Задача неподвижных центров и ее приложения тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

2Г&

/Г

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ нм. М. В. ЛОМОНОСОВА

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

УДК 521.1+521.4

АРАЗОВ Г. ТС

ЗАДАЧАЩЕПОДВИЖНЫХ ЦЕНТРОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.03 01 — «АСТРОМЕТРИЯ И НЕБЕСНАЯ МЕХАНИКА»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Шемахннской астрофизической обсерватории им. Н. Туси АН Азербайджанской ССР. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук С. Г. Журавлев,

доктор технических наук, профессор М. Д. Кислик,

доктор физико-математических наук, профессор М. С. Яров-Яровой.

Ведущее предприятие:

Институт теоретической астрономии АН СССР.

Защита состоится «_» _198 г., в _ час на

заседании специализированного совета при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, шифр Д 053.05.51.

Адрес: 117234, Москва, В-234, Университетский проспект,

13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им. П. К. Штернберга при МГУ (Москва, Университетский проспект, 13).

Автореферат разослан «_» _198 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат

физико-математических наук Л. Н. БОНДАРЕН КО.

ОБЩАЯ ХАРШШ1ШКА РАБОТЫ

Актуальность задачи. Как известно, после того как в 176065 г.г. Л. Эйлеру удалось -получить решение, одного частного случая плоской задачи двух неподвижных центров, в течении почти двухсот лег, она была предметом исследования мног::х теоретиков механиков и математиков. К только,-начиная с 1961 г., благодаря совместным исследованиям Е.П. Аксенова, Е.А. Гребеш-шова и Б.Г. Дешта а таккз и трудам М.Д.Кислика, Д.Р.Винти и И.ГЛ1;::ака (3. Г.Демин,Движение искусственного спутника в нецентральном поле тяготения, Наука, М,, 1968 ,• Аксенов Е.П., Теория движения искусственных спутников Земли, Наука, 1977 ), она была обобщена и поставлена на слукбу практической науки. Тем самым, они открыли новое направление з современной небесной механике. И тепер, при Ьсследовадаи движения искусственных и естественных малнх небесных тел, наравне с кеплеровыми орбита«:, широко применяются эйлеровы промежуточные орбиты. Они особенно ценны при по-■ строении высокоточной аналитической теории движения малых небесных тел. Здесь необходимо заметить и то, что после того, как Л. Эйлером было получено решение одного специального случая плоской задачи двух неподвижных центров,' многие теоретики механики и математики попытались получить решение хоть какого нибудь случал задачи многих неподвикнкх центров. В этой связи нелишне упомянуть слова К.Г-. Нкоби из его книги: "Лекции.по динамика", Л., ОНТИ, 1936, ( с. 199 ): "Лагранж в первом томё-туринских мемуаров старался найти такие силы, которые можно .присоединить к притяжению к двум центрам, чтобы эйлерово релетяе задачи продолжало име'гь место. Хотя это- исследование не. привело ни к какоцу

-.2 - •

сутцественному результату, тах не шше оно представляет огромный интерес и притом не тольхо при тогдашнем состоянии науки, но и в настоящее время. ..." А после появления упомянутых совместных работ Е.П. Аксенова, Е.А." Гребеникова и В.Г. Демина и исследований М.Д. Кислика, Д.Р. Винти и ТЛ.Г. Икака внимание исследователей к проблема многих активно гравитирующюс центров номного усилилось. Из этого цикла работ к реферируемой диссертации имеет прямое отнесение статья I3ó3 г. LI.C. Лров-Лроаого i О силовой функции притяжения планеты и ее спутника. Проблемы движения искусственных небесных тель. «1., АН СССР, 1953, е. 259) и исслодоважя И.С. Козлова опубликованное в IS74-75 г,г. ( Задача четырех нешдвтаигх центров и ее приложения к теорг.и двп;;;е— нл небесшп ,тел. Астрон. а. , IS74, 51, I,c. 191; Задача четырех неподвиаиг? цеггггов и ее приложения. Докторская диссертация. М., УДН, 1975 •). В первой из них получены некоторые возмокные практические приложения задачи многих неподвижных центров. А И. С. Козловым получено решение и дани практические приложения одного специального случая задачи,четырех неподвижных центров.' Работа И.С.Козлова' является первым результатом-среди- многочисленных исследований, в которой-получено, решение одного-частного случая задачи многих неподвижных центров. При этом цолучвнкиэ кзадратуры- являются слоанши и. не позволяют найти аналитическое решение задачи в конечном виде. Однако И.С. Козлову в ряде примеров приложения удалось показать, tiro расчет траекторий с помощью найденных математических выражений ( квадратур ) на ЭВМ дает бсьиую. экономию малинного времени по сравнении с численном интегрированием известных точных уравнений движения спутника.

- 3 .Цель и работы является, во пергой, получение воевозиошас: решений задачи :.яогих (п ) активно гравитируюцих материальных цензов при па2 п, ъо вторых, конкретными примерам! приложения показать при ресекик кажх практических задач полученгаге решения цело сообразнее использовать.

Научная новизна регухьтатов работа. Задача тогах кеподзка— них- центров, ререния одного специального случая которой получен:-: в настоящей диссертации, в такой к® постановке впервпе, в 1842 - 43 г. г., бала рассмотрена К.Г. Якоби в его выше упомянутой книге,в лекциях по динамике в Кэнигсбергском университете. При этой ок предполагал, что пассивно гравитирущая материальная точка притягивается произвольным числом неподвижных центров, леяачих на одной прямой. К.Г. Якоби свел решение этой задачи* к отысканию одного интегрального уравнения некоторой систе-т! второй степени. Однако, е:.у удалось найти это интегральное уравнение только для задачи двух неподвижных центров.

■П.С. Козловым, в решенной ии задаче четырех неподвижных центров, предположено-, что неподвижные центры рагпслоаены в плоскости орбиты спутника. Следовательно, ома не эквивалентна той задача, которая'получается из наших уравнений при п=4.Та;:;!;,: образом, какдая из них, как и при других аиаа&зшх п .имеет езоя характерные черты и объекты приложения.

Решения Ьадачи п неподвижных центров при получзнкьге

в настоящей диссертации, обнаружен впервые. ^

Научч"я и практическая ценность гезультет-ов работ;:, и их знздре- П1я. Розеине каадого нового случал рздаЧи ¡¿ноги:; •( п ) не-тодвпгктп-гх цектрог при п г- 2,как и при п при кандсм значена». 1 эквивалентно появлении новых модельных задач небесно::

;.:еха:ики к геофизики. А их прилокенпя свидетельствует о том , что кавдое из шве монет быть использовано как новый способ построения промекуточвдх орбит. Это показано в настоящей диссертации на примерах приложения задач двух,трех, четырех, пяти и жести кеподвжзных центров. При этом показано, что основные свойства силовых Сушен?-!;; внешнего и внутрегеюго вариантов комплексного случая обобщенной задачи трех пеподзианих центроз, а такке и задач четырех, пяти и шести кеподвкших центров, позволяют с пользую использовать их решения при рассмотрении различных задач о движении искусственных спутников "и палых. тел Солнечной системы, при изучении гравитационного поля и уйгуры Земли и других небесных тел. Кроые того, в настоящей работе конкретными примерами приложения показано, что при ранении ряда задач небесной ч.ззханики и геофизик! шкет быть целесообразнее использовать силовые функции- внешнего или внутренного вариантов задачи трех неподвижных центров.'

Ряд результатов автора изложенные в диссертации использованы и напли свои продолжения и практические приложения в исследованиях Б.5. Еремеева, М.И. ЮркиноЯ, A.B. Старостиной, Е.Л. Jiy-кааевича и др. (I. Сркина М.И., .Старостина A.B..Сравнение-геодезического отсчетного поля, связанного с эллипсоидом, и поля при: якекия двух• неподвижных центров. • Известия виших учебных заведений. Геодезия и аэрофотосъемка. 1975, 1Г4, с. 53-58; 2. Еремеев 3.5. и Юркина М.И., Определение гравитационного поля Земли через простой слой на ее поверхности по изменениям параметров спутникоюго движения и наземным гравиыетргчееккм дакини, .труда LpIilTÄ и К, вин. ¿05, с. 3 - 164, 1977; 3. Еремеев В.й. и Юркина Ii.Л., Изменение параметров спутникового двписник и

плотности яри с* ого слоя ка земнол пЬверхпостц, "!'сеясдом«зю по гоодззии, Аоро^отосьемке Картограрш", ¿СИГА а К, 1978, •3( I),с.34-69, 4)Ерк:на М.Л;, Простой слой, обьясняюциЛ зо.чкое грагз:!та1"!0!-П1зе поле, :; возможность прогнозирозашщ движения :.'СЗ лраггапт ГОК! ЦНЖГА к К 5 25, доп. от 7.04.1980 г., 19£0, с. 1-10, о) Лукозевич Е.Л., Вмвор промевутотшой орбита для прог-козлрогаллл гдавения долговременных иаусствешЕК слутапгоз Зе-> лл. Тр. Гос. научно-исслед. и производств, центра "Природа",пп. 3, "Построение космической сйстеш исследования природных ресурсов Земли и контроля окружающей среда", ОНТИ ЦШБ1ГА и К, !,!., I 1979, с. 70-62,б)Лукаяевич: Е.Л. ,06 одном интегрируемом случае движения спутника в нецентральном поле тяготения.Земли.,Космач, исслед. ,Ж1, 3,1979,с.457-459,7)Лукашевич 2.Л.,Интегрируемый случай дзинения ЛСЗ с ¡тетои влияния долготных членов потенциала тяготения,Космич. исслед. ,ХУП,6,1979,с.929-931,8)Луказев:гч 2.Л. .Траектория двиг.ения коскгческих аппаратоз, предназначенных длялсследозания .Земли из Космоса.«"Исследование Земли из Кус« коса",1980,3,с.91, и др. ).

Исследования этих авторов' на конкретнее лргакрях приложения показывают, что' резения задачи к:ойг,с акч'кгло граситнругт^гх материальных центров, рассматриваемые в диссертации, могут бить успешно использованы при репешш ряда задач дяиамчки искусстве!;»-ных и естестйеннкх тел Солнечной систеш я геофизики. Их осноз-нал привлекательная черта заключается в их простоте, по сравнении с ранее используемы;.!' математическая Бьракекиям!. А это в свою очередь обеспечивает простоту анализа качественных свойств движений и существенно умзнпает затраты вычислительного времени на сЕМ.

г - Б -

В работах /1-7/ (см. сг'-.-.ок публ.шащй. до теме диссертации) наш -задача заклвчг^хаеь э получении фор^-л на базе изтсрых мезат бггть исследовано двикенка сяугкика вргдаетг-аея планеты. Црг этом, мы полагали известиями параметры хаишгаеркзи^уйцие структура ял®* кета. Однако, -в упомянутых исследованиях Еремзез В.5., йзкикой й. И. и Огпросотной А.В. полагая известными измзнения параметров орбит спутника-со временем, получены "уравнения поправок ' стшск • тельно средней плотности простого слоя на отдельных участЕЬХ зеиасй поверхности. Таким образом, дает на базе орбит ■сдутгияа вращающейся планеты определено грар'чацяошое поле Земли через простой слой на ее поверхности, по изменениям параметров спутникового движения и наземным грав ¡этрическим данным.

В фбликацнях /8-28/ автсром подучены г^кд рсааваий задач;: многих активно-гравиткрузсщих материальных центров и даны их практические- прилокешя.При этом более подробно рассмотрев случаи задач трех, четырех-, пяти и пести■неподзианых центров. Среди них а точки зрения практических приложений, особое место запишет задача шести неподвижных центров. Это впервые было заме гено Е.Л. Лукачавичем. В вьаге упомгнааых. исследованиях этого автора пос-. троена силовая функция, аналогичная полученным в статьях /16/ и у£4/ для задачи п неподвижных центров,, для задачи шести неподвижных центров/Затем, выполняя рзд преобразований - он добилря, чтобы найденный аппроксимирующий потенциал совпадал с земным потенциалом в пределах первых восьми зональных гармоник и допускал, интегрирование уравнения движения ИСЗ в 'квадратурах. Используя результаты аппродсимашш реального потенциала Зеши потешралом зад««и кзсти центров Е.1. Лукгазваява проведены проектно-баллис--пческие расчеты для семейств квазискнхроккьгс сочти круговых

ор£::г. 7.2. для гшучагся :жЗорпа1рп4-с поверхности Земли, для иэузэетя ее таязедшх ресурсов. В' частности откотим, чго В.Л. Дткгпвтгззгг. тголучша, пгражэйия орюязевчзе •дкйюкге "СЗ по ' гайки ерйгсй!;, кип сг.сло похетш:,' 84% £ й 96°, с учетом влия-В!К пзренг вггьгг: гонгггшг гарюйшт^а тапке произвольно?, сектс-раальксй'ятй тгеееитьиой гармоники. Эффективность использования пoлyтаm•-,:^: хсси сравнения результатов расчета по нам, с дзкнкж аналогичного расчета, пзлучешюго при псю>-ср-! мжа используемых алгоритмов палузиалзггичееж-то метода исследования движения резонансных. спутников для 30 суточного прогноза двикения г-зесинхрониого ИСЗ типа "11ола1я-1".Ща1 этом, крои; первкх; восы.я зональных гармоник учтена еце тессеральная гармоника о коэнТй1;Изнтаз,11 с2~ V. с^,.Пра одинаковой точности вычислений кзсрдккэг ИСЗ, даинй! способ расчета требует в 8-10 раз ке-яьпзк гггзз? каагккного врет ни. Таким образом, исследования ЕЛ. Дргсашевиче. показывают, чго при исследовании двикения ряда ИСЗ, • решения задачи неподвкжках центров могут бы -ь эффектявнеэ чем ранее известные променуточные орбиты.

Влсслзднее время сссбсино ценными стали применения промепу-гсшкх ср&гг, етройдоесл на базе некоторое аппрокеи.'лфугоцих 2-лйжсжй для псткщиала притяявкия Зенли, допусками антегрм-регакпе дифференциальных уравнений движения спутника в квадрат— Напр.: таяевья-и'яшгяются прсмазуточ1гь!е~-ербяты,яострреш-1-к» на основе решения задач Ахснеса, Баррара.Кислкха,Винти, обо-бцзкиах задач двух а чзтырех неподшшсяс цантроп.

Дяншс з диссертации практические прилг-женкя показывают, дри исследовании спутниковых двикени:'; в качество пропер.*-

точных орбит ■ целесообразное в раде случаев выбирать орбиты обоб-ценной задачи трех неподвижных центров." ЗсХ-ектпвшим! кг::;ютсп реаения внешнего и внутренного вариантов комплексного случая. этой задачи. При этой промежуточные орбиты, построенные на базе рсаения внешнего варианта, аналогична: орбитам, соответствуй-ци:« упомянутым задачам, в то ке время как орбиты варенного вс рианта принципиально отличаются от них,а такке и от других ранее известных. При исследовании движения близких спутников цоле-сообразнеэ использовать орбиты внешнего варианта, а дел да>:о:яи спутников орбиты внутренного варианта. Следовательно, рзиония обиицопиоу, задачи трех uonoRBum.ts центров дополняет область приложил некаплерозских промежуточных орбит и они могут быть приняты в качестве промежуточных орбит при построении высокоточных аналитических теорий движения искусственных и естественных малых тел Солнечной систе:.ы. Кроме того, на примере Земли в дио' сортации показано, что силовые функции задач трех, четырех, пяти и шести неподвижных центров могут быть использованы при изучении гравитационного'поля и'фигуры'планет.

Наконец, заметим, что полученные в диссертации решения задачи п 'неподвиБных центров, при п'ЗгЗ, могут быть использованы и.для исследования более слокных- движений искусственных и естественных малых тел Солнечной системы." ■

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались зг обсувдались на семинарах кафедры "Небесная механика и гравиметрия" Tiüffi, на каучно-исследовательс;сих семинарах по классической дгнамнке кафедры "Теоретическая механика" МГУ, на семинаре лаборатор'.и "Дянашка малых планет, комет и спутников" Шк АН СССР,на Всесоюзном симпозцуш "Динашка малых тел Солнечной системы" (Ба*у-1?о8), üí Х1У конгрессе Í.ÍAS '(Баву-1973),на X и XI

- э -

Циолковских'Чтениях (1975, 1976 г.г.-) в секции К.Э. Циолковский и проблемы астрономии и небесной механики, на заседаниях семинара 'по теоретической и эфемеридной астрономии при кафедре механики Московского института электронного машиностроения, на Всесоюзной конференции:"Изучение Земли как планеты методайи астрономии , геодезии и геафхэит" Шгез-1980),на семинар -совещании рабочих ггупп Астросовета АН СССР по .физике идинамике малых тел Солнечной системы (Душанбе-1960), на конференции "Нсползование найлэдений КСЗ для целей геодезии и геофизик1и(Славск-1980),на Всесоюзной конференции "Динамика малых тел Солнечной системы" (Ленинград-1961), на Всесоюзной осенней школе по теоретической и практической астрономии (Тирасполь-1983), и т. д.

Авурр .защищает: I) Частные решения задачи многих активно гра-витгарущих центров (в постановке К.Г.Яяоби)в квадратурах;2)Частные решения обобщенной задачи трех неподвижных центров в эллиптических функциях Якоба; ЗхРоаекие трех-вецественного, внутреннего и внешнего вариантов обиженной задачи трех неподвияных центров, в Тригонометрических ряда::; 4) Классификация и качественный анализ форм двипениЯ в обобщенной плоской задаче трех непод-вняшк цегпгров (в Постановке Якоби); 5}Цракжческие прилогения полученных реоекай.

Отоутаура и обьем работк.Диссептацяд состоит из введения, пяти глав текста, заключения,списка опубликованных работ автора по защищаемой теме, примечания к диссертациями списка литература мз 165 наименований.Общий обьем. работы 316 страниц .машинописного такстп.ва.'лгчая 35 рисунков и Ю-таб-т-гд.

. С0ДЕРЕУ-П2 РАБОЗИ.

Бо введши! диссертации.кратко излагается история досматриваемой задачи, обосновывается ее актуальность в настоящее зрак,

Г 10 - '

кратко излогается содержание работы и перечислены основные результаты. ;

В §§1,2 первой главы диссертации в полярных и сфероидальных координатах соответственно получены частные репения одного 'ит/чип задачи и неподвижных центров. -Показано, что при спахра-.льном выборе началышх условии, в некоторых моделях задачи многих неподвижных центров «удается найти полную систем квадратур. Получены решения задачи о движении сгутника в экваториальной плоскости,перпендикулярной полярной оси,на которой расположены ырптлгиваацие неподвижные центры. При этом отделькэ рассмотреш следующие случаи:а)неподаикные материальные центры расположены на оси. аппликат таз;, что под их одновреыешгым действием спутник ;.:о;;;ет двигаться толь::о б плоскости ху; бкюподвжшые центры расг положены на ош ашдапсзг попарно симметрично,т.е. -Л,= \ , 23 — '?у, • • • сп - ?п ! -Ч, = - ■ • ■ -№л = М ('^-расстояние от 1-го центра до спутника, иг- -масса I -го центра) .При этом второй случай расщепляется на два варианта, причем в первом варианте число не-яздвязгввс центров п равно четному числу, а' во втором- нечетному. Они отличаются друг от друга тблъко тем,что во втором варианте, ■' центр с-массой «а находится в начале координатной система.

В случае а)', из которого легко получить и два других под-случая, квадратуры задачи в полярных координатах^ и X имеют г-ад: " '

• 4Р _ чт

(Л-А.),.

ЫЦр) •*■

гла г 11 \~//1 ?

прячам А и ^ -постоянней интегралов энергии я плоцадей, "£е я .А -величины, соотвотствувцие началу отсчета времени и долготы, / -гравитационная постоянная, 7(2 £ -касса I -го неподвижного центра и ¿'¿-расстояние от того Ее центра до начало координат.

При п, последовательно равном: 0 (на спутник не действуют шпеакиз силы), I (спутник двигается под влиянием притяжения одной неподвипмй материальной точки >, 2 ( спутника притягивают две материальные точки ) и 3 (сцутник движется в поле тяготения трех неподвижных материальных точек);из системы уравнений (I) получим уравнения задач: свободной материальной течки, одного неподвижного центра,двух неподвижных центров и трех непод-визнш: центров, соответственно.

Во второй главе' подробно рассматривается один частный случай задача в: неподвикных центров- обобщенная плоская задача трех кеподвизных центров. При этом в' зависимости от значения масс .. трех иешцршсыг центров и иг' взаимного располокекия мзгут иметь место два случая: '

а)все три неподаикиые ценгрц имезт вецесавзнкыо массы и расположены в вещественных точках -вещгстззкггый случай;

б) од»йс .шсса вещественна и раеподегона а начата координат, а две другие- коикексно-сспряг.ены и распсгоЕйкь: в коыплекзно-соцрдаеншх точках- комжвеннй случай.

При этом кошлексгай случай токе разделяется на два под-случая:-

гу

1) спутник мокет двигаться только внутри заданной сферы-в:-зутреншй случай (вихренный вариант),

2) спутник моест двигаться вне заданной сферы- внешний .случай ( внешний вар;ант}.

/Таким образом,обобщенная плоская задача трех неподвижных центров разделяется на три варианта: вещественный, внутренний и внешний..

. Б §1 второй главы дана постановка обобщенной плоской задачи трех непо^двияных центров и выведены ее дифференциальные уравнения (в саатых и вытянутых сфероидальных координатах )¿обосновано и показано целесообразность расцепления обобщенной задачи трех неподвижных центров на три -вещественней,внутренний и внесший варианта; дифференциальные уравнения всех трех вариантов сведеш к квадратурам. -.■''.

В §2 этой главы получены решения вещественного и внешнего вариантов задачи трех неподаигных центров, которые -могут быть представлены в виде:

> _ А -Г 8 сп^^-Т^с] ; ' •

1 + 0сп[<т&-Ъ), ' - (з) •

где А",В,;..,п- постоянные величины, соответствующие вецествеш-ому шш внеикеау вариантам задачи, значения которых зависят от параметров, характеризирукщих рассматриваете два варианта, с-яоловпга расстояния мекду крайними неподви&кыми центрами, к- модуль эллиптических фуш.ций Якоби, а регуляризируюцая незавпсл-. мая переменная Т через время \ определяется из уравнения

= -(Ч)

причем, как и в система уравнений-( 3 ),верхний знак соответст- • сует вещественному, а ннжнпй- зкетяе5у вариантам.

Как видка кз соотношений (3) и (4 ), общие решения вещественного и внетного вариантов задачи трех нелодвииак центров вообще будут громоздким». Поэтому, как и в обобщенной задаче двух неподвижных центров, коэффициенты конечных фор;.ул целесообразнее представить в виде, рядов по степеням некоторых малых параметров. С этой цело в третьем параграфе второй главы получены решения . вещественного и внешнего вариантов в виде тригонометрических рядов.» В качестве малого параметра использована безразмерная ве- ■

_г. : >5)

■~ а(<- е2) , 1 у

В разложениях по, степеням этого парагвтра сохранены таены до четвертого порядка- включительно. Далее на конкретшх примерах . . показано, .что та^ая точность ¿полна достаточно для исследования двикення кебвснцк тел на основании современных наблюдательных, данных.' ■

3 54 второй главы получено решение внутреннего варианта . зада® гргг йалодгианш: центров, для его самого простого случая, хогда крайние массы равны давду собой.

При этом уравнение траектории тазет вид •

^ ~ 1-(Л-Л1)

- И -

где .■-■..■'■.■•■■■

■ : ■ щ ё ГЛ5Ч-"'. а)

1 I *

Переменная ^ связана с 3 посредством равенства ,

при этом Е определяется из уравнения Кеплера в котором ,

Ж^Р^Т :

В выракениях (6)-Ш) сходство с.форцулаш кеплерового двинения является естественным, однако, они не 'товдественш с ними, так как формулы кеплерового двикения зависят от параштроБ задачи одного неподвижного центра, в то время как (б)-СII) от ■ параметров задачи трех неподвшсных центров.

Б §5 этой главы получены пространственные решения, соответствующе вещественно^, внешнему и внутреннему варианта!.: обобщенной задачи трех неподвижных центров для случая малого наклонения орбиты. При отом, сперва используя найденные во второй главе-.решения уравнений движения

^ (и)

д х и Ьу 7 2 г '

- - - is - ..>:■;■■

при I = О, радение, пространственной' задачи трах ивподвиаси центров сведено к отысканию решения ураакэгаш типа.

jriCfj?-«. W

где £ = !? C^J - вариация аппликаты сгфтншеа

2-3 О

a х у ft J уив изг-зстшэ координаты мутника, U - силоза.ч

уункция пространственной обобщенной задачи трах активно гразити-

рутзшх центров* Затек, как и во многих других задачах тёоре-ги-

i

ческой и небесной механики, напр. : ограниченная задача трех тел, задача четырех неподвижных центров и т. д.,найдено приближенное .значение третьей координаты, т.е. аппликата спутника ^("¿J-

;. В третьей главе приводятся практические приложения обобщенной задачи трех недодзизных центров«- -

• В §1 этой главы приводятся общи соображения, положенные в • основу исследования двпгешя спутника сфероидальной -планеты^ За. мвтим,- что на основан;® именно этих, соображений, ранее автором была построена аналитическая. теория движения у сцутника Ьпитера -Ашльтеи, на базе- решения пространственной обобщенной задач:! ' двух неподвижных центров. .

В §2 изучено возмущащее влияние гауссовых материальных колец галилеевых сцутшков Юпитера на двиаение У спутника. * •

В §3 этой главы исследовано. движанке спутника сфероидальной планеты на основании-решения, соответствующего внешнеьу ва-- рианту обобщенной пространственной задачи трех неподвижных центров. При этом сперва аппроксимирован потенциал сфероидальной планеты потенциалом обобщенной задачи трех" неподвишшх центров.

Затем, подучено решение ПЗрострвнствежой обобщенной задачи ' трох неподвижных цвнтров.В 54 'на базе полученного, решения по-efpoeaa теория двкеения У сцршаса Юпитера. Сравнения резуль-татоврасчета, ло^гчаниюс ао найденный формулам, с результата-tai наблвдениЯ показйвми, ч-ро невяэки не превосходят погрешностей наблюдения.

Отметки ,что аоследовашем двивенин У спутника йзитера занимались многочисленные авторы (Ыихальский H.H., Теория двиКения У спутника Ешгаерб., ¿строк. а., 1930,7, с. 173-194; Vea Voerkom A.J.,The aoHon at Jupiter's fifth satellite 1892-1949, Aetron. Tapera., PrepÄT»ä tor the use of the American epheaerlds and aautio»! Almanech^,t2,l»1950,p.17-*6s ... И. Т. Д. ) на базе классических методов.

■Кироиекков В.Н. и аягар.отегрошш теорию движения f сгутш-■ ка на базе Эйлеровых opöns ¡Киряаенков В.Н., Аналитическая теория двикения пятого спутнкяа Йштвра. ,Канд. дисс. ,И. .ГАКПМЯУ, IÔ59; Драаов Г.Т. .Некоторые весягдования дищедая сцутника сфероидальной планети.,Кавд. №¡aü., У., да,. 19и8;Аразов Г.Т., Аналитическая теория дзиаениа У спутника Шитёра., Изв.! АН кзербаЯдкансксй Cd?,сер. фиэ.-тех. n -jav. наук., 1972, с.75-81). Однако, рабочие форьулц пслучюда» в §4 третьей главы проще к удобнее чем те, которые приценялись в упоияцутнх работах.

В §3 TpsWeil главы, дана механическая интерпретация силовой • £ун1о?ш внешнего гаранта обобщенной пространствен-. .. задачи трех шпздвйкньк центров. При «ом показано, что силовая функция обойденной задачи грех нелодвиЕШх цэнтров отличагтся от потенцааяа притявения Земли членами второго порядка относительно сжатия ; соответствующая э?о2 функции уровешая поверхность, ^цшаториальной радиус которой рввен среднего экваториально^

■ ' - 17;- ' '.-■•■. '...О ...

радиусу Земли, близка к геоиду; распределение силы т шести на

этой уровенной поверхности хорошо согласуется с нормальным,распределением силы тяжести ; силовая функция внешнего варианта задачи трех неподвижных центров зависит, кроме постоянной тяготения, массы и экваториального радиуса Земли, от'коэффициентов

второй, третьей и четвертой зЬнальных гармоник гравитационного поля,, которые с высокой точностью определяются из наблюдений ИСЗ. Эти свойства позволяют использовать силовую (¡¿ущздш Енезь него варианта при решении различных'задач о дзипении КСЗ и изучении гравитационного поля и фигуры Земли. -

Для иллюстра^ш сказанного и для сравнения выводов, получаемых с помощьюсиловой функции внешнего варианта обобщенной ' за-Алчя трех неподвижных центров, силовой функции- хорошо известно,", модельной задачи двух неподвикных центров и экспериментальных. данных, .приведем некоторые результаты расчетов. .• ■

Уровенная поверхность Земли, построенная на базе силовой , (¿ушари внешнего варианта обобщенной задачи трех неподвижных центров имеет экваториальной радиус превосходящий север-нык полярный радиус.¿0. и южный,полярный радиуссоответственно на 21368.и 21402 а, а %'в - Ъ0 =34.м .Согласно Аксенов Е.П.', Механическая интерпретащя силовой (функции'обобщённой задачи двух неподвикных центров. , Астрон. а., 1968; 45,4,. с.658., при ' определении этих величин с помощью силовой функции обобщенной " задачи двух неподвикных центров, соответственно будем иметь " 21 373 м и 21 405"ы, а 2"/ больше 2.*на 33 м. При этом, если аС среднее скатие уровенной поверхности Зш.ии, ъ.оС" -скатия северного и югного полушарий соответственно, то .для них будем иметь: I) на базе силовой функции внешнего варианта обобщенной

,- ■ " - 18.- -задачи трех неподвианых центров "

2} на базе ендовой фикции 'обобщенной задачи двух неподзи-ишх центров, согласно Аксенову Е.П.:

„Л-*—, ъв) -

, ... 3) в качестве отечетного эллипсоида для Земли принимается . эллипсоид с большой полуось» б 378 .165 и и скатаем

;<; -ло'*)

Максимальное превышение, уросенпой поверхности, соответствующие равенствам ( 15 ), над отсчет ним эллипсоидом Земли не лре выиает 2 м . Превышение аналогичной поверхности, соответствую-; щие равенствам (16 ), не превосходит 3 м .

В этом же параграфе изучено распределение силы тякести н уровенной поверхности. Земли ( в зависимости от геоцентрической шроты ), построенной на базе силовой дункцпи внешнего варианта обобщенной задачи трех неподвижных центров ( в тексте дис серташи'она обозначена, через к определяется из фарут

С 3.5.32 51. При этом, в частности, установлено г

в северном полушарии: . ...

в ¡энном полупарам: где О {+90°) -значение нормальной силы тякести , пелучзнпке пс

. ¿ге1"®" * * ■ . -

форцуле Гельмерта, щя «±90°. Эгиа машшашша значениям

• разностей ( 18) при использовании .'еяловой-йгнкщш обобщенной

- 19 -

задает двух неподвижных центров соответствуют:. з северном полупарш:

в петом полупара!: '" V' ~у

а тгрг использовании силовой функции реальной 3е:ш, т. е. сог-

саскэ •сор^'ле и.о.оо,-диссертации, получается: з северном полушарии :

<1 П. I /

з похукаркк:

а

о

(ю)

1акип с&рагод г-л^зсж» пркьвры показывают, что при ресе-,г.га ряда за^гг гггхгнггз и гво^ззш* ыозе? быть целесо-

образнее кспсльзозать еилозуи ¿ушщиз вкелпего зжхгзита обобщенной задача трех неподвижных центров. •

3 §6 третьей главы дана механическая интерпретация силовой': цункцва внугрех-юго варианта обобщенной задачи трет 'нелодвияла: центров .Закатом стачала получено решение внутреннего' варианта задачи 'грех кеподвгныя центров для специально отобранных . знаний масс и. координат неподеикных материальных тачек. { Конечные зыразкгк. ресений и здесь- являются словныш .' Поэтоцу, они представлены в виде рядов.по степеням .некоторых палых параметров., 2 качестве малого параметра введен- ;,.определяема по горсуда

К - ^

е

что в зависимости от' необходимой точности определения ^-сгзэгггл еяупшка и значения вел1гч:!н (X , в ие.'при разных "яетзяесиэ: щкдкзигях следует сохранять в рдзггс члена раз-

степени, сто' ггтзз «ззгетвтло при. пшвЕр •¿орг&'л, приведен" 3 доесертацрд.) Затег: на «шззияас полученного тзепетсгя'

6, И

приводятся некоторые оценки эволюции орбит суточных спутников Земли;"Эрди Берд'г , "Синком~2* и ."Синком-З". Здесь необходимо : заметить, что двиаоже стационарных ИСЗ исследовалось шогиш авторами, как с помощью аналитических и полуаналитических те-. . орий; так и путем численных методов.Основным результатом этих работ является; качественная,и эволюционная картина движения стационарных спутников. Получение количёственных'характеристик движения стационарных ИСЗ йвяэано с большим обьемом вычислений. Поэтому , имея в виду, что еутествует ряд задач, связанных с Прогнозированием, движения, где большой обьем вычисления неприемлем, в диссертащш построена аналитическая теория стационарного .КСЗ, пригодная для прогнозирования Движения на небольпих интервалах времени и с небольшим обьемом вычислений. Йри этом потенциал гауссового кольца, еортветсгвущий воздающей -функции при* тянекия'Луны, аппроксимирован потенциалом силы притяжения двух крайних неподвижных центров» Конкретные расчеты, проведенные по таким образом полученным формулам,, для суточных спутников " Зр-ли Берд", "Синхом-2" и ^Ошком-З" хороио согласуется с результатами исследований С.Г.- Журавлева(Аалитическая теория движения ' суточного спутника.,ч.2.,Вековые, долгопериодическиа и коротко-периодические возьо'щения., Проблемы механики управляемого движения. ,1, Пермь-1972, _с.85),. И. Козаи (Белецкий В.В., Движение искусственного' спутника относительно центра масс.,Наука, М.,1965) ;[ В.'!. Каула (Арнольд К., Методы, спутниковой геод^г;..;., Недра, Х973 ). ■. ■ ■;

Ка;с и все другие интегрируемые задачи механик;;, задача п не' подвижных центров С па 3 ), решение которой получено а ноет оя-. чей диссертации, тойе обладает рядом ванных и интересных свойст:

■ --¿1-

Четвертаг» глава диссертации посвящена качественному анализу и классификации типов движений в обобщенной плоской-задаче трех нсподшкюк центров. .С этой целы» применяется ;.:зтод, которым пользовался Алексеев В. 1.5. ( Обобщенная пространственная задача двух ноподвиитных центров, Классификация- двыяенип., Еолл. «ГА, 1965, т.Х, "4 СП'7), с.241),при классификации двикешй в обоб-;;енкоП прсгранствеигоЛ задаче двух неподвижных центров (прлгед-ло;| для случая интегрируемости по Лцувчллю). Прпчеп расс;'.отро:п-;. :-с-з типы двий-зш:;-! при лабых массах неподвижных центров, в част-шети отрицательных и комплексных, соответствующих вещественно-.у потенциалу.

Во введении к этой;главе приведены некоторые общие рассуцце-:пя и цеобходазге ф/орцулы, цришнише к задаче отыскания зоз:'.с~-гкх типов движения пассивно-гравитирунцей материальной точки в 1ъпч!оновскои поле тяготения трех неподвижных активно гравнтпруз-

масс. В §~ четвертой х'лав^риведеш основ^э соотноыекня 1ля всех трех вариантов.задачи трех неподвижных центров, необхс--доые для выполнения качественного анализа и классификации тил-!В движения. В §§3,4,5-.этой главы исследованы и найдена вссвоз-юкные реальные-.движения в вещественном, внешен п внутр-к-лгом ариантах задачи, ■ соответственно.

' В <31 пятой главы, на примерах приложения задач'четырех, пя-п и кестн ноподвшиых центров, даны некоторые практические прп-оаениа задачи мюгпх неподшкнкх центров в геофизике. ,В -".2, па азе репення обобщенной пространственной задачи двух нелодвхга:: ■жрос, построена теория движения егдепыиа вроцащеГ.сл е.,орол-алыюй п;:ш;е-гц. В 53 этой глава получекц диф^срс-а^'.алиг:е :<е»кя для элетяов проиегугсяпоЛ орбиты плоской трех

зподккиас центров, описывающие БОз:ущсннЬе тела

.... , :: . . массы.' В '54» на бааэфораул §3,1ф<ЗДолькено исследование движения У .спутника в .'§4 'главы. 3. • ,' л. '

пост^йенная авгороа на ';. о<аюв«>ии наблюдения • а точностъп:

. £ « £+р?19 (1892 - 1921г.г., 1187 ), ' ? - 27 (1892 - 1920 г.г., ИЗ ),

где (^ , ^) и £ , )- вычисленные ц наблвденные значения координат У сцутника,в скобках указаны года наблюдений и число наблюдений.в эти года, которые подвергались обработке. ^ -угловое, геоцентрическое расстояние от центра Епитера до У спутника, -угловое геоцентрическое расстояние от плоскости полосы Юпитера до У спутника.Заметим, «то вше упомянутая теория дияения У спутника Юпитера В.Н. Кирюшенкова, построенная на базе Эйлеровой орбиты тоже обеспечивает такой ке согласованности меаду теорией и наблпденияый.

' Рабочие формулы полученные автором на базе орбит Якоби (на базе; реиения внешнего варианта обобщенной задачи трех неподвижных центров) представляют наблюдения со средней квадрахичзсксй ошибкой: • - . . .

£ = * 0!07 (1892 - 1921 г.г., 1187 ), -

' "Ч я 1о ±0?13 11692 - 1920 г- г" 113

обозначения те ке саше, что и вше .Только заметим, что во всех упомянутых исследованиях, движения У спутника рассматриваемся -в пола тяготения: Юпитера, Солнца и галилееввк спутников.

В .",5 главы 5 построена'теория движения малых планет удов-» . яетзс£ящах условии: 0,29 0,58 (т.е.2,15 ^ а ^ 4,26 а.е.;.

При атом в качестве прожиточной орбиты использовша орбига 'зиутренного варианта обобщенной аедачи трех неподвижных центров

( орбита Якоба ). Она в первом приближении позволяет учесть boíj мщения как отдельно от Юпитера ( пример"; >,108) Гекубы), так и ó-эезх виетких планет ( пример■ (126) Езллада ).' Проввдеки сразив ■■ ния результатов расчета по формулам теории построенной на базе орбит Якоби и задачи двух тел и с результатами численного Mgrei рироваиия задача II .тел (Солнце + 9. планет.+ астероид ) по прог раиме- ИГА АН СССР д наблюдениями. Соответственно построенные. , таблицы для прямого восхождения,o¿, и склонения, £, дают возможность следить за эволвцнеи вековых, периодических и пояьнык воз» ¡.-"лений этих коордгиат за интервалы времени охватывающие суцест-Еутзцие наблюдения, с точность*) наблюдательных данных.3 таблице I. в строках I и 2 даны значения максимальных возмущений координат, {Алаяй^ла) , (125) Беллады за 1905-1980 г.г. Обработке подвергались 50 наблюдений. Элементы орбиты (126) Веллады определении«' на базе орбит Якоби отличаются от элементов определенные на основании общеизвестной теорил возмущений на величины: Ы= UQ--0VG9I3S5,ü? = 0l?,-0?3I527Q, i = ¿0- 0°000522, e= eQ + 0.00060E, Ji =-!2'q+ 0,0170073, a =(a0+ 0,000856)a. е., эпоха I9B2 август 19,0 ЕГ. • ... • ...

Таблица -I ' -. '

полкде перио- вековые

возму- дичее- воз- .

дения • кие - одце-

возьу- ния . щения

с учетом , • в оз ».уценил от всех планет

без улу- после

чшения трехкратного _улучшения

средняя квадра-

тическая

опмбка

С -О,

я я

5-Ск 0-Ся 308^52 783*27 120^32

0-С s

38,72

0-С S

0,22

5815776 3736V2I 5I673I 284796 4738 .

0-С

of 10

1УЗО

В таблице I: 0- обычно используемое обозначение'для наблюденного значения координаты, Ск- результат вычисления па базе £ор;.{ул кеплеровоп орбиты, Ся- результат вычисления по формулам орбиты Якоби (решения вкутренного варианта обобщенно?: задачи трех неподвижных 'центров ).Н наконец, через С- обозначено значение координаты вычисленное с учетом возмущений от все;;- плане?.

Заключение содершиг основные новые 'научные результаты, полученные в диссертации. Они- следующие:

1) Получены цикл новые решения задачи многих активно гра-витируицих материальных центров (в постановке К.Г. Якоби ),в квадратурах.

2)Решена обобщенная плоская задача трех неподвижных центров (в постановке К.Г. Якоби в эллиптических уункциях Якоби, которая разделяется на три:, вещественный, внешний и внутренний

' варианта.'

. 3)Решены вещественный, внешний и внутренний варианты обобщенной задачи трех неподвижных центров в радах '£урье.

" . 4) Получены рабочие £орг.улы для вычисления орбит для всех трех варианто^орбит Якоби, которые могут быть использованы в качестве промежуточных орбит при исследовании движения мальве тел Солнечной системы.,

5) Построено приближенное решение обобщенной пространстве! ко;: задачи трех неподвижных центров для случая малого нактснен: орбит.Карданы решения^соответствующие вещественно: д,, ¿нешег.у внутреннслу вариантам этой задачи.

о)На основании орбит Эйлера и Якоби. построена теория депе: i-y.ii У спутника Етштера.Б отличие от классически методов, орбит; ЗПлера и Якоби позволяют определить. единую систему элементов и дзлучпгь рабочие £ор;.улы, которые представляет? известие набло

• ' • - 25 -

наблюдательные данные охватывающие 30 летний иктзрзал времени, с точностью наблюдений.

7) Показано, что основные свойства силовой.функции-обобщенной задачи ЯкоСи позволяет широко использовать ее решешш при рассмотрении различных - задач, о двпкешш НСЗ и малых тел Солнечной системы, при изучении гравитационного поля и фигуры Зе.-ли и других небесных тел.

8) Ка основании решения внутренного вар-!'-анта обобщенно:; задачи Якоби исследованы эролюции орбит суточных спутников Земли типа "Зрли Берд", "Спнком -2" и'_ "Синдом -3".Показано, что. орбиты Якоби удобнее и проще для анализа эволюции орбит суточн;к спутников, чем общеизвестные классичешсг-е методы.

9) Построена -теория движения малых планет удовлетворяющих' условта 15а 4,23 а.е.. Б качестве примера исследовано

(V&) Веллада.Сравнением результатов .расчета по £яр:.у-цулам орбит Якоби с результатами численного интегрирования и наблюдениями, охватыващиш75 летний- интервал .времени, 1905-1980,г. г. .показано, что при исследовании двикения ряда нерезонанскых астероидов в качестве промежуточных, орбит целесообразнее выбирать орбиты 'вцутренного- варианта обобщенной задачи Якоби.-

10) Найдены зее возможные типы движений в обобщенной плоской задаче трех неподвинных центров в постановке Якоби, при ли- . бых значениях параметров задачи, в частности и отрицательных и в комплексных значениях масс и координат центров.Проведен анализ эволюция свободных параметров орбит Якоби, которые обеспечивают простоту и компактность рабочих ¡¿орьул. -

Вычисления, результатов которых приведены в настоящей диссертации, были выполнены па ЭБИ: ;.1инск-22 (УДД им. П. ЕЭС.'-о (1ГГА СССР) и ЕС-1022 С1Ш0 Ю1 АЛ Азерб. ССР).

Основные результаты диссертации опубликованы s статьях: I) Аразов Г.Т..Относительное двикение искусственного сцутника сфероидальной планеты.Изв.АН Азерб.ССР,сер.фнз.-ыат.наук,1967, ;:< 3-4,с.81-86.

2} Аразов Г.Т., Об одном хслассе почти периодических орбит спут-lanca сфероидальной планеты.Изв.АН Азерб.ССР,сер.фаз.кат.наук, ISÔ8,:;l,c.9I - 97.

3) АразоЕ Г.Т.,О существовании почти периодических двияений спутника сфероидальной планеты.Изв.АН Азерб.ССР,сер.ф;;з.кат. наук, ISG6,. ¿.'<3,с.79-81. . -

4) Аразов Г.Т., Двикение сцутника сфероидальной планеты в случае тлалых эксцентриситетов и шлих иаклонностой. Доклады A4 Азерб. ССР, I9Ù9,¿"6, с. IC-I4.

5) Аразов Г.Т. ,06 одном способе построения аналитической теории двлнения спутника планеты в случае малой наклошости и малого эксцентриситета, '.¡атериалы сишозиума "Динамика палых тел Сол- ' í.s4Hoir сиетеш", 1970, с. 10 '•

G) Аразов Г.Т., 0 представлении координат спутника сферовдаль-ной планеты с поиоцьи рядов. Сосбцегия ШАО АН Азерб.ССР, 1971, с. 7G-8S. ' •

7) Аразов Г.Т., Аналитическая теория движения У спутника Юпите-тера. лзз.АН Азерб.ССР, сер.физ.иат. Hayic,1972,с.75-81. 8}Араз.ов Г.Т., 0 задаче трех неподвижных центров. Циркуляр ОАО АН'Азерб. ССР, 1972,.'.'2,с.7-10

9) Аразов Г.Т..Султанов Г.Ф.,Зейналов Р.А.,'.1а-.-.сдов Ù'.A.,Теория движения искусствегашх иестественных малых тел Солнечной систе-гпл, структура и эволюция их орбит, Москва БИЕПл Тезисы лХ1У конгресса УАЗ,1973, с.385-383, пунт 2.

хоу-Аразов Г.Т.,О почли периодических орбитах ситника сферой-

долькой Земли под взгущаищш влиянием Луги, Сообщение ШЛО АН Азерб. ССР, вда.7,- с, 3-10. ■ . "

11) Аразов Г.Т..Исследование -дакавши спутника рфероидальной • планеты. Ас-грон. к., 1975, 52, 4, с. 691-894. \

12) Аразов Г.Т., 0 задаче трех неподвипшх центров. Письма в Астрон. ;:с., i975, I, 6, с. 42- 45.

13) Аразоз Г.Т., Роце;ие внутреннего варианта задачи трех неподвижных центров .Письма в Астрон. к., 1975, I, 7, е..42-43.

14) Аразов Г.Т., Задача трех неподвижных центров. Астрон. ;.-;., 11*76, 73, 3, с.639 - 646.

15) Аразов Г.Т., Габибоз С.А. ,Репеше внепнего варианта задачи трех неподвпнных центров. Труда X чтенЛ Х.Э.Циолковского, секгря ''К. З.Циолковский к пр. астр.и неб. мех." 1976,с. 22-30.

IG)Аразов Г.Т., Частные решения одного случая задачи п неподвижных центров. Письма в Астрон.®., 1976, 2, 10,с. 509-511.

17) Аразов Г.Т., Об одном способе построения аналитической теории движения спутника планеты в случае малой наклонности и малого зксцентриситета.Циркуляр ШАО АН Азерб.ССР, I976,:;öI-52,c.3-I5.

18) Аразов Г.Т., Габибов С.А., Решение пространственной задачи трех неподвижных центров в- случае малого наклонения орбиты.Труды XI чтений К.Э.Циолковского,секция "К.Э.Циолковский-и пр. астр, и неб. !.:ех.," 1977, с. 86-91 - - • ■

19) Аразов Г.Т., Решение внутренного варианта задачи- трех неподвижных центров для произврльных значений тсс. Циркуляр ИАО АН

Азерб. ССР, 1977, j,o9-60,c.3-I4.

20) Аразов Г.Т., Габибов ,С.А..Вековые возмущения астероидов. Тезисы докладов Всесоюзной конференции по физике и динамике галих тел Солнечной системы. Дупанбе, 1982,с.51-52.

¿1) Аразов Г.Т., Габибов С.А., Теория движения (12б)3аллада.

Астрон. а., 1984,V6I, 6, с.1205-1210.

22) Аразов Г.Г., 0 применении внешнего варианта обобщенной задачи трех неподвиквдх центров в геофизике. Астрон. к., I960, 57, I

с. 190-194.

23)Аразов Г.Т., Дифференциальные уравнения для оекулирунщих элементов промежуточной орбиты задачи трёх'неподвижных центров. Астрон. К., 1983, 60, 4, с. 771-774. .

24) АразовГ.Т.,Решение плоской- задачи п неподвижных центров. Celeat; Mech. ,1977,16, р. 41-44

25) Аразов Г.Т., Габибов С.А., Качественный анализ и классификация типов двикений в-обобщенной плоской задаче трех неподвижных центров. Celest. Mech. ,1978,-17,р.49-81.

26)Arazov G.T.,Gabibov S.A.,On the solution of the problem of three fixed ceiitres. Celest.Hech.,1977,15,p. 265-276

27) Arazov G.T..Gabibov S.A.,The intermediate orbit of the Hecuba family constructed of the basis of solution Of the internal variant of-the generalized problem of the three fixed centres. Celest.Mech.,1979,p.33-89. v 20

28) Arazov G.T.,On some applications of the problem of many fixed centres to Geophysios, Celest.Kech.,1981,p.345-352. v 25;

CM

J