Большие деформации высокоэластичных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Колесников Алексей Михайлович

БОЛЬШИЕ ДЕФОРМАЦИИ ВЫСОКОЭЛАСТИЧНЫХ ОБОЛОЧЕК

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2006

Работа выполнена на кафедре теории упругости Ростовского государственного университета.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Зубов Леонид Михайлович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

доцент Еремеев Виктор Анатольевич

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Сафронеико Владимир Георгиевич

Ведущая организация Институт проблем машиноведения РАН

Защита диссертации состоится «26» декабря 2006 г. в 15°° часов на заседании диссертационного совета Д212.208.06 по физико-математическим наукам при Ростовском государственном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а, РГУ, механико-математический факультет, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ростовского государственного университета по адресу: 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « 23 » ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета ¿7Боев Н. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Нелинейная теория упругих оболочек -относительно новый и важный раздел механики деформируемого твердого тела. Оболочки встречаются как природные объекты: бамбук, скорлупа яиц, улитка, клеточная мембрана, артерия живого организма и т. д. Гибкие тонкостенные конструкции широко распространены в технической деятельности человека: разнообразные надувные сооружения, гибкие емкости, пневмоопалубка, мембранные плотины, горные пневмоконструкции, гибкие трубопроводы. Применение нетрадиционных резиноподобных материалов в технике, изучение биологических структур требует учета и исследования больших деформаций тонкостенных конструкций, что невозможно вне рамок нелинейной теории. Увеличение в XXI веке количества работ, рассматривающих большие деформации тонкостенных конструкций, свидетельствует об актуальности данной темы.

Цель работы состоит в исследовании новых задач нелинейного деформирования тонких упругих оболочек.

Метод исследования задач, представленных в диссертационной работе, основан на сведении двумерной задачи статики оболочки к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Разрешающая система уравнений сформулирована относительно функций кратностей удлинений и одной функции координат. Краевая задача интегрируется численно методом пристрелки, с помощью метода Рунге-Кутта.

Достоверность результатов обеспечивается сравнением теоретических выводов с экспериментальным исследованием, использованием точных нелинейных уравнений равновесия оболочек, использованием устойчивых численных методов с высокой точностью

приближения, сравнением результатов исследования с известными решениями и результатами, представленными в работах других авторов.

На защиту выносятся результаты, сформулированные ниже в разделе научная новизна.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующих результатах, полученных автором:

разработан общий подход к решению определенного класса задач нелинейной теории оболочек, состоящий в сведении двумерной краевой задачи к одномерной;

решен ряд задач о деформации оболочек вращения. Получено решение о раздувании торообразной оболочки, изготовленной из различных высокоэластичных материалов. В задаче о растяжении и раздувании цилиндрической оболочки проведено сравнение решений, учитывающих и не учитывающих условия закрепления по краю;

в нелинейной постановке рассмотрена задача об изгибе цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением. Решена задача о деформации круговой цилиндрической оболочки, изготовленной из неогуковского материала. Произведены численные расчеты напряженно-деформированного состояния оболочки. Найдено семейство независимых безразмерных параметров, для которых доказано подобие характеристик напряженно-деформированного состояния;

для круговой цилиндрической оболочки из неогуковского материала выведены приближенные зависимости изгибающего момента от давления и кривизны оси оболочки, а также максимального изгибающего момента от давления;

выполнено экспериментальное исследование тороидальной оболочки и проведено сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в разработке единого подхода к решению некоторых классов задач статики оболочек; определении нелинейных характеристик сопротивления изгибу цилиндрической обоЛочки, нагруженной внутренним давлением; в обоснованных приближенных формулах расчета зависимости изгибающего момента от кривизны оси изогнутой цилиндрической оболочки и величины внутреннего давления.

Апробация работы. Основные положения и реэ;ультаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

• III Всероссийской конференции по теории упругости (Ростов 4ia-Дону-Азов, 2003),

• международной школе семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (пос. Абрау-Дюрсо, 2005),

• 8,h Conference "Shell Structures: Theory and applications" (Gdansk-Jurata (Poland), 2005),

• 16-ом симпозиуме "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва, 2005),

• семинарах кафедры теории упругости РГУ.

Публикации. Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 6 статьях: [1, 2, 3, 4, 5, 6], список которых приведен в конце автореферата. Статьи [1, 6] написаны в соавторстве с научным руководителем JI. М. Зубовым, которому принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численного метода, численные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертационной работы составляет 115 страниц, включает в себя 35

рисунков и 21 таблицу, список литературы, содержащий 95 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении сделан обзор публикаций по рассматриваемой теме и дано краткое описание содержания всех глав диссертации.

Значительный вклад в развитие нелинейной теории оболочек внесли И. И. Ворович, К. 3. Галимов, П. А. Жилин, JI. М. Зубов, П. Е. Товстик, К. Ф. Черных, JI. И. Шкутин, J. Е. Adkins, S. S. Antman, А. Е. Green, W. Т. Koiter, A. Libai, W. Pietraszkiewic, J. G. Simmonds и другие. Большая часть публикаций, посвященных решению конкретных задач деформирования нелинейно упругих оболочек, рассматривает оболочки вращения. В ряде работ рассмотрены другие задачи о деформации оболочек, например, задача о раздувании прямоугольной мембраны.

Изгиб тонкостенной цилиндрической оболочки и влияние внутреннего давления на деформацию в постановке нелинейной теории упругости практически не исследованы. В ряде работ Бразье, Рейсснера и других авторов изучение изгиба тонкостенных конструкций и влияния на него давления проведено в рамках гипотез малых деформаций. Впервые задача об изгибе цилиндрической оболочки в рамках нелинейной теории упругости рассмотрена JI. М. Зубовым.

В первой главе формулируются основные соотношения нелинейной теории оболочек при больших деформациях.

В п. 1.1 модель оболочки строится на её представлении двумерным материальным континуумом - материальной поверхностью. Поверхности оболочек о в отсчетной и О в текущей конфигурациях описываются радиус-векторами riq[,ql) и R{q',qí), соответственно, где qa (й=1,2) — гауссовы координаты. Материальные свойства поверхности определяются заданием функции удельной (на единицу площади поверхности) потенциальной энергии деформации оболочки W,. как функции меры деформации Коши материальной поверхности G":

IV ^Фф*),

Здесь г" - взаимный базис в отсчетной конфигурации, В-р — основной базис в текущей конфигурации.

Уравнения равновесия безмоментной упругой оболочки выводятся ' из вариационного принципа Лагранжа

6П = 0, П=ЦЩС)еЬ-Э. (2)

а*

. Здесь Э - потенциал внешних сил, 5 — символ вариации. В

С!

дальнейшем предполагается, что допустимые функции на всей границе оболочки удовлетворяют кинематическим краевым условиям (/?0 -заданная функция)

4ъ=Ло> (3)

а вариация потенциала внешних сил имеет вид

5Э= \\qir, Я,У0Л)-5/Мо. (4)

о .

Варьирование функционала П приводит к уравнениям равновесия в геометрии недеформированной конфигурации оболочки

П-2 Ш У* У 5 (5)

0-2— -У,,*, У0_г —.

Здесь У о — двумерный оператор градиента (набла-оператор) на поверхности о,Т> — тензор напряжения типа Пиолы. В геометрии деформированной конфигурации оболочки уравнения равновесия записываются так

+ 9 =

чт.г. Их V-»«Л

ь^ъяув, У = (6)

Здесь V - набла-оператор на поверхности О, Ь — тензор усилий типа Коши, — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности о, (70д — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности О.

Функция удельной энергии оболочки IV из несжимаемого материала выражается через функцию удельной энергии трехмерной среды ¡У' по формуле

Здесь И — толщина оболочки в отсчетной конфигурации, и — вектор нормали к поверхности о.

В п. 1.2 дается формулировка определяющих соотношений для безмоментных оболочек с помощью функции трехмерной потенциальной энергии деформации. Приведены примеры уравнений состояния оболочки для различных моделей высокоэластичных материалов.

В п. 1.3 рассматривается частный случай деформации оболочки, когда поверхности оиО такие, что компоненты метрических тензоров в отсчетной и текущих конфигурациях не зависят от координаты д2 и образуют диагональную матрицу. Толщина оболочки также не зависит от координаты д2:

(7)

= 0, ^" = 0, ^=0, {а*р\

А = А(<7').

(8)

Уравнения равновесия оболочки (6) примут вид

дд

I] 1В11+И2Вг1+ 121Вп + Ь22В21 +4 = 0,

Здесь T£ß — символ Кристоффеля второго рода, В^ — компоненты второго фундаментального тензора В поверхности О, q — интенсивность внешних сил, N- единичная нормаль к поверхности О.

Предположения (8) приводят к ограничению на внешние нагрузки в виде отсутствия компонент направленных вдоль координатой линий q2 = const. Кроме того, в случае, когда компоненты тензора кривизны В^ и компоненты вектора интенсивности внешних сил с' и £ не зависят от координаты q2, система уравнений (1,3.12) будет системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот случай реализуется, например, в задаче об осесимметричной деформации оболочки вращения.

В п. 1.4 описан численный метод решения краевой задачи. В качестве метода решения краевой задачи используется метод пристрелки, основой которого является сведение краевой задач;: к решению ряда задач Коши.

Во второй главе рассматривается задача, об осесимметричной деформации оболочек вращения.

В п. 2.1 показано, что для такого вида деформации осесимметричной оболочки справедливы предположения (8), а компоненты второго фундаментального тензора деформированной поверхности зависят только от одной гауссовой координаты'. "Поэтому уравнения равновесия оболочки вращения сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассматриваются цилиндрические координаты г, q>, z такие, что ось z совпадает с осью симметрии оболочки, а гауссова координата q2 совпадает с угловой координатой (р. За гауссову координату qx принимается некоторый параметр, отсчитываемый вдоль меридиана оболочки.

В выбранной системе координат положение точки поверхности оболочки вращения до деформации представляется в виде

г = г(д1) = г(д1)ег+2&)е1. (10)

Здесь ег, е-_ — орты цилиндрической системы координат.

Срединная поверхность после деформации будет задаваться с помощью неизвестных функций •/?(<?') и уравнениями

Е = Л(д1) = Цд,)ег+г(д1)ег. (11)

Разрешающая система уравнений составляется относительно функций кратностей удлинений Ль Хг и функции со, определенных соотношениями

В общем виде система примет вид

дд* 8дх Ъ8дх А

(12)

доз

'а?

<5

+ Е2а) + уЕ3= 0,

(13)

а? а?1

В случае задания потенциальной энергии как функции кратностей удлинений коэффициенты и Е/ примут вид

л_ д21Г' 2 1 81¥'

Л — _ „ , г —

дЛС

8Л18Л2 Л1 д\ \ 8Л1

__1 (8\у* [ л, д1У'у

2ё22{дЛ, А, дЛ,

ЗГи > гл _ 5дх ' ЭЛ,

1 81У'(дЛ2

дЛ, [дд1*22 ^ 8д1

(14)

8Л2

•V)

■.■■•■' В п. 2.2 рассматривается задача о раздувании замкнутой сферической оболочки. Численное решение задачи сравнивается с аналитическими решениями в рамках теории упругости и теории оболочек. На рисунке 1 сплошной линией обозначены аналитические решения, точками - численное решение. Как видно из графика все три решения, полностью совпадают.

В, п. 2.3 исследуется задача о деформации круглой плоской мембрацы,.. нагруженной равномерно распределенной нормальной нагрузкой.. Численные исследования произведены для материалов неогуковского, Муни и Фына с разными параметрами.

-¡г1 о' ■ ^

Рис. 1. Зависимость давления от радиуса Рис. 2. Сечения деформированной деформированной сферической оболочки мембраны из материала Муни

0/ = 2,Д = 0.5)

Для неогуковского материала и материала Муни произведено сравнение с результатами теоретических и экспериментальных исследований других авторов. Расхождение результатов для неогуковского материала составляет менее 10%, для материала Муни практически отсутствует. На рисунке 2 представлена форма деформированной оболочки изготовленной из материала Муни для разных величин давления.

В п. 2.4 рассматривается задача о раздувании замкнутой торообразной оболочки. Уравнение поверхности оболочки до деформации представляется с помощью функций гиг, заданных в виде г(в) = г0 + г{бшА, .2(0) = г,со80, -п/2<в£Зж/2. (15)

Для материалов Муни, Клоснера-Сегала и неогуковского построены зависимости между характеристиками деформации и величиной давления. Исследуется зависимость геометрических размеров тора на деформацию и напряжение в оболочке. Так на деформацию и напряжения оказывает влияние отношение Г(/Г|: чем оно больше, тем равномернее по координате в. уменьшение толщины оболочки (рис. 5) и распределение напряжений в ней (рис. 3, 4). Номер графиков на рисунках 3-6 соответствует геометрическим характеристикам и материалу из соответствующей номеру строки таблицы 1.

Таблица 1. Значения упругих постоянных и геометрических параметров

1 Неогуковский с, = 1,г0 = 2, г, = 1

2 Неогуковский " 1, го= 10, г, = 1

3 Муни с\ = 1,с2 = 0.5, г0 = 2.г, - 1

4 Муни С1 = 1,сг = 0.5, го =10, Г] = 1

5 Клоснера-Сегала 1, 0.25, п, = 2, г, = 1

6 Клоснера-Сегала и = 2.0=1.1с= 0.25. го = 10, п = 1

Различные типы поведения демонстрирует зависимость давления от минимальной радиальной координаты деформированного тора К' = Я{-ж12)1г{-л12) (рис. 6). На характер кривых оказывают влияние тип потенциала, величина упругих постоянных и геометрические параметры оболочки. При малых нагрузках (р'<ОА) поведение оболочки в основном определяет параметр Влияние свойств материала для этого

диапазона нагрузок выражено слабее. Для больших нагрузок на деформацию оболочки существенно влияют также тип потенциала и величина упругих постоянных.

-1—"о—Т Рис. 3. Напряжения 7"

-I о I г э * 0 Рис. 4. Напряжения 7й

4 в

Рис. 5. Толщина деформированной оболочки

1.2 1.4 14 1Л

Рис. 6. Зависимость давления от внутреннего радиуса деформированного тора

В п. 2.5 рассматривается задача об осесимметричной деформации круговой цилиндрической оболочки. Целью исследования было изучить возможность использования более простой математической задачи для моделирования эксперимента по растяжению и раздуванию круговой цилиндрической оболочки. Для этого рассматриваются две задачи. В первой задаче для растянутой на некоторую величину цилиндрической оболочки из неогуковского материала строится зависимость радиуса сечения от величины внутреннего' давления. Полученные данные свидетельствуют, что при больших деформациях, даже вдали от краев оболочки, разница между решениями, учитывающими и не учитывающими условия закрепления, существенна. Учет граничных

условий дает возможность исследовать поведение оболочки на убывающем отрезке зависимости «давление-радиус».

Во второй задаче рассматривается влияние условий закрепления цилиндрической оболочки (растягиваемой вдоль образующей, но не нагруженной внутренним давлением) на деформацию вдали от края. Для безмоментных оболочек, у которых отношение длины к радиусу сечения более четырех, аналитическое решение, не учитывающее условий закрепления, может быть принято с погрешностью менее 10%. На рисунке 7 представлена зависимость между изменением радиуса цилиндра оболочки и коэффициентом растяжения. Линии 2 и 3 совпадают и соответствуют аналитическим решениям задачи о растяжении трубы в постановке теории упругости и теории оболочек без учета условий закрепления.

Рис. 7. Зависимость радиуса растянутой Рис. 8. Зависимость растягивающей оболочки от коэффициента растяжения нагрузки от удлинения цилиндра

Линии 1 и 4 соответствуют решению задачи с учетом закрепления радиуса оболочки на её краях. Линия 1 соответствует зависимости радиуса от удлинения всего цилиндра. Линия 4 представляет зависимость радиуса деформированной оболочки от кратности

удлинения малого центрального элемента цилиндрической оболочки. На рисунке 8 представлена зависимость растягивающей нагрузки от коэффициента растяжения для аналитического решения по теории оболочек (линия 2) и для решения, учитывающего закрепление по краю (линия 1). Их относительная разность не превышает 8%.

В третьей главе исследуется задача изгиба цилиндрической оболочки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой.

В п. 3.1 рассматривается замкнутая цилиндрическая оболочка, поверхность которой представляется в декартовых координатах хь х2, в виде

г = х1(д1Ц+х2(д')12+х}13. (16)

Здесь, как и ранее, за д1 и д2 = обозначаются гауссовы координаты оболочки.

Толщину недеформированной цилиндрической оболочки считаем постоянной вдоль образующей.

Поверхность оболочки после деформации будет задаваться уравнениями

д = <*(«?')/,

(17)

е2 =сов(/Зх3)12 +81п(/?дгз)/3, ¡З-сотг. Формулы (17) описывают изгиб цилиндрической оболочки, при котором она превращается в сектор тороидальной оболочки.

По аналогии с (12) введем в рассмотрение функции

, 1а'1 + у'2 , ' а'

Рг' 0}=7' (18)

Разрешающая система уравнений выводится относительно функций кратностей удлинений Я,, Х2 и функции со и принимает гид аналогичный (13)

cq cq 3 hdq1 h

E^ + Eico + ^JEi=:0' (19)

дЯ2 _„/?

д^ РШа>2-

В случае задания потенциальной энергии, как функции кратностей удлинений, коэффициенты и Е\ примут вид ,. — ^д71Г ^ д21У 2 ёп" 1 д]У

1 ел? ' 2 0Л,эа, ^ а^ л, а^ * ¿ = 1 Г51Г | л.ажЛэ^

(20)

... ■ , * =

- Е1- ^ dW*

Главный вектор F и главный момент Л/ сил, действующие в произвольном сечении цилиндрической оболочки, нагруженной равномерно распределенным давлением и испытывающей деформацию вида (17), определяются следующими соотношениями F(x3) = F3e3+pSze3>

— V F3 - |с'з -Lttt, = е3)^С2Х22^ ,

¿ в (21)

Л*(*з) = ^ JV^G22L22(a - A-'K - /, - X2)dq".

Очевидно, что в силу произвольности сечений при любом изгибе внешние силы FA и уравновесятся только при равенстве нулю каждой из них (рис. 9). Следовательно, внешние моменты Л/А и Л/в не зависят от выбора точки приложения и равны между собой.

F* V \ 7 У F*

Л/А Мъ

Рис. 9. Внешняя нагрузка на сечениях оболочки

В п. 3.2 рассматривается случай круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины h из неогуковского материала с постоянной си для которой функции ^(д1) и Xiig1) из уравнений (16) заданы в форме

Xi(ql) = r0sm(q]), x2(ql) = r0cos(ql), 0<ql ¿2л, (22)

где го = const—радиус цилиндра.

Внешняя нагрузка, соответствующая равномерно распределенному нормальному давлению интенсивности р, задается с помощью уравнений

е=-р, £'=<Г2=О. (23)

, В задаче об изгибе имеют место следующие определяющие параметры

ro,h,Cup,fi, (24)

где г0 - радиус оболочки, h - её толщина, сх - постоянная материала, р -интенсивность давления, fi — погонный (т. е. рассчитанный на единицу длины оси оболочки) угол поворота сечения оболочки при её изгибе.

Параметр /? можно назвать также кривизной оси деформированной оболочки. Из пяти параметров (24) можно образовать две безразмерные независимые комбинации:

р- = Екг р^цг

Тогда безразмерные величины деформированной оболочки

. а . у . М . Г

а , у =—, М =-г-, Р =

(25)

<о 'о сугйи' '

7' * _ <5,1 Т * — ^22^ тт* _ ^ г"* _

п - , ' ~ Г7~» " ~ "Т> " — г

(26)

с, А с,/г Л я-г0

не зависят от геометрических размеров и постоянной материала. Здесь М - проекция вектора главного момента М на ось /г, в силу симметрии задачи относительно оси <?2 другая компонента равна нулю; Р — величина равнодействующей //(<?') - толщина деформированной оболочки;

5-площадь её поперечного сечения.

Таким образом, в задаче об изгибе круговой цилиндрической оболочки постоянной толщины, состоящей из неогуковского материала, выполняются условия подобия. -

В дальнейшем, рассматриваются только безразмерные величины, определяемые соотношениями (25) и (26), и обозначавший их индекс «*» будет опускаться.

Формы сечений деформированной оболочки для разных величин давления и изгиба представлены на рисунке 10. По оси абсцисс отложен параметр а. По оси ординат отложена величина (у — ус), где ус — средняя координата сечения. В силу симметрии задачи на рисунке 10 отображены только половины сечений оболочки. Пунктирной линией обозначена форма недеформированного сечения. Параметры изображенных на рисунке 10 графиков приведены в таблице 2. Номера в первой колонке таблицы 2 соответствует номерам кривых на рисунке 10 -13.

Таблица 2. Значения параметров для графиков представленных на рисунках 10-13

№ Р Р

1 1.0 0.005

2 1.0 0.3

3 1.0 0.4

4 0.2 0.005

5 0.2 0.12

6 0.2 0.2

Изменение толщины оболочки показано на рисунке 11. Максимальное утончение будет происходить в точке д1 = 0. В точке д] — к деформированная оболочка будет иметь максимальную толщину, которая, начиная с некоторой величины изгиба, будет превосходить начальную толщину оболочки.

■ Рис. 10. Форма сечения изогнутой Рис. 11. Толщина изогнутой оболочки

оболочки

Напряжения в оболочке представлены на рисунках 12 — 13. Из рисунка 13 видно, что в оболочке возможно появление сжимающих напряжений.

Рис. 12. Напряжения Гц

Рис. 13. Напряжения

В силу симметричности 'задачи относительно оси координат, направленной по орту е2, главный момент будет направлен вдоль вектора /]. Момент сил вычисляем относительно центра тяжести сечения оболочки с помощью уравнения (26).

На рисунке 14 кривые, отмеченные точками, представляют зависимость абсолютной величины внешнего изгибающего момента М от кривизны оси деформированной оболочки Р для различных давлений. По оси абсцисс отложена кривизна /?, по оси ординат — изгибающий момент М (26). Величины давления р представлены на рисунке.

Численные результаты свидетельствуют о том, что рост внутреннего давления приводит к увеличению изгибной'жесткости исследуемой упругой конструкции. Кроме того, величина момента в зависимости от кривизны имеет точку максимума для всего рассматриваемого диапазона величин давления. Кривая этой зависимости обозначена на рисунке 15 крестиками.

Зависимость величин кривизны оболочки, соответствующих максимальному изгибающему моменту, от давления представлена на рисунке 16 также крестиками.

6

4

2

О 0.1 0.2 ОД 0.4 , 05

Рис. 14. Зависимость изгибающего момента от кривизны для различных давлений

Для вычисления величины максимального изгибающего момента и соответствующей ему кривизны в зависимости от величины давления предлагаются следующие приближенные формулы, справедливые в диапазоне изменения давления ре [0,1.4]:

На рисунках 15 и 16 кривые, представленные сплошными линиями, соответствуют формулам (27). Абсолютная величина относительной погрешности предложенных формул с численными результатами для изгибающего момента составляет менее 5% при давлении р < 0.2 и 2% — при ре[0.2, 1.4]. Для величины соответствующей кривизны погрешность составляет 2%.

Появление в оболочке сжимающих напряжений происходит задолго до достижения максимальной величины изгибающего момента. На рисунке 15 точками отмечены кривые изгибающих моментов, которые соответствуют появлению сжимающих напряжений. Соответствующие им кривизны изображены на рисунке 16 также точками. Для приблизительного расчета этих величин в диапазоне

^=4.77^ + 0.68^,

(27)

давления ре [0.1, 1.4] предлагаются следующие приближенные формулы:

Мт =0.0103 + 1.596/7 + 0.876^

— , (28) рт = 0.001 + 0.078р+ 0.03/?

На рисунках 15 и 16 графики функций (28) представлены пунктирными линиями. Погрешность предложенного приближения составляет 5% от расчетных данных, при />е[0.1, 1.4]. Для р < 0.1 формулы (28) неприменимы.

О о!2 О;4 { 1л Г.4

Рис. 15. Зависимость максимального момента А/тах и изгибающего момента

Мт, соответствующего появлению сжимающих напряжений, от давления

о'л о14 о% о'я 1 ' 1^2 Г.4

Рис. 16. Зависимость кривизны /?тах,

соответствующей максимальному изгибающему моменту, и кривизны рт,

соответствующей появлению сжимающих напряжений, от давления

На основе результатов численного моделирования для расчета изгибающего момента в зависимости от кривизны и давления, получено выражение

М = \Ма

Б1П

71 /3

2 Д™

(29)

и /?тах" для соответствующей величины давления определяются из уравнений (27). Формула приближенного вычисления

изгибающего момента (29) на всем диапазоне рассмотренных давлений ре[0, 1.4] дает погрешность около 5% по сравнению с численными экспериментами. На рисунке' 14 сплошными линиями изображена зависимость М(/?) (29), а точками отмечены кривые, полученные из численного решения задачи об изгибе.

В четвертой главе рассматривается экспериментальное исследование раздувания автомобильной камеры и предлагается вид потенциала, описывающего материал камеры. Измеряемыми параметрами в эксперименте были величина давления и геометрические характеристики деформированной оболочки («внешний». и «внутренний» радиусы камеры, максимальная «высота» камеры).

Уравнение поверхности оболочки до деформации представляется в форме (10) с помощью функций гиг, заданных в виде

r(<9) = ro+r,sin0, z{6) = г, cos в, ~п/2<.в<,Зп/2,

(30)

г0 = 3.677, г, = 1.0, г2 = 0.963. Здесь за координату д' взят угол в, отсчитываемый по меридиану оболочки.

По толщине камера неоднородна и по результатам измерений закон изменения толщины задан в виде

А = fti + А0 cos 29, h\ = 0.026, й0 = 0.0026.

В качестве потенциальной энергии рассматривается существенно нелинейный потенциал в форме

= £ [(1 + ДХ/, - ЗУ + (1 - /?)(/2 - ЗУ ]. (31)

Представлены результаты для материала с постоянными равными ft = 7.64 МПа, /? = 0.73, а = 0.9. (32)

Геометрические характеристики (30), обезразмеренные относительно радиуса сечения в плоскости z = 0 (г* = 5.7688 см), соответствуют параметрам автомобильной камеры R13.

На рисунках 17-19 результаты экспериментальных измерений представлены точками, численные расчеты сплошной линией. Сравнение численных расчетов и экспериментальных данных показывают хорошее соответствие предлагаемого потенциала (31) и упругих констант (32) материалу исследуемой автомобильной камеры.

Р

Рис. 17. Внутренний радиус - давление Рис. 18. Внешний радиус - давление

Рис. 19. Высота - давление

Основные результаты и выводы.

В диссертации были получены следующие основные результаты:

1. Сформулирован подход к решению класса задач нелинейной теории оболочек с помощью сведения двумерной краевой задачи к одномерной.

2. Получена разрешающая система одномерных уравнений равновесия оболочек вращения под действием осесимметричного нагружения в терминах кратностей удлинений и еще одной функции координат. Решён ряд задач об осесимметричной деформации оболочки вращения, в том числе, раздувание плоской круглой мембраны, раздувание торообразной оболочки, раздувание и растяжение цилиндрической оболочки.

3. Решена задача об изгибе цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением, в нелинейной постановке. Получена разрешающая система одномерных уравнений равновесия для оболочки произвольного сечения, изготовленной из произвольного несжимаемого материала.

4. В задаче изгиба оболочки из неогуковского материала найдено семейство независимых безразмерных параметров, для которых доказано подобие характеристик напряженно-деформированного состояния.

5. Произведены численные расчеты напряженно-деформированного состояния раздуваемой изогнутой круговой цилиндрической оболочки, изготовленной из неогуковского материала.

6. Для круговой цилиндрической оболочки из неогуковского материала выведены приближенные зависимости изгибающего момента от давления и кривизны оси оболочки, а также максимального изгибающего момента от давления.

7. Выполнено экспериментальное исследование тороидальной оболочки и проведено сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

]. Зубов Л. М., Колесников А. М. Большие деформации упругих безмоментных оболочек вращения // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. №1.- С. 33-36.

2. Колесников А. М. Большие деформации высокоэластичной мембраны // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Том VIII.- Ростов-на-Дону: Изд.-во. Рост. Ун-та. 2002,-С. 12-15.

3. Колесников А. М. Большие деформации . высокоэластичной тороидальной оболочки // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Том IX.— Ростов-на-Дону: Изд.-во. Рост. Ун-та. .2003.- С. 33-35.

4. Колесников А. М. Большие деформации гибкой оболочки вращения // Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием, гг. Ростов-на-Дону - Азов, 13-16.10.2003. - Ростов-на-Дону: Новая книга. 2004,- С. 219-222.

5. Колесников А. М. Большие деформации горообразных оболочек // Сборник докладов 16 симпозиума "Проблемы шин и резинокордных композитов". Том 1- Москва. 17-21.10.2005. ООО "Научно технический центр "НИИШП".- С. 201-208.

6. Kolesnikov А. М, Zubov L. М. Pure bending of a cylindrical membrane with internal pressure I I Proceeding of the 8,h conference: Shell Structures: Theory and Applications. Jurata. Poland. 12-14 October 2005,- Taylor & Francis Group. London. 2005. ISBN 0 415 38390.-pp. 129-133.

Издательство ООО «ЦВВР». Лицензия ЛР № 65-36 от 05.08.99 г. Сдано в набор 17.11.06 г. Подписано в печать 17.11.06 г. Формат 60*84 1/16 Заказ № 778. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Оперативная печать. Тираж 100 экз. Печ. Лист 1,0. Усл.печл. 1,0. Типография: Издательско-полиграфический комплекс « Биос» РГУ 344091, г. Ростов-на-Дону, ул. Зорге, 28/2, корп. 5 «В», тел (863) 247-80-51. Лицензия на полиграфическую деятельность № 65-125 от 09.02.98 г.

Введение.

Глава 1. Нелинейная теория безмоментных оболочек при больших деформациях.

1.1. Модель безмоментной оболочки как двумерного материального континуума.

1.2. Определяющие соотношения безмоментных оболочек.

1.3. Об одном случае деформации безмоментной оболочки.

1.4. Численный метод решения краевых задач деформирования безмоментных оболочек.

Глава 2. Осесимметричная деформация оболочек вращения.

2.1. Уравнения осесимметричной деформации.

2.2. Раздувание замкнутой сферической оболочки.

2.3. Нагружение плоской мембраны гидростатическим давлением.

2.4. Раздувание замкнутой торообразной оболочки.

2.5. Осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки.

Глава 3. Большие деформации чистого изгиба цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением.

3.1. Сведение задачи чистого изгиба к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

3.2. Анализ напряженно-деформированного состояния оболочки при изгибе.

Глава 4. Экспериментальные исследования торообразной оболочки при больших деформациях.

Нелинейная теория оболочек относительно новый и сложный раздел механики оболочек. Оболочка - создание природы: бамбук, скорлупа яиц, улитка, клеточная мембрана и т.д. Тонкостенные конструкции являются одним из самых распространенных конструктивных элементов в технической деятельности человека: разнообразные надувные сооружения, гибкие емкости, пневмоопалубка, мембранные плотины, горные пневмоконструкции, гибкие трубопроводы. Применение нетрадиционных резиноподобных материалов в технике, изучение биологических структур требует учета и исследования больших деформаций тонкостенных конструкций, что невозможно вне рамок нелинейной теории. Увеличение в XXI веке количества работ рассматривающих большие деформации тонкостенных конструкций свидетельствует об актуальности данной темы.

Исследованию нелинейной теории оболочек посвящен ряд монографий и публикаций в журналах. Значительный вклад в развитие нелинейной теории оболочек внесли И. И. Ворович [3], К. 3. Галимов [4], П. А. Жилин, JI. М. Зубов [11], П. Е. Товстик, К. Ф. Черных [30], Л. И. Шкутин, J. Е. Adkins [10], S. S. Antman [34], А. Е. Green [10], W. Т. Koiter [58], A. Libai [67], W. Pietraszkiewic [74, 75], J. G. Simmonds [67] и другие.

Изучению больших деформаций оболочек также посвящены работы: [7, 8, 9, 13, 15, 20, 23, 25, 27, 29, 30, 31, 38, 40, 43, 44, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 60, 61, 62, 63, 66, 68, 72, 73, 79, 80, 81, 85, 87, 91, 92, 94] и др. Большая часть исследований в нелинейной теории оболочек изучает деформацию осесимметричных оболочек. Часть публикаций посвящена исследованию деформаций цилиндрических оболочек, при которых напряжения и деформации одинаковы в любых сечениях оболочки. В ряде работ рассмотрены другие задачи о деформации оболочек, например, задача о раздувании прямоугольной мембраны.

Изгиб тонкостенной цилиндрической оболочки и влияние внутреннего давления на деформацию в рамках нелинейной теории упругости практически не исследованы. Ряд работ в рамках линейной теории упругости посвящены изучению изгиба тонкостенных конструкций и влиянию на него давления [35, 42, 48, 49, 64, 69, 76, 77, 78, 86, 88, 90, 93] и др. Резиноподобные материалы рассматриваются в работе [57], где исследуется задача о наложении малых деформаций изгиба на конечные деформации раздувания круглой цилиндрической безмоментной оболочки. Впервые задача об изгибе цилиндрической оболочки в рамках нелинейной теории упругости рассмотрена JI. М. Зубовым в работе [95], где с помощью полуобратного метода предложен вид решения.

Содержание работы изложено в четырех главах.

Первая глава содержит основные соотношения нелинейной теории оболочек.

В п. 1.1 дается вывод нелинейных уравнений безмоментной оболочки при больших деформациях. Из вариационного принципа минимума потенциальной энергии получены уравнения равновесия для безмоментной оболочки, состоящей из несжимаемого изотропного материала.

В п. 1.2 формулируются определяющие соотношения теории оболочек с помошью трехмерной функции потенциальной энергии. Там же представлен список различных видов функций потенциальной энергии для изотропного несжимаемого материала.

В п. 1.3 рассматривается класс задач о деформации оболочек, характеризующийся независимостью первой квадратичной формы в отсчетной и текущей конфигурациях от одной из гауссовых координат поверхности оболочки. Такой вид деформации реализуется в задачах осесимметричной деформации оболочки вращения, в задачах деформации цилиндрических оболочек, для которых напряженно-деформированное состояние не зависит от сечения, и некоторых других случаях. В этом разделе выведены уравнения равновесия для этого частного случая, и получении ограничения на внешнюю нагрузку, необходимые для реализации такого вида деформации. Показано, что если вторая квадратичная форма также не зависит от той же гауссовой координаты, то система дифференциальных уравнений равновесия является системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

В п. 1.4 описывается численный метод решения краевой задачи системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вторая глава посвящена осесимметричной деформации оболочки вращения. Выведены уравнения равновесия для произвольной оболочки вращения. Рассмотрены частные случаи деформации осессимметричных оболочек.

В п. 2.1 показано, что осессиметричная деформация оболочки вращения удовлетворяет классу задач, рассмотренному в п. 1.3. Разрешающая система уравнений выводится относительно функций кратности удлинений и некоторой новой функции координат. Эта система является системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В п. 2.2 рассматривается задача о деформации сферической оболочки. Задача может быть решена аналитически в постановках теории упругости и теории оболочек для некоторых видов функции потенциальной энергии. Это позволяет проверить точность численного метода решения краевой задачи, сформулированной в п. 2.1. Получены решения задачи для материала Муни в трех видах: 1) численное решение задачи, когда сфера рассматривается как оболочка вращения, 2) аналитическое решение теории оболочек и 3) аналитическое решение теории упругости. Сравнение результатов показывает высокую точность приближения теории оболочек и высокую точность численного решения уравнений равновесия.

В п. 2.3 решается задача о раздувании плоской круглой мембраны. Рассмотрены несколько видов потенциалов, описывающих высокоэластичные материалы. Представлены результаты исследования формы деформированной оболочки, ее прогиба, утончения и величин напряжений в центре. Для неогуковского материала и материала Муни сравнение полученных результатов с теоретическими и экспериментальными данными исследований других авторов показывают достоверность полученного решения задачи.

В п. 2.4 рассматривается задача о деформации торообразной оболочки под действием внутреннего давления для различных материалов. Исследуется влияние геометрических размеров тора на деформацию и напряжения, возникающие в оболочке.

В п. 2.5 решается задача о деформации круговой цилиндрической оболочки. В гипотезах скользящей заделки, неучитывающей жесткое закрепление мембраны по краю, построены аналитические решения теории упругости и теории оболочек о раздувании и растягивании тонкостенной трубы, состоящей из неогуковского материала. Представлены численные решения задачи о раздувании цилиндрической оболочки, растягиваемой на некоторую заданную величину и закрепленной по краю так, чтобы радиус оставался постоянным. Аналитические и численные решения сравниваются в двух задачах. В первой задаче для растянутой на некоторую величину цилиндрической оболочки из неогуковского материала строится зависимость радиуса сечения от величины внутреннего давления. Полученные данные свидетельствуют, что при больших деформациях, даже вдали от краев, разница между решениями, учитывающими и неучитывающими условия закрепления, существенна. Учет граничных условий дает возможность исследовать убывающую часть диаграммы «даваление-радиус». Во второй задаче рассматривается влияние условий закрепления цилиндрической оболочки (растягиваемой вдоль образующей, но не нагруженной внутренним давлением) на деформацию вдали от края. Показывается, что для безмоментных оболочек, у которых отношение длины к радиусу сечения более четырех, аналитическое решение, не учитывающее условий закрепления, может быть принято с погрешностью менее 10%. Результаты исследования растягиваемой цилиндрической оболочки закрепленой по краю так, чтобы радиус оставался постоянным, сравниваются с исследованиями других авторов.

Задача изгиба цилиндрической оболочки нагруженной равномерно распределенной нагрузкой рассматривается в третьей главе.

В п. 3.1 излагается теория сильного изгиба замкнутой цилиндрической оболочки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой изнутри. Теория основана на сведении первоначально нелинейной двумерной задачи статики оболочки к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналогично задаче о деформации оболочки вращения, уравнения равновесия сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для функций кратностей удлинений и связывающей их новой функции.

В п. 3.2 исследуется круговая цилиндрическая оболочка. Для случая оболочки, состоящей из неогуковского материала, вводятся безразмерные параметры, для которых выполняются условия подобия. Найдена безразмерная комбинация независимых параметров, для которой искомые величины деформации и напряжения в оболочке в безразмерном виде не зависят от геометрических размеров и постоянной материала. На основе численного моделирования показано влияние внутреннего давления на жесткость конструкции и существование критической изгибающей нагрузки. Для расчета критического изгибающего момента и некоторых величин деформированной оболочки предложены простые формулы расчета.

В четрвертой главе описывается экспериментальное исследование раздувания торообразной оболочки. На основе экспериментальных данных выбран вид функции потенцаильной энергии и постоянные материала, описывающие свойства материала автомобильной камеры.

В заключении дана сводка основных выводов, полученных в диссертации.

Основные результаты докладывались на III Всероссийской конференции по теории упругости (Ростов-на-Дону - Азов, 2003), Международной школе семинаре "Математическое моделирование и биомеханика в современном университете" (пос. Абрау-Дюрсо, 2005), 8th Conference "Shell Structures: Theory and applications" (Gdansk-Jurata (Poland), 2005), 16-ом симпозиуме "Проблемы шин и резинокордных композитов" (Москва, 2005).

По теме диссертации опубликованы статьи [12,16,17,18,19,59]. Работы [12] и [59] написаны в соавторстве с научным руководителем JI. М. Зубовым, которому принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численного метода, численные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

Заключение

В диссертации были получены следующие основные результаты.

1. Сформулирован подход к решению класса задач нелинейной теории оболочек с помощью сведения двумерной краевой задачи к одномерной.

2. Получена разрешающая система одномерных уравнений равновесия оболочек вращения под действием осесимметричного нагружения в терминах кратностей удлинений и еще одной функции координат. Решён ряд задач об осесимметричной деформации оболочки вращения, в том числе, раздувание плоской круглой мембраны, раздувание торообразной оболочки, раздувание и растяжение цилиндрической оболочки.

3. Решена задача об изгибе цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним давлением, в нелинейной постановке. Получена разрешающая система одномерных уравнений равновесия для оболочки произвольного сечения, изготовленной из произвольного несжимаемого материала.

4. В задаче изгиба оболочки из неогуковского материала найдено семейство независимых безразмерных параметров, для которых доказано подобие характеристик напряженно-деформированного состояния.

5. Произведены численные расчеты напряженно-деформированного состояния раздуваемой изогнутой круговой цилиндрической оболочки, изготовленной из неогуковского материала.

6. Для круговой цилиндрической оболочки из неогуковского материала выведены приближенные зависимости изгибающего момента от давления и кривизны оси оболочки, а также максимального изгибающего момента от давления.

7. Выполнено экспериментальное исследование тороидальной оболочки, и проведено сравнение теоретических и экспериментальных результатов.

1. Бартенев Г. М., Хазанович Т. Я. О законе высокоэластичных деформаций сеточных полимеров // Высокомолекулярные соединения. 1960. т.2. N1- С. 20-26.

2. Бидерман В. Л. Вопросы расчета резиновых деталей // Расчеты на прочность. 1958. Вып. З.-М.: Машгиз.- С. 40-87.

3. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек-М.: Наука. 1989.

4. Галимов К. 3. Основы нелинейной теории тонких оболочек Казань.: Изв-во Казанск. ун-та. 1975-С. 326.

5. Григолюк Э. И., Шалашшин В. И. Проблемы нелинейного деформирования: метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела М.: Наука. 1988.

6. Григолюк Э. И., Мамай В. И. Нелинейное деформирование тонкостенных конструкций-М.: Наука. 1997.

7. Григорьев А. С. Напряженное состояние безмоментных цилиндрических оболочек при больших деформациях // ПММ. 1957. Т.21. № 6.

8. Григорьев А. С. Равновесие безмоментных оболочек вращения при больших деформациях // ПММ. 1961. Т.25.

9. Григорьев А. С. Об устойчивости безмоментных оболочек вращения в условиях растяжения // Изв. АН СССР. МТТ. 1967. № 1.

10. Ю.Грин А., АдкинсДж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды-М.: «Мир». 1965.

11. Зубов JI. М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек-Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовск. ун-та. 1982 С. 144.

12. Зубов Л. М., Колесников А. М. Большие деформации упругих безмоментных оболочек вращения // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. №1.- С. 33-36.

13. Зубов JI. М., Овсеенко С. Ю. Кручение безмоментных оболочек вращения при больших деформациях // Труды 14-ой Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Т. 1- Тбилиси. Изв-во. ун-та. 1987 С. 597-602.

14. Зубов Л. М., Рудев А. Н. Об особенностях потери устойчивости нелинейно-упругого прямоугольного бруса // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 3 С. 65-83.

15. Кабриц С. А., Михайловский Е. К, Товстик П. Е., Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек С. Петербург.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2002,- 388с.

16. Колесников А. М. Большие деформации высокоэластичной мембраны // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Том VIII.- Ростов-на-Дону: Изд.-во. Рост. Ун-та. 2002 С. 1215.

17. Колесников А. М. Большие деформации высокоэластичной тороидальной оболочки // Труды аспирантов и соискателей Ростовского государственного университета. Том IX Ростов-на-Дону: Изд.-во. Рост. Ун-та. 2003- С. 3335.

18. Колесников А. М. Большие деформации гибкой оболочки вращения // Труды III Всероссийской конференции по теории упругости с международным участием, гг. Ростов-на-Дону Азов, 13-16.10.2003-Ростов-на-Дону: Новая книга. 2004.-С. 219-222.

19. Колесников А. М. Большие деформации торообразных оболочек // Сборник докладов 16 симпозиума "Проблемы шин и резинокордных композитов". Том 1.- Москва, 17-21.10.2005. ООО "Научно технический центр "НИИШП".-С. 201-208.

20. Колпак Е. П. Устойчивость безмоментных оболочек при больших деформациях.- С. Петербург. 2000 С. 248.21 .Лурье А. И. Теория упругости-М. 1970.

21. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости.-М. 1980.

22. ОденДж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред М.: Мир. 1976.-464с.

23. Седов Л. И. Механика сплошной среды-Т. 1. М.гНаука. 1970.-492 с.

24. Товстик П. Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения из нелинейно упругого материала // ПММ. 1997. Том 61. вып. 4.- С. 660-673.

25. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред-М. 1975.

26. Усюкин В. И. Об уравнениях больших деформаций мягких оболочек // Механика твердого тела. 1976. №1- С.70-75.

27. Черных К. Ф., Шубина И. М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов // Феноменологический подход. Механика эластомеров. Краснодар. 1977 С. 54-67.

28. Черных К. Ф. Нелинейная теория изотропных упругих тонких оболочек // Механика твердого тела. 1980. №2-С. 148-159.

29. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. JI. Машиностроение. 1986-336с.

30. Юдин А. С. О некоторых нелинейных уравнениях осесимметричной деформации оболочек вращения // Изв. Сев.-Кавказ. НЦВШ. Серия естеств. Наук. 1973. №4.-С. 93-98.

31. Aksel'rad Е. L. Pinpointing the upper critical bending load if a pipe by calculating geometric nonlinearity // Izv. Akad. Nauk SSR Mech. 4. 1965 pp. 133-139.

32. Aksel'rad E. L., Emmerling, F. A. II Collapse Load Of Elastic Tubes Under Bending. Israel Journal of Technology. Vol. 22. 1984/85.-pp. 89-94.

33. Antman S. S. Nonlinear problems of elasticity.- Springer-Verlag. 1995.

34. Bannister K. A. Direct energy minimization to whipping analysis of pressure hulls // The shock and vibration bulletin. Vol. 54. pt. 2. June. 1984.-pp. 67-85.

35. Beatty M. F. Topics in finite elasticity: Hyperelasticity of rubber, elastomers, and biological tissues with examples // Appl. Mech. Rev. 40. 1987 - pp. 1699-1733.

36. Becker G. W. On the phenomenological description of non-linear deformation behavior of rubberlike polymers // J. Polymer science. 1967 pp. 5-16, 28932903.

37. Blyth M. G., Pozrikidis C. Solution space of axisymmetric capsules enclosed by elastic membranes // European Journal of Mechanics A/Solids. 23 (2004).- pp. 877-892.

38. Bonet J., Wood R. D. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis.- Published by Cambridge CB2 1RB. United Kingdom. 1997. ISBN 0-521-57272-X.

39. Bouzidi Rabah, Le van Anh Numerical solution of hyperelastic membranes by energy minimization // Computers and Structures. 82. 2004-pp. 1961-1969.

40. Brazier L. G. On the flexure of thin cylindrical shells and other thins sections // Proc. R. Soc. Ser. A.-London. UK 116.1927.-pp. 104-114.

41. Comer R. L., Levy S. Deflections of an inflated circular cylindrical cantilever beam//AIAA Journal. 1963. l(7).-pp. 1652-1655.

42. Dickey R. W. Stretching of cylindrical membranes // International Journal of Solids and Structures. Volume 5. Issue 1. March 1970-pp 35-43.

43. Duan Я, Ни Z. W., Fang Z. C. Study on deformation characters of a large rubber circular plate // Modelling Simul. Mater. Sci. Eng. 12 (2004). PII: S0965-0393(04)72472-9.-pp. 245-253

44. Gent A. N. A new constitutive relation for rubber // Rubber Chemistry Technol. 69. 1996.-pp. 59-61.

45. Gent F. M., Thomas A. C. Forms of the stored (strain) energy function for vulcanized rubber //J.Polymer.Sci. 1958. V.28.-pp. 625-628.

46. Fabian О. Collapse of cylindrical elastic tubes under combined bending, pressure and axial loads // Int. J. Solids Struct. 13.1977-pp. 1257-1270.

47. Fitcher W. B. A theory for inflated thin-wall cylindrical beams NASA TN D-3466.1966.

48. Foster H. O. Very large deformations of axially symmetrical membranes made of neo-hookean materials // International Journal of Solids and Structures. Volume 5. Issue 1. January 1967.-pp 95-117.

49. Haddow J. В., Favre L., Ogden R. W. Application of variational principles to the axial extension of a circular cylindrical nonlinearly elastic membrane // Journal of Engineering Mathematics. 37. 2000-pp. 65-84.

50. Hart-Smith, Crisp J. D. Large elastic deformations of thin rubber membranes // J.Eng.Sci. 1967. v.5.Nl.-pp. 1-24.

51. Khayat R. E., Derdouri A., Garcia-Rejon A. Inflation of an elastic cylindrical membrane: non-linear deformation and instability // International Journal of Solids and Structures. Volume 29. No. 1,1992.-pp. 69-87.

52. Klosner J. M., Segal A. Mechanical characteriation of a natural rubber // PIBAL Rep.Polytech.Inst. ofBruoklyn. 1969-pp. 42-68.

53. Knowles J. K. The finite anti-plane shear field near of a crack for a class of incompressible elastic solids//Internat. J. Francfurt. 13. 1977-pp. 611-639.

54. Koga Tatsuzo Bending Rigidity of an Inflated Circular Cylindrical Membrane of Rubbery material // AIAA Journal. Vol. 10. No 11. November 1972. pp. 14851491.

55. Koiter W. T. On the nonlinear theory of thin elastic shells // Proc. Kon. Ned. Ak. Wet. В 69(1). 1966.-pp. 1-54.

56. Kydoniefs A. D., Spencer A. J. M. The finite inflation of an elastic torus // International Journal of Engineering Science. Volume 3. Issue 2. July 1965 pp. 173-195.

57. Kydoniefs A. D. Finite deformation of an elastic torus under rotation and inflation // International Journal of Engineering Science. Volume 4. Issue 2. April 1966-pp. 125-154.

58. Kydoniefs A. D., Spencer A. J. M. The finit inflation of an elastic toroidal membrane of circular cross section // International Journal of Engineering Science. Volume 5. Issue4. April 1967-pp. 367-391.

59. Kydoniefs A. D. The finite inflation of an elastic toroidal membrane // International Journal of Engineering Science. Volume 5. Issue 6. June 1967- pp. 477-494.

60. Le van A., Wielgosz C. Bending and buckling of inflatable beams: Some new theoretical results // Thin-Walled Structures. 2005 pp. 1-22.

61. Li Long-yaun, Kettle Roger Nonlinear bending response and buckling of ring-stiffened cylindrical shells under pure bending // International Journal of Solids and Structures. 39.2002.-pp. 765-781.

62. Libai Avimoam The nonlinear membrane shell with application to noncircular cylinder // Int. J. Solids Structures. 1972. Vol. 8.- pp. 923-943.

63. Libai A., Simmonds J. G. The nonlinear theory of elastic shells 2ed Ed.-Cambidge Univ. Press. 1998.

64. Lo К К. Path independent integrals for cylindrical shells and shells of revolution //Int. J. Solids Structures. 1980. Vol. 19.-pp. 701-707.

65. Main A., Peterson S. W., Strauss A. M. Load deflection behaviour of space-based inflatable fabric beams // J. Aerospace Eng. 1994. 2(7).-pp. 225-238.

66. Mooney M. Theory of large elastic deformation // J.Appl.Phys. 1940. v. 11- pp. 582-592.

67. Ogden R. W. Large deformation isotropic elasticity: On the correlation of theory and experiment for incompressible rubberlike solids // Proc. Roy. Soc. Lond. A326. 1972.-pp. 565-584.

68. Pamplona Djenane, Gongalves Paulo В., Lopes Stefane R. X. Instabilities of initially stressed hyperelastic cylindrical mambrane and shell under internal pressure // XXIICTAM. 15-21 August 2004. Warsaw. Poland.

69. Papargyri-Pegiou S., Stavrakakis E. Axisymmetric numerical solutions of a thin-walled pressurized torus of incompressible nonlinear elastic materials // Computers & Structures. Volume 77. Issue 6. 15 August 2000.

70. Pietraszkiewicz W. Introduction to nonlinear theory of shells Bochum: Ruhr-Univ. 1977.

71. Pietraszkiewicz W. Geometrically nonlinear theories of thin elastic shells // Advances in Mecanics 12(1). 1989-pp. 51-130.

72. Reissner E. On finite bending of pressured tubes // J. Appl. Mech. ASME 29. 1959.-pp. 386-392.

73. Reissner E. On finite pure bending of cylindrical tubes // Osterreichesches Ingenieur. Archiv. Vol. 15. 1961.-pp. 165-172.

74. Reissner E., Weinitschke H. J. Finite pure bending of circular cylindrical tubes // Quarterly of Applied Mechanics. Vol. XX. No. 4. January. 1963- pp. 305-319.

75. Roxburgh D. G. Inflation of nonlinearly deformed annular elastic membranes // International Journal of Solids and Structures. Volume 32. Issue 14. July 1995-pp. 2041-2052.

76. Slifka A. J., Drexler E. S., Wright J. E., Shandas R. Bubble-test method for synthetic and bovine vascular material // Journal of Biomechanics. Volume 39. Issue 10.2006.-pp. 1939-1942

77. Taber Larry A. Comparison of elasticity and shell theory results for large deformation of rubberlike shells // International Journal of Non-Linear Mechanics. Volume 24. Issue 3.1989.- pp. 237-249.

78. Tatting, B. F., Giirdal, Z, Vasiliev, V. V. The Brazier Effect for Finite Length Composite Cylinders under Bending // International Journal of Solids & Structures. Vol. 34. No. 12.1997.-pp. 1419-1440.

79. Tcheoegl N. W. Constitutive equations for elasstomers // J. Polymer Sci. 1971. A-l.-pp. 1959-1970.

80. Treolar L. R. G. Strain in an inflated rubber sheet and the mechanism if bursting. Rubber. Chem. Techn. 1944. v.17. N4,- pp. 957-967.

81. Thomas J.-C., Wielgosz C. Deflections of highly inflated fabric tubes // Thin-Walled Structures. 42. 2004-pp. 1049-1066.

82. Trotsenko V. A. Variational methods for solving nonlinear boundary problems of statics of hyper-elastic membranes // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 1999. V.6.N1-pp. 35-50.

83. Veldman S. L., Bergsma О. K., Beukers A. Bending of anisotropic inflated cylindrical beams // Thin-Walled Structures. Issue 3. March 2005 pp. 461-475.

84. Veldman S. L., Bergsma О. K., Beukers A., Drechsler K. Bending and optimization of an inflated braided beam // Thin-Walled Structures. 43. 2005 pp. 1338-1354.

85. Veldman S. L. Wrinkling prediction of Cylindrical and conical inflated canilever beams under torsion and bending // Thin-Walled Structures. 44. 2006,- pp. 211— 215.

86. Verron E., Marckmann G. Inflation of elastomeric circular membranes using network constitutive equations // International Journal of Non-Linear Mechanics. Volume 38. Issue 8. October 2003-pp. 1221-1235.

87. Verron E., Marckmann G. Numerical analysis of rubber balloons // Thin-Walled Structures 41.2003.-pp. 731-746.

88. Wood J. D. The flexure of a uniformly pressurized circular, cylindrical shell I I Journal of Applied Mechanics. Vol. 80. 1958- pp. 453^158.

89. Ju Bing Feng, Lio Kuo-Khan, Ling Shih-Fu, Ng Woi Hong A novel technique for characterizing elastic properties of thin biological membrane // Mechanics of Materials 34. 2002-pp. 749-754

90. Zubov L. M. Semi-inverse solution in non-linear theory of elastic shells I I Archives of Mechanics. 2001. V.53. № 4-5.-pp. 599-610.