К теории некоторых нелинейных процессов в оптике и физике твердого тела тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

в 3,1 -

У-' / '/¿*з - /

/

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОТДЕЛЕНИЕ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ И АСТРОНОМИИ

- " - й1в¥ЙТ^ТкёлЙЙ№ОСКОПИИ

■ з - -уда ученую степень ДОКТ\ .

- -¿¿сгис / На правах рукописи

К АМЧ АТНОВ Анатолий Михайлович

К ТЕОРИИ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В

ОПТИКЕ И ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

01.04.02 Теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Троицк - 1998

Содержание

1 Введение 4

2 Периодические решения интегрируемых уравнений нелинейной физики 17

2.1 Основные принципы метода конечнозонного интегрирования в схеме АКНС..............................................17

2.2 Нелинейное уравнение Шредингера..........................21

2.3 АВ-система ...........................................30

2.4 Самоиндуцированная прозрачность..........................34

2.5 Модель Гейзенберга..................... . 38

2.6 Одноосный ферромагнетик (легкая ось)....................42

2.7 Вынужденное комбинационное рассеяние....................52

2.8 Двухфотонное распространение света..............60

2.9 Вырожденный случай двухфотонного распространения света ........................................................68

2.10 Нелинейное уравнение Шредингера с производной .... 74

2.11 Классическая модель Тирринга как приближение к теории двухфотонного распространения................83

3 Модуляции периодических решений: теория Уизедоа 99

3.1 Метод усреднения ...................................99

3.2 Уравнения Уизема для НУIII, НУЗПП, модели Гейзенберга и одноосного ферромагнетика . ....................102

3.3 Уравнения Уизема для АВ-системы........................104

3.4 Уравнения Уизема для случая самоиндуцированной прозрачности ............................ 105

3.5 Уравнения Уизема для случая вынужденного комбинационного рассеяния.................•....... 107

3.6 Фазовая скорость нелинейной волны и уравнения Уизема 107

4 Нелинейная теория модуляционной неустойчивости и образование солитонов на резком фронте волны 111

4.1 Асимптотическая эволюция начально локального возмущения в модуляционно неустойчивых системах, описываемых нелинейным уравнением Шредингера........ 111

4.2 Образование доменов в одноосном одномерном ферромагнетике .............................. 117

4.3 Образование солитонов на резком фронте импульса в АВ-системе............................. 118

4.4 Образование солитонов на резком фронте импульса СИП 121

4.5 Образование солитонов на резком фронте импульса ВКР 124

5 Ферми-резонансные нелинейные волны и солитоны в органических сверхрешетках 126

5.1 Предварительные сведения....................................126

5.2 Ферми-резонансные плоские волны..........................137

5.2.1 Ферми-резонансные волны в двухслойных структурах ....................................................137

5.2.2 Ферми-резонансные волны в трехслойных структурах ....................................................140

5.2.3 Ферми-резонансные волны в сверхрешетках . . . 147

5.3 Ферми-резонансные солитоны . .............................155

5.3.1 Точные солитонные решения........................155

5.3.2 Вариационный подход к ферми-резонансному со-литону..................................................160

6 Оптические солитоны в средах с квадратичной нелинейностью и в микрополостях 165

6.1 Оптические солитоны в средах с каскадной квадратичной нелинейностью..................................................165

6.1.1 Точные солитонные решения........................166

6.1.2 Вариационный подход к первому семейству решений 170

6.1.3 Вариационный подход ко второму семейству решений ......................................................172

6.2 Нелинейное распространение импульса вдоль квантовой ямы в полупроводниковой микрополости....................173

6.2.1 Общие выражения для электромагнитного поля

мод микрополости с нелинейной квантовой ямой . 175

6.2.2 Импульс самоиндуцированной прозрачности . . . 179

6.2.3 Нелинейное уравнение Шредингера для поляр и-тонных солитонов в квантовой яме..................183

7 Теория проточных усилителей и резонаторов. Тепловое

самовоздействие пучков света 190

7.1 К теории проточных усилителей и резонаторов света . . 190

7.1.1 Общее решение уравнений............................190

7.1.2 Однопроходный усилитель............................194

7.1.3 Двухпроходный усилитель.......................195

7.1.4 Резонатор................................................196

7.2 Тепловое самовоздействие пучков света....................198

7.2.1 Тепловая самофокусировка "трубчатого пучка" . 199

7.2.2 Тепловое самовоздействие в движущейся среде . . 203

Приложение. Топологический солитон в магнитной гидродинамике 206

П.1 Стереографическая проекция и отображение Хопфа . . . 207

П.2 Конфигурация магнитного поля..............................210

П.З Магнитогидродинамический солитон........................214

Библиография 218

Глава 1 Введение

Одним из главных направлений развития физики в последние десятилетия стало изучение нелинейных явлений. Главным стимулом развития нелинейной физики являлся, очевидно, быстрый прогресс экспериментальных исследований в лазерной физике, физике плазмы и физике твердого тела. Если до 60-х годов одним из главных объектов изучения были линейные волны в различных средах (конечно, за исключением классических нелинейных волн в гидродинамике), то начиная с 60-х годов центр интересов смещается в область нелинейных волн в оптике, что было связано с изобретением лазера, а также в физике плазмы и в физике твердого тела, что также было обусловлено соответствующим прогрессом эксперимента. В результате понимание нелинейных явлений существенно возросло, что отразилось в формировании соответствующих понятий, характерных для нелинейной физики. Одним из таких фундаментальных понятий стало понятие солитона [1]. Физическая идея, лежащая в основе представления о солитоне, крайне проста: в определенных условиях общеизвестное расплывание локализованного возмущения, описываемого некоторым эволюционным уравнением, компенсируется нелинейностью, которая, как правило, естественным образом возникает при достаточно большой амплитуде волны. Поэтому, например, световой импульс распространяется в нелинейном оптическом волокне на огромные расстояния без изменения формы (см., например, [2,3]), тогда как в линейной среде дисперсия света приводит к его относительно быстрому расплыванию. Простейшие решения соли-

тонного типа для многих физически важных нелинейных уравнений могут быть получены элементарными методами. В качестве характерных примеров отметим распространение волн на поверхности мелкой воды (длина волны много больше глубины жидкости), описываемое знаменитым уравнением Кортевега-де Фриза [4]; эволюцию огибающей волнового пакета в слабо нелинейной среде (в частности, распространение оптического импульса в световоде с керровской нелинейностью), которая описывается "фокусирующим" нелинейным уравнением Шрединге-ра (НУП1) (см., например, [2,5]); явление самоиндуцированной прозрачности коротких интенсивных импульсов света, распространяющихся в резонансной среде [6]; нелинейные волны в магнетиках, описываемые уравнением Ландау-Лифпшца и т. д.

Дальнейшее развитие этой области нелинейной физики неожиданно выявило еще одну черту поведения таких нелинейных объектов как со-литоны. Оказалось [1], что в некоторых случаях (в частности, во всех перечисленных выше) солитоны взаимодействуют друг с другом упруго, что в отсутствие принципа суперпозиции для нелинейных уравнений представляется удивительным. Объяснение этого явления оказалось далеко не тривиальным и связанным с особым математическим свойством многих физически интересных нелинейных уравнений — их полной интегрируемостью, впервые открытой для случая уравнения КдФ в пионерской работе [7]. Это открытие привело к бурному развитию соответствующего раздела математической физики, получившего название метода обратной задачи рассеяния (МОЗР). К настоящему времени основы теории солитонов достаточно хорошо поняты и изложены в ряде монографий [8-13].

Однако помимо односолитонных задач или задач о взаимодействии небольшого числа солитонов в физике имеются проблемы, требующие для своего рассмотрения достаточно полной теории периодических решений нелинейных уравнений. В качестве примера такой проблемы можно указать на задачу об описании формирования солитонов на фронте достаточно длинного и интенсивного импульса, изначально "содержащего" в себе большое число солитонов. Впервые такая задача воз-

никла в физике плазмы в связи с описанием так называемой "бесстолк-новительной ударной волны", когда резкий фронт импульса трансформируется благодаря дисперсии в осциллирующую область, эволюция которой описывается некоторым нелинейным уравнением [14]. В типичном случае уравнения КдФ такая задача впервые была решена в работе [15] и получила название "задачи Гуревича-Питаевского". Очевидно, что такого рода проблемы не ограничиваются физикой плазмы и аналогичные процессы наблюдались, например, в нелинейной оптике [16] и физике магнетиков [17]. Это делает актуальным соответствующее развитие теории, что подводит нас к содержанию диссертации.

Глава 2 диссертации посвящена теории периодических решений широкого класса интегрируемых уравнений, включающего в себя многие уравнения, представляющие физический интерес. Следует отметить, что обобщение МОЗР на периодический случай оказалось весьма нетривиальным и было развито в чисто математических работах [18-26], отчасти подытоженных в обзорах [27-30] и монографии [31]. Разработанная в большой общности для случая многократно периодических (многофазных) решений, эта теория для многих уравнений оказалась недостаточно эффективной с точки зрения физических приложений. Поясним эту проблему "эффективизации" подробнее на примерах уравнений КдФ и НУШ. Уравнение КдФ, которое можно записать в удобной для теоретических исследований безразмерной форме

щ - 6иих + их„ = 0, (1.1)

имеет периодическое решение

¿) = (а — 7) с1п2

а 1 (х-Уг),т\+ 7, (1.2)

\ 2

где скорость V волны и параметр т эллиптической функции выражаются через произвольные постоянные (а > {3 > 7) соотношениями

V = 2(а + р 4- 7), гп = (1>3)

а — 7

Это решение элементарными методами было получено еще Кортевегом и де Фризом [4], которые выразили его через эллиптическую функцию сп, благодаря чему оно получило название кноидальной волны. В основе метода обратной задачи для уравнения КдФ лежит его специфическая связь с линейной спектральной задачей для стационарного уравнения Шредингера

д2

Ьф = \ф, ь = -— + и(х, г), (1.4)

где и(х, I) играет роль потенциала, зависящего от некого параметра Как было открыто в [7], если потенциал и(х, 2) эволюционирует по I согласно уравнению КдФ (1.1), то так называемые данные рассеяния, по которым этот потенциал можно в принципе восстановить, изменяются со временем крайне просто. В частности, собственные значения Л» уравнения (1.4) вообще не зависят от времени. Уравнение Шредингера (1.4) с периодическим потенциалом широко применяется в физике твердого тела, где оно описывает электронные волновые функции в кристаллической решетке. Хорошо известно, что собственные значения энергии (которая здесь обозначена буквой Л) имеют в случае периодического потенциала структуру разрешенных зон, разделенных запрещенными зонами. Для потенциала (1.2) уравнение Шредингера (1.4) сводится к известному уравнению Ламе [32] с всего одной запрещенной зоной. Концы разрешенных и запрещенных зон Л8- являются собственными значениями уравнения (1.4), которые, как мы знаем, не изменяются при эволюции потенциала согласно уравнению КдФ и являются поэтому постоянными параметрами, задающими решение. Как было выяснено в указанных выше работах, многофазному решению соответствует потенциал с конечным числом запрещенных зон, равным числу фаз. Поэтому рассматриваемый подход к периодическим решениям уравнения КдФ получил название метода конечнозонного интегрирования.

Волновая функция ф (функция Блоха) квантовомеханической частицы, движущейся в периодическом потенциале, рассматриваемая как функция комплексного аргумента Л, имеет корневые точки ветвления в концах зон, так что ее можно сделать однозначной, разрезав комплекс-

ную плоскость Л вдоль запрещенных зон и склеив два экземпляра таких плоскостей вдоль разрезов- Таким образом, функция Блоха однозначна на римановой поверхности, которая определяется гиперэллиптической кривой

12 = Р( А), (1.5)

где Р (Л) — полином с действительными нулями А,-, равными значениям концов зон. Когда потенциал эволюционирует согласно уравнению КдФ, функция Блоха также изменяется, причем эту ее эволюцию удобно описать как движение точек "дополнительного спектра" ¿4», где она обращается в нуль, вокруг разрезов вдоль запрещенных зон. Уравнения движения для точек дополнительного спектра /¿;- имеют сравнительно простой вид и могут быть решены в явном виде, причем решения выражаются через тэта-функций Римана, что немедленно приводит к решениям уравнения КдФ. Таким образом, метод конечнозонного интегрирования уравнения КдФ весьма эффективен и ограничен лишь трудностями изучения тэта-функций Римана от нескольких аргументов. В однофазном же случае он не дает ничего нового, хотя задание решения через края зон А,- является, как мы увидим позже, более удобным для некоторых задач. Отметим, что действительность А,- обусловлена самосопряженностью квантовомеханического оператора Ь = —<Р/<1х2 + и. Кроме того, в этом случае можно доказать, что точки вспомогательного спектра должны двигаться вдоль отрезков действительной оси вокруг запрещенной зоны. Поэтому этот подход не требует принципиальных изменений при обобщении на другие интегрируемые уравнения с самосопряженным оператором Ь. Однако ситуация коренным образом меняется, если оператор Ь не самосопряжен.

В самом деле, для несамосопряженного оператора Ь собственные значения могут быть комплексными, так что понятие запрещенной зоны теряет какой-либо смысл, так кале упорядочения собственных значений, аналогичного упорядочению по величине энергии для оператора Шредингера с периодическим потенциалом, больше не существует. Поэтому и траектории, по которым должны двигаться точки дополнительного спектра, заранее не очевидны и их определение является трудной

математической задачей. Вследствие этого обстоятельства решения, полученные формальным методом конечнозонного интегрирования, справедливы не при произвольных значениях входящих в него постоянных параметров, а лишь при удовлетворяющих дополнительным условиям "вещественности". Чтобы пояснить это название, отметим, что если бы мы интегрировали уравнения для точек дополнительного спектра в случае уравнения КдФ по произвольному контуру в комплексной плоскости Л, окружающему разрез, то получили бы комплексные выражения для функции и, так что именно требование вещественности решения заставляет нас выбрать контур интегрирования в виде

соединенных своими концами отрезков действительной оси над и под разрезами вдоль запрещенных зон. Аналогичная проблема возникает и в случае несамосопряженных операторов Ь, но теперь ее решение не такое простое. Способы решения этой проблемы, предложенные в математической литературе, отражены в монографии [31]. Однако получаемые решения остаются недостаточно удобными для приложений, особенно если мы рассматриваем промодулированное решение с параметрами, медленно меняющимися вдоль пространственной переменной и со временем. В работе автора [33] была предложена такая модификация метода конечнозонного интегрирования для наиболее важных для приложений однофазных решений уравнений, интегрируемых в рамках схемы АКНС [34], когда условия вещественности удовлетворяются автоматически. Метод основан на явном определении траектории, вдоль которой движется (в однофазном случае единственная) точка дополнительного спектра. Первоначально этот модифицированный метод был применен к НУШ и нелинейному уравнению Шредингера с производной, а затем к многочисленным другим уравнениям, имеющим важные физические приложения (см., например, обзор [35]). Глава 2 диссертации посвящена детальному изложению рассматриваемого варианта метода конечнозонного интегрирования с нахождением соответствующих периодических решений физически интересных уравнений в эффективной форме, удобной для приложений.

В реальных физических ситуациях периодическая волна является

промодулированной, то есть задающие ее параметры зависят от пространственной координаты и времени. Если такая зависимость является медленной (параметры мало меняются на протяжении одной длины волны и за период времени), то эволюционные уравнения для этих параметров могут быть усреднены по быстрым осцилляциям волны. Эта идея усреднения по быстрым переменным, широко используемая в нелинейной механике, была перенесена на случай нелинейных волн Уиземом [36,37]. Если волна зависит, например, от трех параметров а», ¿ = 1,2,3, то в общем случае получающиеся уравнения имеют вид

где функции V] зависят от всех переменных Однако в случае уравнения КдФ Уизему удалось привести эту систему к диагональному (ри-манову) виду

§ =

где каждой переменной А» (риманову инварианту) соответствует своя "групповая" скорость Скорости г?,- выражаются чер