Задача об ограниченных решениях и операторные пучки с полиномиально ограниченной резольвентой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На нравах рукописи

Печкуров Андрей Викторович

Задача об ограниченных решениях и операторные пучки с полиномиально ограниченной резольвентой

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный

анализ

2 О СЕН 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2012

005047120

005047120

Работа выполнена в Воронежском государственном утчзерситстс Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Баскаков Анатолий Григорьевич, Воронежский государственный университет зав. кафедрой математических методов исследования операций Официальные онионситы: доктор физико-математических наук,

профессор Овчинников Владимир Иванович Воронежский государственный университет профессор кафедры математического моделирования

кандидат физико-математических паук, доцент Брук Владислав Моисеевич Саратовский государственный технический университет

доцент кафедры "Математика н моделирование" Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита состоится 1С октября 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете но адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335 С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " сентября 2012 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22

д.ф.-м.н., профессор Ю-Е. Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачей об ограниченных решениях называют задачу о нахождении ограниченных па действительной прямой К решений линейного дифференциального уравнения и' - Аи = /, соответствующих ограниченным свободным членам /. С одной стороны, задача об ограниченных решениях является разновидностью краевых задач, в которых роль краевых условий играют условия ограниченности решения па бесконечности. С другой стороны, задача об ограниченных решениях тесно связана с задачей об устойчивости: существование единственного ограниченного решения при любом ограниченном свободном члене соответствует специальному тину неустойчивости экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения.

В литературе в основном изучен случай, когда коэффициент А является матрицей, либо линейным ограниченным оператором, действующим в банаховом пространстве. Задача об ограниченных решениях для обыкновенных дифференциальных уравнений считается классической и имеет многочисленные применения. Поэтому актуальна задача перенесения известных результатов на более общие уравнения уравнения с неограниченными операторами (являющиеся моделью уравнений с частными производными) и уравнения, не разрешенные относительно производной.

Настоящая диссертация посвящена уравнению

^и'-Сги = /, (1)

не разрешенному относительно производной. Здесь Р и С линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство У.

Ограниченность решения и и свободного члена / можно интерпретировать несколько по-разному, что и делается в разных главах диссертации. В

самом общем виде (глава 1)под ограниченностью понимается принадлежность пространству обобщенных функций Шварца Б'. Более узкая трактовка понятия ограниченности принадлежность пространству С непрерывных и ограниченных на К функций или пространству С" непрерывных и ограниченных на К вместо с производными до п-го порядка функций. Также рассматриваются (§ 2.3) пространства С" с отрицательными п. Обсуждается вопрос о связи гладкости решения и и свободного члена /.

Целыо работы является нахождение условий, при которых каждому ограниченному свободному члену / соответствует единственное ограниченное решение и уравнения (1).

Научная новизна. Основными результатами диссертации являются следующие.

• Доказано, что условием однозначной разрешимости уравнения в пространстве обобщенных функций умеренного роста является существование и полиномиальный рост резольвенты пучка на мнимой оси.

• Для бисекториальных пучков изучена связь между гладкостью свободного члена и гладкостью решения.

• Показано, что изменение нормы в пространстве операторов позволяет улучшит!» зависимость гладкости решения от гладкости свободного члена.

• Изучена структура функции Грина бпограничешюго пучка.

• Доказано, что функция Грина, имеющая конечномерный образ, является прямой суммой пулевого оператора и обратимого оператора, осуществляющего изоморфизм между некоторыми конечномерными пространствами.

Методы исследования. Основным средством решения поставленной задачи являются методы функционального анализа: спектральная теория операторов н операторных пучков, функциональное исчисление и обобщенные функции. Кроме того, используются основные понятия дифференциальных уравнений и методы теории функций комплексного переменного.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют в основном теоретическую ценность. Они могут быть использованы для исследования дифференциального уравнения (1).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейиа 2008 [3|, 2010 [4|, 2012 [10], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010 [5], па конференции ОРБЕ 2011 [11], па семинарах А.Р. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в [1 И]. Работы [7, 8, 9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Мипобрнаукн РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего 89 наименований. Общий объем диссертации составляет 104 страницы.

Содержание работы

Пусть X н У комплексные банаховы пространства. Обозначим символом В(Х, У) множество всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в У.

Диссертация посвящена задаче об ограниченных решениях для дифференциального уравнения

(7<г/)(г)-(Си)(г) =/(<), (£1, (2)

где Р,Є Є В(Х,Г).

{Линейным операторным) пучком, соответствующим уравнению (2), называют функцию

А ^ А Р-Є, А є С. (.3)

Резольвентным множеством пучка (3) называют множество р(Р,С), состоящее из всех А Є С, при которых оператор АР — (7 обратим, а резольвентой функцию (семейство) Н\ ~ (АР — С)-1. Дополнение сг(^,<2) к резольвентному множеству называют спектром пучка.

Глава 1 посвящена задаче об ограниченных решениях в случае пучка умеренного роста. Пучок А АР — £7 назовем пучком умеренного роста, если мнимая ось содержится в резольвентном множестве р(Р,Є), причем существуют такие івєХи М > 0, что

||(гс^ - в)'1 : У -> Х\\ < М( 1 + И)'", аі Є К.

Основным результатом главы 1 является следующая теорема.

Теорема 1.3.2. Пусть пучок имеет умеренный рост. Тогда для любой / Є §'(К, У) уравнение (2) имеет единственное решение и Є §'(М,Х). При этом преобразование Фурье й решения и задастся формулой

й(ш) = {шР - 7М.

Здесь символ 8' означает пространство Шварца обобщенных функция умеренного роста.

В главе 2 па пучок накладывается дополнительное условие биссктори-альпости. Пучок А н-► АР — Є называют т-бисскториальным, где їй Є 2, или просто бисекториальным, если существуют такие <50 Є (0,7г/2] и /го > О,

б

что множество (см. рис. 1 слона)

= {AeC:|-tfo<argA<| + ¿o}u

f Зл" Зтт 1

U IA G С: —— <$о < arg А < — + ¿о j U {А е С: | RcA| < h0}

содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых 5 € (0, So) и h € (0, hо) существует такое A4 > 0, что

||(АF - СУ1 : Y - Х\\ < М(1 + |А|)"', А £

Условие бисскторнальпости позволяет получить более точные соотношения между гладкостью свободного члена / н решения и уравнения Fu' — Gu = /, чем в теореме 1.3.2.

\ J

U+io./«> I

j /

/

/ / \

/

\ п„ \

1 >\,л,

1 Й./1 /

Рис. 1: Слепа: множество ii<sUl/,0 (выделено белым); сирина: границы Г.!,,./!,, н множеств il^jm и ils.h соответственно (стрелками показана ориентации)

Изложение в главе 2 ведется в терминах функции Грина (более подробно называемой регулярной частью полной фупкцнн Грина)

S(0 =

X+{t), если I > 0, -X~{t), сели L < 0, 7

где

= [ ext(XF-G)~ldX, 2ттг 7г±

2тгг

" - «л

a rfjt контуры, изображенные на рис. 1 справа. Как обычно, функция Грина удовлетворяет дифференциальному уравнению FQ'{t) — GQ(t) = О при I ф О (предложение 2.2.4] и экспоненциально убывает па бесконечности вместе с производной (предложение 2.2.5), по се поведение в нуле оказывается более сложным (предложение 2.2.11), чем у краевых задач для уравнения и' — Ли = /, разрешенного относительно производной.

Пусть Е банахово пространство. Обозначим через С() = С = С(К,Е) пространство непрерывных ограниченных функций и: R —» Е с нормой

И =|Hc = supHi)||,

(єк

а через С" = C"(R, Е), п, — 1,2,..., пространство всех п раз непрерывно дифференцируемых функций и: R —> Е, ограниченных но норме

IHI = Nlc + IH|c + --- + ||uW||c.

Очевидно, Сп — С"(К,Е) банахово. Принадлежность пространству С" интерпретируется в диссертации как вариант ограниченности.

Пространство С~п = С-"(К, Е), п = 1,2,..., определяется как пространство всех обобщенных функций и є S', нрсдставимых в виде и =

Щ) + и\ Н----+ где г/о, иь..., ип Є С, а производные берутся в смысле

обобщенных функций. Представление и — u0+u'iH-----Ьг4>"* не единственно.

Норма па С~" определяется по формуле

, п п .

імі=Ыс-ч = ІПГі Hufciicи = J2ukk)'..Аєс .

fc=() ¿=0 J

Пространства C~n, n = 1,2,..., оказываются полными (предложение 2.3.3). Оператор Uu = и' + и устанавливает изоморфизм между пространством Cm+1 п пространством Сп при всех п G Z (предложения 2.3.2 и 2.3.4).

В § 2.4 приводятся основные результаты главы 2. В них описывается связь между гладкостью свободного члена, и решения, а также приводятся некоторые формулы для решения.

Теорема 2.4.4. Пусть пучок является ш-биескториалипым. Тогда при любой / G С"(К, К), п € Z, решение уравнения (2) принадлежит пространству С"~'"_1(К, X). При этом при it. > w + 2

+оо

g{t - s)(FG~1)"'+lf(w+1\s) ds -Y,G-l{FG-iy fW{t).

00 1Ы0

Примеры бнсскторпальных пучков приводятся в § 3.4 главы 3.

В главе 3 обсуждается вариант бисекториальностн, когда норма пространства В(У,X), в котором принимается значения функция Грина G, заменяется другой, меньшей исходной. Мы ограничиваемся случаем, когда резольвента пучка убывает па бесконечности как в результате все решения выражаются через (регулярную) функцию Грина.

Необходимость внесения изменений в определение бпсекториалыюсти в случае, когда резольвента пучка убывает на бесконечности как показывает теорема 3.1.2. В этой теореме говорится, что такой пучок является (—1)-биограничс1шым в смысле главы 4, т. е. его спектр оказывается ограниченным множеством. В качестве упомянутого изменения в диссертации предлагается замена нормы на X или на У.

Идея замены нормы в множестве значений X функции Грина подсказана аналогией с теорией полугрупп, порожденных сскторнальпымп операторами. В случае неограниченного секторлалыюго оператора А и соответствующего ему уравнения и' — Ли = / коэффициент А действует из своей области определения D(A) С X в X, но порожденная им полугруппа операторов T(t), t > 0, действует из X в X (а не в D(A)\). Поэтому решение u(t) = ¡Q°°T{a)f{t — s)ds принимает значения в X (а не в D{A)).

В случае бисекториалыюго пучка Л н-> AF —С и уравнения Ри' — Си = / пространство X, на котором заданы Р и С, является аналогом £>(Д) и поэтому для функции /. принимающей значения в У, следует ожидать, что решение принимает значения в более широком пространстве, чем X. Для уравнения /м/ — Си = / нахождение более широкого подходящего пространства, содержащего X, является дополнительной задачей. Она обсуждается в § 3.3. Л в § 3.2 описывается более простой подход, когда вместо расширения пространства X используется сужение пространства У. Иными слонами, рассматриваются функции /, принимающие значения в некотором подпространстве У1 пространства У.

В рамках обсуждаемого в главе 3 подхода всплывает принципиальное отличие рассматриваемых уравнений от обыкновенных дифференциальных. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений функция Грина Ь V-» Q{t) имеет в пуле разрыв первого рода, то для бисекториалыюго пучка возникает суммируемый разрыв второго рода (предложение 3.2.7).

Приведем конкретные результаты главы 3.

Предположим, что в У имеется линейное подпространство У1, полное относительно своей нормы || • || 1, обладающей свойством ||г/|| < ||?/||х для у е У1. Очевидно, ЦТ : У1 -> Х|| < ||Т : У —+ Х\\ для любого Т € В(У, X).

Пучок Л (—> ХР — С назовем У1-бисекториалытм, если существуют такие ¿о е (0, 7г/2] и /¿о > 0, что множество (см. рис. 1) содержится

в резольвентном множестве пучка, причем для каждых 5 6 (0,^о) и к € (0, /¿о) существует такое М > 0, что выполнена оценка

||(АГ - С)"1 : У1 -» Х|| < Л е П6Л.

Теорема 3.2,8. Пусть пучок является У1-бисекторияльпым. Тогда для любой функции / е С(К, У1) уравнение (2) имеет единственное решение

и £ CYl(R, X), которое [¡РСДСТАШШО О ВИДС

/+оо

g(t-s)f(s)ds, t G R. (5)

-oo

Следствие 3.2.9. Пусть пучок является У1-бисскторпяльным. Тогда для любой функции / е С"(К, У1), n е Z, уравнение (2) имеет сдинствеп-пое решение u е Cn+1(R,X), которое при п > О предствимо в нидс (5).

Предположим теперь, что X пложено в линейное пространство X'1, полное относительно своей нормы || • ||_1, обладающей свойством ||ж||-1 < ||х|| для х <Е X. Очевидно, \\Т : Y -> Х~Ч\ < \\Т : Y -> Х\\ для любого Т € В(У, X). Предположим также, что оператор G~lF\ X —> X допускает продолжение до непрерывного оператора G~lF: X"1 —♦ Х~г. (Напомним, что 0 ^ a(F, G), т. с. оператор G: X —> Y обратим.)

Пучок А I—> XF — G назовем Х "1-бисскториа,пным, если существуют такие ¿о е (0, 7г/2] и /¿0 > 0, что множество Q/itljl0 содержится в резольвентном множестве пучка, причем для каждых 5 6 (0,5а) н h € (0, /iy) существует такое М > 0, что выполнена оценка

||(AF - С)"1 : Y Х^Н < XeÜ*'h-

Понятие Х_1-бнсскторпалыюсти является более точным аналогом понятия секторнальиости, используемого в теории полугрупп, чем понятие Y1-бисскторналыюстн.

Теорема 3.3.3. Пусть пучок является X'1-бисекторпальным. Тогда для любой функции / е C(R, V) уравнение (2) имеет единственное решение и € С^М,^"-1), которое прсдстлшшо В Ш1ДС

/+оо_

g{t-s)f{.s)ds, le R, (С)

-oo

где расширенная функция rpnimQ(t) совпадает с прежней функцией Грина Q(t) Y X, ¡10 рассматривается как действующая из Y в Х~х.

Следствие 3.3.4. Пусть пучок является Х~1-бисскторпальпым. Тогда для любой функции / е С"(М, У), п є Z, уравнение (2) шіеетединственное решение її. Є C"'hl(]R,A:_1), которое при п > 0 нредстлвпмо и виде (6). В § 3.4 приводятся примеры У1- и Х_1-б[ісскториальпьіх пучков. Пример 3.4.3. Обозначим через С2„ банахово пространство непрерывных 27г-периодических функции х: Е —> С, рассматриваемое с нормой ||.х|| = тах{|а:(£)|, а через С2п0 - замкнутое подпространство функций х Є С2п, для которых /ц"= 0. Обозначим через C¡„0 подпространство функций X Є С'ітт 01 лежащих В C2jr о вместе с производной с нормой

NI^Mc^ + ll^llc,,..

Рассмотрим оператор D: C¡n(l -» С2,г0, определенный по формуле

Dx = ix'.

Очевидно, операторы D, 1: С\п0 -> С27г0, где 1 - тождественный оператор, ограничены, причем D является изоморфизмом. Нетрудно видеть, что спектр оператора Д рассматриваемого как действующий нз C2jr0 в С2яо с областью определения С^ с С^о, совпадает с множеством Z \ {0}. Рассмотрим уравнение

u'{t)-(Du){t) = f{t) (7)

с функцией /: R С27г0 относительно функции u: R ~> Cjw0.

Положим X = Cjjro и У — С2л-(). Показано, что пучок является 0-бнеекториальным. Следовательно, но теореме 2.4.4 уравнение (7) при любой / є С"(М, имеет единственное решение и Є С"_1(М,

Положим У1 = С^я0. При таком выборе У1 пучок является У1-бисскто-риальным. Следовательно, по следствию 3.2.9 уравнение (7) при любой / є C"(R, о) имеет единственное решение и є C"+1(R,

Наконец, положим А'"1 = С2по- При таком выборе X"1 пучок является Х^-бисекториальным. Поэтому но следствию 3.3.4 уравнение (7) при любой f Є C"(R,C2iro) имеет единственное решение и Є С"+1(М,С2^о).

В главе 4 обсуждается простейшая ситуация, в которой появляется полиномиальный рост резольвенты пучка на бесконечности. Этот случай наиболее близок классической постановке задачи об ограниченных решениях для обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами.

Пучок Л t—> AF — С! называется w-биограиичсчным, где w Є Z, или просто биограпичепиым, если резольвентное множество пучка содержит мнимую ось, а также проколотую окрестность бесконечности и при достаточно больших |А| выполняется оценка

||(АF - С)"1 : Y Х\\ < Л/(1 + |А|)"'.

По сравнению с бисскторпальпостыо здесь требуется, чтобы (конечный) спектр пучка был ограничен.

В этой главе ранее определенная функция Грина Q носит название регулярной функции Грипа и обозначается символом Qr. Это связано с тем, что возникает необходимость в рассмотрении дополнительно так называемой сингулярной функции Грина Qs(t) == - Nk+[(l''S(i'\t), которая в сумме с регулярной образует (как показывает теорема 4.3.G) полную формулу Грина.

В отличие от биескториалыюго случая здесь регулярная функция Грипа имеет в пуле разрыв первого рода (предложение 4.2.2). Основным результатом главы является следующая теорема..

Теорема 4.3.6. Пусть пучок является ги-биограипчеппым. Тогда при всех/ є Cn(R,Y),n Є Z, решение уравнения (2) принадлежит Cn~u'(R, X).

Яри этом при п > О

ш

gr{t - s)YlFf(s) ds - Y, - ПF)f{k\t).

k=a

Здссь П коэффициент при ~ и разложении резольвенты пучка в ряд Лорана в окрестности бесконечности, N коэффициент при Л°, а символ дг*н но означает (к + 1)-ую степень N относительно умножения

Л © В = AFB.

В главе 5 изучается структура функции Грина, обладающей тем свойством, что все входящие в нес операторы имеют конечномерный образ. Установлено (теорема 5.3.1), что такая функция Грина представляет собой сумму нулевого оператора и конечномерного.

Теорема 5.3.1. Пусть Q функция Грппа w-бпсекторпалыюго пучка, обладающая свойством dim Im Q(t) < оо при L / 0. Тогда пространства X u Y допускают разложения

X = Х0* © Xf, Y = Г0± Ш У^

о прямые суммы замкнутых подпространств Xf, У^ л У*, лс зависящих от t и инвариантных относительно Q{t) в том смысле, что

g(t)Ya+ с х+, g{t)Y+ с t > о, g(t)vQ-cxö, g(t)Yfcx{, t < о.

При этом сужения функции Грппа g(t) па Y^ состоят из пулевых операторов, Y^ конечномерны, а сужения g(t) Y^ —> являются обратимыми операторами.

Подчеркнем, что здесь dimlm£7(f) априори может зависеть от t.

«(f) = J

Публикации по теме диссертации

[1] Псчкуров A.B. Комнлсксификация упорядоченных нар линейных операторов / A.B. Псчкуров // Вестник ВГУ. Физика. Математика. 2007. - № 2. С. 143-147.

[2] Псчкуров A.B. Об упорядоченный нарах линейных операторов / A.B. Псчкуров // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крсйна. - 2008. С. 225 -231.

[3] Псчкуров A.B. Комнлсксификация упорядоченной нары линейных операторов / A.B. Псчкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крсйна. Тез. докл. - 2008. С. 111 112.

[4] Псчкуров A.B. О структуре нолугрз'ины операторов, имеющих конечномерный образ / A.B. Псчкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крсйна. Тез. докл. 2010. С. 116-117.

[5] Псчкуров A.B. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / A.B. Псчкуров // Международная конференция КРОМШ. Сборник тезисов. - 2010. С. 38.

[6] Псчкуров A.B. Операторные пучки, бнполугруипы и задача об ограниченных решениях / A.B. Псчкуров // Spcctral and Evolution Problems. Procccdings of tlie Twcnty First Crimcan Autumii Mathcinatical School-Simposium (Kiomsh-2010). 2011. Vol. 21, № 2. P. 75-86.

[7] Псчкуров A.B. Об обратимости в пространстве Шварца оператора, порожденного пучком умеренного роста /' A.B. Псчкуров // Вестник ВГУ. Физика. Математика. - 2011. - - № 2. С. 116 122.

[8] Псчкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / А.В. Псчкуров // Матем. заметки. - 2012. - Т. 91, № 2. С. 240 252.

[9] Псчкуров А.В. Висекториальпые операторные пучки и задача об ограниченных решениях / А.В. Псчкуров // Известия вузов. Математика. 2012. - № 3. С. 31 41.

[10] Псчкуров А.В. О функции Грина операторного пучка, имеющей конечномерные образы /' А.В. Псчкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крсйна. Материалы межд. конф. -• 2012. -С. 180 182.

[11] Pcchkurov A.V. Bisectorial operator pencils and bounded-solutions problem / A.V. Pcchkurov // The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Peoples' Friendship University of Russia, August 18-20, 2011, Abstracts. Russia. 2011. P. 52-53.

Работы [7, 8, 9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано и печать 03.09.12. Формат 60*84 '/ц. Усл. неч. л. 0,93. Тираж 100 зет. Заказ 836.

Отпечатано с ютового оригинал-макета в типографии Иэдатсльско-нолшрафичсского центра Воронежского кюударственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Введение

1 Пучки умеренного роста

1.1 Функциональное исчисление, порожденное пучком.

1.2 Пространство обобщенных вектор-функций Шварца

§'

1.3 Задача об ограниченных решениях в

§'.

2 Бисекториальные пучки

2.1 Определение бисекториального пучка.

2.2 Функция Грина.

2.3 Двусторонняя последовательность пространств Сп.

2.4 Задача об ограниченных решениях.

3 У1-бисекториальные и Х-1-бисекториальные пучки

3.1 (—1)-бисекториальный пучок.

3.2 Уг1-бисекториальный пучок.

3.3 Х1-бисекториальный пучок.

3.4 Примеры

4 Биограниченные пучки

4.1 Построение разложения единицы.

4.2 Полная функция Грина.

4.3 Задача об ограниченных решениях.

5 Функция Грина, имеющая конечномерный образ

5.1 Полугруппа с конечномерным образом и нулевым спектром

5.2 Полугруппа с конечномерным образом.

5.3 Функция Грина, имеющая конечномерный образ.

Задача об ограниченных решениях состоит в нахождении ограниченного на действительной прямой К решения линейного дифференциального уравнения при условии ограниченности свободного члена- С одной стороны, ее можно рассматривать как разновидность краевых задач, а с другой — как обобщение задачи об асимптотической (экспоненциальной) устойчивости, включающее в себя помимо задачи об устойчивости специальный случай неустойчивости — экспоненциальную дихотомию.

История активного изучения этой задачи берет начало от статьи Перрона [84]. Впрочем, Ю.Л. Далецкий и М.Г. Крейн [22] отмечают, что многие основополагающие результаты в этом направлении были получены на 20-30 лет раньше П. Болем, но они остались незамеченными. В настоящее время результат Перрона является классикой теории обыкновенных дифференциальных уравнений и описан во многих монографиях [22, 23, 26, 33, 42, 67]. Его простейший вариант утверждает, что существование и единственность ограниченного на М решения неоднородного уравнения и' — Аи = / при любой ограниченной правой части / равносильно тому, что спектр коэффициента А не пересекает мнимую ось. В классическом варианте коэффициент А является матрицей, либо линейным ограниченным оператором, действующим в банаховом пространстве.

Настоящая диссертация посвящена уравнению вида

Ей' -<?« = /, (1) не разрешенному относительно производной. Здесь ^и С - линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство У. За счет того, что область определения X и множество значений У операторов Р и не обязаны совпадать, рассматриваемое уравнение охватывает случай дифференциальных операторов ^иС, которые обычно интерпретируют как неограниченные операторы, действующие из пространства в себя.

Не разрешенное относительно производной дифференциальное уравнение (1) является не только формально более общим, чем уравнение и' — Аи = /. Оно охватывает более широкий класс приложений. Такие дифференциальные уравнения возникают в механике [32, 71, 72, 85], в теории линейных электрических цепей [И, 21, 24, 40, 54, 57] и в теории возмущений [2, 4]. Если оператор Р не имеет обратного, уравнение (1), как мы увидим, обладает несколько иными свойствами, чем уравнение и' - Аи = /.

Дифференциальным уравнениям (1), не разрешенными относительно старшей производной, посвящена обширная литература, см., например, [6, 9, 27, 28, 29, 55, 56, 74, 77, 79, 82]. В основном изучалась начальная задача.

Ограниченность решения и и свободного члена / в разных главах диссертации интерпретируется по-разному. В самом общем виде (глава 1) под ограниченностью понимается принадлежность пространству обобщенных функций Шварца 8'. Более узкая трактовка понятия ограниченности — принадлежность пространству С непрерывных и ограниченных на К функций или пространству Сп непрерывных и ограниченных на М вместе с производными до п-го порядка функций. Также рассматриваются (§ 2.3) пространства Сп с отрицательным п; говоря не совсем точно, они состоят из обобщенных функций, которые после п интегрирований становятся непрерывными. Обсуждается вопрос о связи гладкости решения и и свободного члена /.

Результаты диссертации опубликованы в [43, 44, 48, 49, 50, 51, 52], и докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [45], 2010 [46], 2012 [52], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010 [47], на конференции БРОЕ 2011 [83], на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ. Работы [49, 50, 51] опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК.

Перейдем к описанию содержания диссертации. Изложение ведется путем перехода от более общих случаев к более конкретным.

Пусть X и У — комплексные банаховы пространства. Обозначим символом В(Х, У) множество всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в У.

Диссертация посвящена задаче об ограниченных решениях для дифференциального уравнения

IV)(*)-(<2«)(*) = /(*), ¿ем, (2) где .Р, С? 6 В(Х, У).

Линейным) пучком, соответствующим уравнению (2), называют [19, 20, 30, 41] функцию

Л н^ ЛF - С, ЛеС. (3) $

Резольвентным множеством пучка (3) называют [9, с. 30] множество p(F, G), состоящее из всех Л € С, при которых оператор XF—G обратим, а резольвентой — функцию (семейство)

Rx = (XF-G)~1.

Дополнение a(F,G) к резольвентному множеству называют спектром пучка.

1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций / А.Г. Баскаков // Математ. сборник. — 1984. — Т. 124(166), № 1(5). - С. 68-95.

2. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баскаков. — Воронеж: ВГУ, 1987. — 165 с.

3. Баскаков А. Г. Спектральные свойства дифференциального оператора ^ — Ао с неограниченным оператором Ао / А.Г. Баскаков// Дифферент уравнения. 1991. - Т.27, №12. - С. 2162-2164.

4. Баскаков А.Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитиче-ских и спектральных операторов / А. Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. - Т. 58, № 4. - С. 3-32.

5. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре / А.Г. Баскаков. — Воронеж: ВГУ, 2004. 306 с.

6. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов / А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления. М.: МАИ. 2004. - Т. 9. - С. 3-151.

7. Баскаков А.Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов / А.Г. Баскаков // Матем. заметки. — 2008. — Т. 84, №2-С. 175-192.

8. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 2009. - Т.73, №. - С. 3-68.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышев // Математ. сборник. 2002. - Т. 193, № И. - С. 3-42.

10. Баскаков А. Г. О полугруппах распределений с сингулярностью в нуле и ограниченных решениях линейных дифференциальных включений / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. заметки. — 2006. — Т.79, т. С. 19-33.

11. Баскаков С.И. Лекции по теории цепей / С.И. Баскаков. — М.: Ко-мКнига, 2005. — 280 с.

12. Бичегкуев М.С. К теории бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов / М.С. Бичекгуев // Алгебра и анализ. — 2010. — Т. 22, № 2. С. 1-13.

13. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства / Н. Бурбаки. — М.: ИЛ, 1959. 410 с.

14. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры на локально компактных пространствах. Продолжение меры. Интегрирование мер. Меры на отделимых пространствах / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1977. — 600 с.

15. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки. — М.: Мир, 1972. — 183 с.

16. Брычков Ю. А. Интегральные преобразования обобщенных функций / Ю. А. Брычков, А. П. Прудников. — М.: Наука, 1977. — 288 с.

17. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1976. — 528 с.

18. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1979. — 280 с.

19. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1988. 552 с.

20. Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М. Глазман, Ю.И. Любич. М.: Наука, 1969. - 476 с.

21. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы / И.С. Гоноров-ский. — М.: Дрофа, 2006. 719 с.

22. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. — М.: Наука, 1970. — 536 с.

23. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. — М.: Наука, 1967. — 472 с.

24. Дезоер Ч.А. Основы теории цепей / Ч.А. Дезоер, Э.С. Ку. — М.: Связь, 1976. — 286 с.

25. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М.: Мир, 1966. - 1064 с.

26. Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / В.В. Жиков, Б.М. Левитан. — М.: МГУ, 1978. — 205 с.

27. Зубова С.П. Исследование решения задачи Коши для одного сингулярно возмущенного дифференциального уравнения / С.П. Зубова // Изв. вузов. Матем. 2000. - № 8. — С. 76-80.

28. Зубова С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредголь-мовым оператором при производной /С.П. Зубова, К.И. Чернышов // Дифференц. уравнения и их применения. — 1976. — № 14. — С. 21-39.

29. Иванов В.К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов, И.В. Мельникова, А.И. Филинков. — М.: Наука, Физматлит, 1995. — 175 с.

30. Икрамов X. Д. Матричные пучки — теория, приложения, численные методы / X. Д. Икрамов // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. М.: ВИНИТИ. 1991. - Т. 29. - С. 3-106.

31. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида. — М.: Мир, 1967. — 616 с.

32. Копачевский Н.Д. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи / Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Нго Зуй Кан. М.: Наука, 1989. — 416 с.

33. Красносельский М.А. Нелинейные почти периодические колебания / М.А. Красносельский, В.Ш. Бурд, Ю.С. Колесов. — М.: Наука, 1970 — 352 с.

34. Крейн С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышов //IX Международная конф. по нелиненым колебаниям.Киев: Наукова думка. — 1984. Т. 1. - С. 193-197.

35. Кудрявцев JI. Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев. — М.: Наука, 1989. — 736 с.

36. Курбатова И.В. Об обобщенной импульсной характеристике / И.В. Курбатова // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Физ.-мат. науки. — 2007. — № 1. С. 148-152.

37. Курбатова И.В. Банахова алгебра, связанная с линейным операторным пучком / И.В. Курбатова // Математические заметки. — 2009. — Т. 86, № 3. С. 394-401.

38. Курбатова И.В. Псевдорезольвенты, функциональное исчисление и операторные пучки / И.В. Курбатова. — Воронеж: Научно-исследовательский институт математики ВГУ, 2010. — 55 с.

39. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. — М.: Наука, 1965. — 716 с.

40. Максимович Н.Г. Методы топологического анализа электрических цепей / Н.Г. Максимович. — Львов: Львовский ун-т, 1970. — 256 с.

41. Маркус A.C. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков / A.C. Маркус. — Кишинев: Штиинца, 1986. — 260 с.

42. Массера Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. — М.: Мир, 1970. 458 с.

43. Печкуров A.B. Комплексификация упорядоченных пар линейных операторов / A.B. Печкуров // Вестник ВГУ. Физика. Математика. — 2007. № 2. - с. 143-147.

44. Печкуров A.B. Об упорядоченный парах линейных операторов / A.B. Печкуров // Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна. 2008. - С. 225-231.

45. Печкуров A.B. Комплексификация упорядоченной пары линейных операторов /A.B. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. 2008. - С. 111-112.

46. Печкуров A.B. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерный образ/ A.B. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тез. докл. — 2010. — С. 116-117.

47. Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / А.В. Печкуров // Международная конференция КРОМШ. Сборник тезисов. 2010. - С. 38.

48. Печкуров А.В. Об обратимости в пространстве Шварца оператора, порожденного пучком умеренного роста / А.В. Печкуров // Вестник ВГУ. Физика. Математика. 2011. — № 2. — С. 116-122.

49. Печкуров А.В. О структуре полугруппы операторов, имеющих конечномерные образы / А.В. Печкуров // Матем. заметки. — 2012. — Т. 91, № 2. С. 240-252.

50. Печкуров А.В. Бисекториальные операторные пучки и задача об ограниченных решениях / А.В. Печкуров // Известия вузов. Математика. 2012. - № 3. - С. 31-41.

51. Печкуров А.В. О функции Грина операторного пучка, имеющей конечномерные образы / А.В. Печкуров // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Материалы межд. конф. — 2012. — С. 180-182.

52. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. — М.: Мир, 1975. — 444 с.

53. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = f(t) / А.Г. Руткас // Дифференц. уравнения. 1975. — Т.11, № 11. - С. 19962010.

54. Самойленко А.М. ЛшШш системи диференщальних р1внянь з вирод-женнями: Навч. noci6. для студ. / А.М. Самойленко, M.I. Шюль, В.П. Яковець. — Киев: Вища шк., 2000. — 294 с. — укр.

55. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свири-дюк // Успехи матем. наук. — 1994. — Т. 49, вып. 4. — С. 47-74.

56. Сешу С. Линейные графы и электрические цепи / С. Сешу, М.Б. Рид. — М.: Высшая школа, 1971. — 448 с.

57. Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / H.A. Сидоров // Матем. заметки. — 1984. Т. 35. - № 4. - С. 569-578.

58. Сидоров H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, O.A. Романова // Дифференц. уравнения. — 1983. — Т. 19. — № 9. — С. 1516-1526.

59. Сидоров H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М. В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. — 1987. — Т. 23. — № 4. — С. 726728.

60. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // Сиб. мат. журн. — 2000. — Т. 41, № 5. С. 1167-1182.

61. Фалалеев М.В. Теория фундаментальных оператор-функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространства / М.В. Фалалеев // Автореферат дисс. докт. физ.-мат. наук. — Иркутск: Иркутский госуниверситет. — 2008. — 35 с.

62. Фалалеев М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев, О.В. Коробова // Сиб. мат. журн. — 2008. — Т. 49, № 4. — С. 916-927.

63. Федоров В. Е. Об ограниченных на прямой решениях линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальными операторами / В. Е. Федоров, М. А. Сагадеева // Изв. вузов. Матем. — 2005. — № 4. С. 81-84

64. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. 7 изд./ Г.М. Фихтенгольц. — М.: Наука, 1969. — 616 с.

65. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. — М.: Мир, 1970. — 720 с.

66. Хенри J1. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / JI. Хенри. — М.: Мир, 1985. — 376 с.

67. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Фил-липс — М.: ИЛ, 1962. — 829 с.

68. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат — М.: Наука, 1969. — 577 с.

69. Шкаликов A.A. Задача об установившихся колебаниях трансверсаль-но изотропного полуцилиндра со свободной границей / А. А. Шкаликов // Функциональный анализ и его приложения. — Т. 25, № 2. — 1991. С. 86-89.

70. Шкаликов A.A. Задача об установившихся колебаниях трансверсаль-но-изотропного полуцилиндра / А. А. Шкаликов, А. В. Шкред // Математический сборник. Т. 182, № 8. - 1991. — С. 1222-1246.

71. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2 / Р. Эдварде. М.: ИЛ, 1985. - 400 с.

72. Arendt W. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems / W. Arendt, С. Batty, M. Hieber, F. Neubrander // Monographs in Mathematics. — Basel: Birkhäuser Verlag — 2001. — 523 p.

73. Bart H. Wiener-Hopf factorization, inverse Fourier transforms and exponentially dichotomous operators / H. Bart, I. Gohberg, M.A. Kaashoek // J. Funct. Anal. 1986. - Vol. 68, № 1. - P. 1-42.

74. Carracedo C.M. The theory of fractional powers of operators / C.M. Carracedo, M.S. Alix // North-Holland Publishing Co., Amsterdam. — 2001. — 365 p.

75. Carroll R. W. Singular and Degenerate Cauchy Problems / R. W. Carroll, R. E. Showalter — New York: Academic Press, 1976. — 333 p.

76. Cross R. Multivalued linear operators / R. Cross — New York: M. Dekker, 1998. 335 p.

77. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi // Pure and Applied Mathematics. A Series of Monographs and Textbooks. — New York: M. Dekker. — 1999. — 313 p.

78. Kurbatov V.G. Functional Differential Operators and Equations. Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic Publishers. — 1999. — 454 p.

79. Mee C. V. M. van der, Exponentially dichotomous operators and applications / C. V. M. van der Mee. — Birkhäuser: Basel-BostonBerlin. — 2008. — xv+224 p.

80. Neumann J. Von, Uber adjungierte Funktional-operatoren / J. Von Neumann // Ann. Math. 1932, - Vol. 33, - P. 294-310.

81. Perron O. Die Stabilitätsfrage bie Differentialgleichungen. / O. Perron // Math. Z. 1930. - Bd. 32, № 5. - S. 703-728.

82. Preumont A. Vibration control of active sturctures / A. Preumont. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers — 2002, 2nd ed. — 385 p.

83. Schatten H.H. A theory of cross-spaces / H.H. Schatten. — New York: Princeton Univ. Press, 1950. — 162 p.

84. Schwartz L. Distributions ä valeurs vectorielles / L. Schwartz // Ann. Inst. Fourier. 1957. - Vol. 7 - P. 1-141; II. - 1957. - Vol. 8. - P. 1209.

85. Schwartz L. Theorie des distributions. Vol. I, II / L. Schwartz. — Paris: Hermann. 1950, 1951. — 150 p., 172 p.

86. Treves F. Topological vector spaces, distributions and kernels / F. Treves. — London: Academic Press, 1967. — vi+565 p.