

ЮЛЬМЕТОВ Ришт Равилевич

СВЯЗНОСТИ НД МНОГООБРАЗИЯХ ФРЕШЕ И ИХ ПРОЕКТИРОВАНИЕ

01. 01. 04 - геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ - 1992

Работа выполнена на кафедре геометрии Казанского ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственного университета.

Научный руководитель: кандидат физико - математических

наук, доцент Б.Е.Фомин. Официальные оппоненты: доктор -физико - математических

Ведущая организация: Белорусский государственный университет.

Защита состоится " "-аа. 199^ г. в часов

на заседании специализированного Совета по математике К 053.29.05 Казанского университета по адресу : 420008, Казань, ул.Ленина, 18, корпус ,6 2, аудитория 217..

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке университета / г.Казань, улДенина, 18 /.

Автореферат разослан "ЛЧ-" «уу-с^у^ 199 г.

Ученый секретарь специализированного Совета,

наук, профессор Ю.Г.Борисович, кандидат физико - -математических наук, доцент Н.К.Смоленцев.

профессор

Б.Н.Шапуков

• ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.В последнее время появился ряд работ, посвященных теории гладких многообразий, моделированных на пространствах Фреше ( см.например, [I] , [2] ). В них приведены определения, примеры, рассмотрены дифференциально - топологические свойства этих многообразий. Вместе' с тем недостаточно внимания уделено дафферешщально-геометрическим аспектам: теории связностей, нахождению геодезических линий и тензора кривизны. Хотя эти вопросы представляют немалый интерес в связи с использованием многообразий Фреше в общей теории относительности 1 , .гидродинамике \ , » теории упругости

1. MuW P. JAcmiiofcU о? «Ш*™.*^«?* vnoppui^s . - Cw^i«^ л MckSS. - 1Э&0, - 15% с.

2. M^W^-tov, R £ TVi^ f^nvt^n -tb^cR^m o? iAcsei // А^г. lAcstii S04 - VSS'i -

3. A. , Mc«scU*, Tbe

of - at cj<5o*net>*U c^ppicc,cVi // ГДс,кЬ pVl-^ —

1ЭТ-2. —г. C.SHG-Sbl-.

4. Ftqh^cwIj^.c* ГД. App^lc^-t^ons Op vn^Lncb? -

•fcoTA.^ // Rlv. //«ovo . ~ 1ЭТ-& . -т. 1 ? л/Т. ~ С.

5. Эбин Д. .Марсден Дж. Группы диффеоморфизмов и движение несжимаемой жидкости //Математика сб.переводов,- т.17.- № 5.- 1973. - С.142-166, т.17. - И 6.-1973. - С.III - 146.

6. B>'orvt £. Tvjo. met^Us -tb<?a ^o-

44llcnrt OV1 c, of del Ln^s. //

JAonctsW^-b? - ¡<Э£0. - T.-S9 - с. -ass

Линейные связности на многообразиях Фреше строятся, как правило, из задания римановой L" - метрики \,7] , [б] , С61 . Нам известны только два примера неримановой линейной связности: в \8~1 Х.Оыори построил такую' связность на группе Ли - Фреше ЗХЙН!^ диффеоморфизмов компактного многообразия ÎA .рассматривая ее Kaie XLW- группу-, а в А.Тромба - на многообразии Фреше ОТ, гладких почти комплексных структур на компактной ориентированной поверхности без границы рода р> j, .

Поэтому, на наш взгляд, представляют интерес любые метода построения линейных связносгей на многообразиях Фреше, в частности, методы проектирования и канонического лифта связностей в г/авных расслоениях, предложенные в конечномерном случае К.Ы.Егиазаряном ^10] .

7. E<g ori dJ. TU i&eJi op

iL^S. // flno^V»* ; Pw> tApÜi. ^

t. 15 . - C. It - •ЦО.

8. Ошог1 H. о?

^-ё^гочд^ // Тго.м s. ÎW*. lAoMi. Soc. - 194 Ъ, ~

т. \чз . - с. ss-iaa.

9. Тгот€ч A. On ^ eff^çj

covwifctvQVi oln tbç s^cç op ogrryaëb. с.ощр6г* sttv^bA-

«.uA tilÇ IV^rnU^^ v^ltV)

NtatVi. - . - т. SG . - С. - ЧЗЧ

10. Егиазарян K.M. Спроектированные инвариантные аффинные

связности // Тр.геом.семинара. - вкл.12. - Казань: Изд-во Казан ун - та, 1980. - С.27 - 37.

Цель работы состоит в обобщения на многообразия Фреше методов проектирования и канонического лифта линейной связности в главном расслоении и их применении к конкретным примерам.

Методы исследования.При проектировании связностей используется допустимый атлас на тотальном пространстве главного расслоения Фреше, что позволяет свести задачу нахождения локального оператора спроектированной линейной связности { аналог коэффициентов связности) к вычислению производных некоторых отображений в пространствах Фреше.

Для доказательства того, что факторпространства из § 4, образующиеся при действии групп Ли на многообразиях Фреше, являются многообразиями, использоелны методы Д.Эбина, развитые ил в ^71 , в частности, теорема о срезе.

Для нахождения канонического лифта линейной связности в главном расслоении Фреше использован метод Э.Картана построения связности на группе Ли, обобщенный на группы Ли - Фреше.

Научная новизна и основные результаты диссертации. Все полученные результаты для многообразий Фреше являются новыми. Выделим основные из них:

1. Доказана теорема о проектировании - инвариантной линейной связности, заданной на тотальном пространстве главного расслоения Фреше ( <$> , тг ( , с инфинитези-мальной связностью, на базу

2. Методом проектирования построена линейная связность

на :

а) грассмановом многообразии Ср^Е^ подпространств банахова пространства Е , изоморфных Е и допускающих топологическое дополнение, изоморфное И > где Е и Н - банаховы пространства;

б) многообразии Фреше Н^СбОгладких замкнутых подмногообразий (Р, , диффеоморфных компактному многообразию М ; '

- 5 -

в) пространстве поточечно - конформных структур, ,

где jiï\ - пространство гладких римановых метрик на многообразии tA , ф - группа Ли - Фреше гладких положительных функций на , действующая на посредством обычного поточечного умножения.

3. Доказаны теоремы о свойствах канонического лифта линейной связности, заданной на базе главного расслоения Фреше.

í

4. Методом канонического лифта построена линейная связность на ЭД . Для cjim найдены геодезические линии этой связности.

5. Охарактеризованы геодезические линии спроектированных связностей на Сц^^Е^ , ^/ф

Теоретическое значение. В диссертации предложены методы построения линейных связностей на многообразиях Фреше, входя -щих в главные расслоения в качестве базы или тотального про -странства, что может быть использовано при изучении дифференциальной геометрии таких многообразий.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на итоговых научных конференциях Казанского университета в 1989 - 1992' г.г.; на Всесоюзном совещании молодых ученых по дифференциальной геометрии, посвященном 80-ти летию Н.В.Ефи-моьа, организованном Московским и Ростовским университетами в I9S0 г. ; на международной конференции " Лобачевский и современная геометрия" (Казань,1992 г.); на семинарах кафедры геометрш Саратовского университета в 1987 г., Казанского университета в 1990 - 1992 г.г., кафедры геометрии, топологии и методики дре-нсдйвшия математики Белорусского университета в 1992 г. -

Публикации. lio теме диссертации имеется четыре публика -цли, из них две в Трудах геометрического семинара при кафедре

геометрии КГУ, две - в тезисах геометрических конференций.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, разбитых на 10 параграфов, списка литературы из 107 наименований и приложения. Общий объем работы - 148 страниц машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность талы, дан краткий обзор литературы по вопросам, рассмотренным в диссертации, изложены основные результаты.

Первая глава посвящена проектированию - инвариантных линейных связностей в главном расслоении Фреше х= ( & ,^","33 с инфинитезимальной связностью, где - группа Ли - Фреше, действующая справа на тотальном пространстве ^ .

В § I приведены необходимые для дальнейшего понятия из теории гладких многообразий Фреше и связностей на них. За определение производной отображения пространств Фреше взята производная по направлению из [2, с.733 . Пусть В - пространства Фреше, V - открыто в Ь . О : - непрерывное отображение. Производной отображения 0 в точке ? <1 У в направлении Ь е В называется

+ "Ь-

Скажем, что 0 ^ С , если предел существует для всех I <= \/ и всех Ь ^ В и если ФС) - С - непрерывно.

Сформулирована и доказана теорема о проектировании связностей р следующем виде:

где X , ^ ^ ^ С*^ - векторные поля на базе , -х. ^ ■£> >

, ^ ^ (- их горизонтальные лифты относительно сбяз-ности на X » ь < тт-1^3^ - произвольная точка слоя, У

оператор ковариантного дифференцирования правоинвариантной ли*

некной связности на о> , У - оператор ковариантного дифференцирования спроектированной линёйной связности на . Как

следствие, получена формула, выражающая локальный оператор связке

ности V через локальный оператор связности У .

В § 2 рассмотрено главное банахово расслоение

где ЗС^ (Г,^1) - пространство инъективных линейных непрерывных отображений, образ которых допускает топологическое дополнение в Е , изоморфное И , тг: е Д (Р^ — -С * С и кЕ) , (Р) - группа Ли - Банаха автоморфизмов банахова пространства Р . С помощью нормализации многообразия С, ^ С Е^ ( это некоторый морфизм А/ '- ГА € С р н —Н4 ^ р ^Е^ , где <В Н1= Е ) построена связность на 'д . Относительно этой связности спроектирована на базу С ^ (Е^ плоская связность тотального пространства ^ оно открыто в банаховом пространстве ^(.Р.Е^) всех линейных непрерывных отображений из V" в Е ) . В карте (Ц ^ ^ на С С локальный оператор спроектированной связности имеет вид

где Го^Ц ~ фиксированная точка, Н0 - а/ , а/ : ^НД-

"с^ЛНо^о*) - локальное представление нормализации л/ ,

В § 3 рассмотрено главное расслоение Фреше где тг •. -V ^

? Н 12. с.993 .

•л

Здесь <Д'с<л И = * с »1 . Пространство (!Л Д*) гладких вложений 1Л в открыто в пространстве Фреше (^(М ,• ^ построена связность, относительно которой спроектирована на базу плоская связность в В § 4 доказало, что четверка - (.,чт , образует главное расслоение Фреше. Связность на строится с помощью разложения: для любой точки -г. ^

т*

где ^ г - пространство Фреше гладких симметричных билинейных форм на М 11К1 открыто в $ ) ,

.утл

Относительно этой связности спроектирована на базу /ф плоская связность тотального пространства . В построенном на атласе локальный оператор спроектированной связности

■имеет вид

-

где ^ и^ - карта на ^/ф , € V (V) = ^ ,

- фиксированная точка, п = скщ И . Вычислен тензор кривизны Я спроектированной связности и доказана

Теорема 4.3. Пространство поточечно конформных струк-

тур на К является локально симметрическим (-УК =0 ) тогда

и только тогда, когда с\и-ч ГА" 2.

- 9 -

Во второй главе , исхода из связности на главном расслоении ( _)-гг)'Н , и линейной связности У на базе , построена линейная связность V на тотальном пространстве (.по аналогш с ^10"] мы называем ^ каноническим лифтом связности V).

В § 5 обобщен на группы Ли - Фреше метод Э.Картана по -строения канонической связности, в которой левоинвариантные векторные поля на группе Ли абсолютно параллельны. Оператор ковари-

антной производной V этой связности имеет вид где X ^ .

Л ^ - левый сдвиг в на элемент х. ^ , ^ = "Т^ ^ алгебра Ли группы . В качестве примера построены связности на группе Ли - Банаха и на группе Ли - Фреше Ф . Ло-

кальные операторы этих связностей в тривиальных картах

равны

соответственно

Г^ (м,^ - х-1- и ,

где х ^ А

= рч

где ^ *

. Найдены геодезические линии

этих связностей:

где х^ч^»') , =0 = ^Ч^с") ,

где — ^ ^«Л > - V • Доказана единственность этих

геодезических на Аи^ ( ^ и ф для заданных начальных условий

- 10 -

Теоретическая часть § 5 практически не отличается от проведенного в '[п^ обобщения на группы Ли - Банаха. В § 6 рассматривается главное расслоение . Определен оператор V •

где X * X ( бр^ , V -разложение на вертикаль-

ную и горизонтальную компоненты, А (ъ^Х,4^ ^Т^^'ЗЗ) ,

Я , А , X - горизонтальный лифт вектора А , X ^^ в точке "г. .

Если (Ц , ^ = ^тг, ф") ) "V) - карта на расслоении Я , такая что г <5 тт"1 (Ц^ , то

< ^, У > ^ = ^ (т^Ф € ^ .

Если обозначить = , ^ , а - слой,

проходящий через точку ^ , то для любой -Р € С^С^ ,

Если теперь (Ц , Л , б) - карта на ! (. V/ , Н1 , С4) -карта на ^ , то на можно построить карту

Д = ^-Ч«^ , В'С4)

(. такие карты образуют атлас на ^ , называемый допустимым) . Пусть в карге 4 : £ М * ^ Ы^ - координаты произ-

вольной точки ^ ^

С с*-г Ьс, ^

рО^-О. ^чо^лрчг, - В^п^сЬ // Ап . Цм^м . Тип'^солс* .

^ч-г Л - 1ЭЧЦ . - т. 12. , л/1 - С. 2Э - ЗЛ-

- II. -

- главные части локальных представлений векторных полей X , ^ « X Ю . Тогда вектор Щг , X * В

имеет в карте , &4) на ^ координату

' *

где р - локальны!! оператор линейной связности V на Доказаны следующие теоремы:

Теорема 6.1. V - оператор ковариангного дифференцирования некоторой линешои связности на .

Теорема 5.2. Связность ' V инвариантна относительно действия группы

Теорема 6.3. Кривая ^ = хДЪ^) на базе является геодезической для связности V тогда и только тогда, когда ее горизонтальный лифт ('если он существует ) является

геодезической для связности V.

В § 7 найден канонический лифт линейной связности на ^/ф из § 4. Локальный оператор полученной связности на в тривиальной карте , ¡.4 , имеет вид:

1\Л* ЛЬ ^ - и-чл^у^й - * ■ -

где , , .

Вычислен ее тензор кривизны и доказана

Теорема 7.1. Пространство ^ является локально симметри ческим тогда и только тогда, когда М = 2 .

Для сА'«.ш = 2. найдены геодезические линии полученной связности на Ш :

г.- д ,

- т° -

где - , = . Среди них выделены горизон-

тальные и тем самым, согласно теореме 6.3, охарактеризованы геодезические для связности на Щ/ф , построенной в § 4.

В § 8 найдены горизонтальные геодезические кривые для канонического лифта спроектированной связности на С р •

Если заданы начальные условия - -€0 , -& = ,

то горизонтальной геодезической будет кривая, описывающая "дугу окружности" в II (^.Е.) :

и '

г?»^Чта^ >) •

Тем самым, охарактеризованы геодезические для связности на С, . построенной в § 2.

В третьей главе рассмотрены другие способы построения линейных связностей на бесконечномерных многообразиях.

§ 9 является обобщением на банахов случай первого параграфа работы ][_12] , где составлены деривационные уравнения нормализованного многообразия Р у, к * - плоскостей п - мерного проективного пространства Рм , и из коэффициентов этих уравнений получена формула для'коэффициентов линейной связности на Р „) к . Итоговая формула для локального оператора линейной связности на С в § 9 совпадает с формулой, полученной в § 2 применением метода проектирования.

12. Нейфельд Э.Г. Аффинные связности на нормализованном многообразии плоскостей проективного пространства // Изв.вузов. Матем. - 1976. - II. - С.48 - 56.

В § 10 рассмотрено подмногообразие ЭД _ ^ пространства , состоящее из гладких римановых метрик скалярной кривизны - I. Сопоставляя каждой точке ъ ^ Щ _ ^ подпространство

? = , ^ < ^ , ^ 1 .получа-

ем оснащение 'Ш. _ А , с помощью которого, исходя из плоской связности пространства , построена индуцированная связ-

ность на М -1 - В карге ( V , V , иЛ) , где ^ ЭД , из построенного атласа на _ локальный оператор индуцированной связности имеет вид

где € ч* (V) = иЛ , Л * ^ , в ^ -

единственное решение уравнения

Д & - = £ ,

где Д ^ - с! С - лапласиан, й ^^ - скалярная

кривизна метрики г .

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю и учителю В.Е.Фомину за помощь при выполнении работы.

. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шьметов P.P., О связности Нейфельда на грассмановом многообразии банахова типа // Тр.геом.сешшара,- вш. 19. -Казань: Изд-во. Казан, ун - та,^ 1989. - С.133 - 136 .

2. Щьметбв P.P. Проектирование связностей в главных расслоениях Фреше /I Всесоюзное совещание молодых ученых по дифференциальной геометрии, посвященное 80-ти летию Н.В.Ефимова. Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону, 1990.

3. Шьметов P.P. Связность Нейфельда на грассмановом многообразии банахова типа // Тр.геои.семинара. - вып.21. - Казань: Изд-во Казан.ун-та,1991. - С.124 - 135.

4. Шьметов P.P. Об одной аффинной связности на пространстве римановых метрик // Международная- научная конференция "Лобачевский и современная геометрия". Тезисы докладов. - Казань,

1992

Сдано в набор 4.12.92 г. Подписано в печать 30.11.92 г. Форм.бум. 60 х 84 I/I6. Печ.л.1. Тираж 100. Заказ 680.

Лаборатория оперативной полиграфии КГУ 420008 Казань, Ленина, 4/5