Сложные колебания и динамическая устойчивость гибких ортотропных пластинок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

К'и Од 2 '» НОЯ

На правах рукописи

Мицкевич Светлана Александровна

Сложные колебания и динамическая устойчивость гибких ортотропных пластинок

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Саратов 1997

Работа выполнена в Саратовском государственном техническом университете.

Научный руководитель — доктор технических наук, профессор Крысько В.А.

Научный консультант:

— доктор технических наук, профессор Петров В. В. (Саратовский государственный технический университет) Официальные оппоненты:

— доктор физико - математических наук, профессор Коноилёв Ю.Г.

(Казанский государственный университет),

— доктор технических наук, профессор Овчинников И.Г. (Саратовский государственный технический университет)

Ведущая организация — Институт проблем точной механики

Защита состоится 2.0 ноября 1997 г. в 1 ¿А 00пя заседании диссертационного совета К 063.58.02 по присуждению учёной степени кандидата технических наук в Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Саратовского государственного технического университета.

и управления РАН

СГТУ, ауд. 216й .

Автореферат разослан

октября 1997 года

Учёный секретарь

диссертационного совета

Кузнецов В. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интенсивное развитие науки и техники приводит к появлению новых технологий, в которых используются пластинки под действием продольных постоянных во времени и периодических нагрузок, выполненные из изотропного и ортотропного материала. Наиболее глубокое знание колебаний таких конструкций, особенно в аэрокосмических и приборостроительных отраслях народного хозяйства является чрезвычайно актуальным.

Цель работы. Дальнейшее развитие теории бифуркаций (хаотических колебаний) и динамической потери устойчивости гибких ортотропных пластинок при действии продольных постоянных во времени и периодических нагрузок. Создание алгоритма и программы расчёта таких конструкций и выявление особенностей их работы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- получена последовательность бифуркаций, хаотических колебаний и жёсткая потеря устойчивости гибких прямоугольных в плане пластинок при действии продольных нагрузок;

- выявлено влияние на колебания и бифуркации Андронова-Хопфа начальных несовершенств гибких пластин;

- выявлен эффект самоорганизации колебаний гибких ортотропных пластинок, при действии продольных импульсов, постоянных во времени;

- изучено поведение гибких пластинок при действии продольных знакопеременных нагрузок.

Достоверность результатов обеспечивается сравнением с решением ряда нелинейных задач теории пластинок, полученных А. С. Вольмиром, В. А. Крысько, В. В. Амельчснко, Н. Н. Столяровым, С. А. Комаровым, решением тестовых задач.

Практическая ценность. Разработанные алгоритмы и программы позволяют решать широкий класс задач изгиба, статической устойчивости, бифурка-

ций Андронова-Хопфа, хаотических колебаний и жёсткой потери устойчивости (динамической потери устойчивости) гибких пластинок при произвольных продольных и поперечных динамических нагрузках с учетом начальных несовершенств. Возможно исследовать напряжённо - деформируемое состояние пластинок, выполненных из изотропного и ортотропного материалов.

Внедрение результатов. Результаты по данной работе внедрены на кафедре "Высшая математика" СГТУ, в НПО "Алмаз" г. Саратова при разработке библиотеки прикладных программ для расчёта статической и динамической устойчивости и НДС гибких пластинок и различных деталей из них. Апробация работы. Основные результаты докладывались: - на III Всесоюзной конференции по механике неоднородных структур

- на III Всесоюзном симпозиуме " Устойчивость и пластичность в механике деформируемого твердого тела " (Тверь, 1992 );

- на I Саратовской международной школе по проблемам механики сплошной среды (Саратов, 1994);

- на II Межреспубликанской конференции "Механика и технология изделий из металлических и металлокерамических композиционных материалов" (Волгоград, 1995);

- на 1 Белорусском конгрессе по теоретической и прикладной механике (Гомель, 1995);

- на Международной конференции " Экологическое моделирование и оптимизация в условиях техногенсза"(Солигорск,1996);

- на I Всепольской конференции "Uklady dynamiezrie w aspecie teorul zastosowan "(Lodz, grudnia 1994);

-г на VII Четаевской конференции ( Казань, 1997);

- на 18- й международной конференции по теории пластин и оболочек.

(Львов, 1991);

- по материалам диссертации делались доклады на ежегодно научных конференциях СГТУ(1991-1996).

В цепом работа докладывалась на научном семинаре "Численные методы расчета пластин и оболочек " кафедры "Высшая математика " СГТУ под руководством профессора Крысько В.А.( Саратов. Россия. i997): на научном семинаре " Результаты механики в практику" под руководством профеосора Яна Аврешевича Лодзинского технического университета (Lodz, Poland, 1997).

Публикация. По результатам исследований опубликовано девять статей , список которых приводится в конце автореферата. .

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, общих выводов, списка литературы.приложения и содержит 85 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введения обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, выполнен обзор работ по теме диссертации.

В связи с дальнейшим развитием современных научных отраслей техники и промышленности возникает серьезная проблема изучения бифуркаций, хаотических колебаний и жесткой потери устойчивости различных элементов конструкций, состоящих из пластинок.

В работе отмечается, что первый пример асимптотической устойчивости системы был приведен еще в 1686 г. в знаменитых " Началах " И. Ньютона. Спустя 50 лег (1744 г.) Леонард Эйлер заложил основы проблемы бифуркаций в механике, которая в дальнейшем стала носить его имя - "проблема Эйлера ".

В дальнейшем Лагранжем были получены фундаментальные теоремы о том , что минимум потенциальной энергии системы является достаточным для устойчивости. Развитие теории устойчивости связано с такими именами, как Лагранж(1788 ), А. Пуанкаре(1885 ), А. А. Ляпунов(1892), А. Андронов, Л. Понтрягин(1927), Р. Том(1950), Сейл(1967).

В работе автор останавливается на теории упругой устойчивости и на понятии устойчивости по Ляпунову. Отмечается большой вклад в развитие последнего направления работ К. Персидского (1933), И. Г. Малкина (1954), Р. Э. Винограда (1957), Н. Руша (1968), В. И. Зубова (1957), Иосидзавы (1966), Бхатиа и Сёге (1967 ).

В 1963 г. метеоролог Лоренц в результате численного эксперимента получил аттрактор в трехмерном фазовом пространстве с разбегающимися по нему в разные стороны фазовыми кривыми и указал на связь этого явления с турбулентностью.

Данные явления обнаружили в различных отраслях современной техники: конструкциях, астрофизике и гравитационном коллапсе, атомных решетках, в биологических реакциях и биологии развития, радиофизике, электронике и других современных отраслях науки.

В работе отмечается,что большой вклад в развитие нелинейной теории пластин и оболочек внесли Н. П. Абовский, В. В. Болотин,И. Г. Бубнов, Н. В. Валишвили, В. 3. Власов, А. С. Вольмир, И. И. Ворович, К. 3. Галимов, Э. И. Григолюк, Я. М. Григоренко, В. А. Заруцкий, Б. Я.Кантор ,Т. Карман, Я. Ф. Каюк, Кирхгоф, 10. Г. Коноплев, М. С. Корнишин, В. А. Крысько, Н. Ф. Морозов, X. К. Муштари, В. В. Новожилов, В. В. Петров, Ю. Н. Работнов, А. В. Саченков, Э. Г. Терегулов, С. П. Тимошенко, А. Фепль, К. Ф. Черных и другие.

Из анализа существующих работ по нелинейной динамике пластинок сделаны следующие выводы:

1. Не построено теории учета последовательности бифуркаций, катастроф и жесткой потери устойчивости гибких прямоугольных в плане пластинок при действии продольной нагрузки.

2. Не выявлено влияние на колебание и бифуркации Андронова-Хопфа начальных несовершенств гибких пластинок.

3. Не рассмотрено влияние типа материала на динамическую устойчивость пластинок.

4.Вообще не затронуты вопросы самоорганизации колебаний пластин под действием продольных нагрузок.

5. Не изучен вопрос о хаотических аттракторах.

6. Не изучено поведение гибких пластинок при действии продольных знакопеременных нагрузок с позиций теории бифуркаций и катастроф.

Первая глава посвящена теории бифуркаций , хаотических колебаний и динамической устойчивости в нелинейной теории пластин. В первом параграфе дается классификация автоколебательных систем; линейных и нелинейных систем по энергетическому признаку. Отмечается, что автоколебательные системы являются принципиально нелинейными, если число степеней свободы очень велико, форма автоколебаний может быть чрезвычайно сложной и возникающие автоколебания могут представлять собой случайный процесс (турбулентность) без воздействия внешних случайных сил. Указано, что в фазовом пространстве динамических переменных (число которых больше двух) ,так называемых го-моклинических структур . приводящих к появлению странных аттракторов . Заметим, что в настоящий момент развития науки нет четкого представления: что же такое турбулентность? Дается несколько определений турбулентности по Л. Д. Ландау, Ю. Л. Климоновичу, М. Н. Рабиновичу и П. С. Ланда.

Во втором параграфе приводится алгоритм расчета на устойчивость гибких пластинок при динамических продольных воздействиях.

Рассматривается однослойная гибкая пластинка, движение которой описывается уравнением Т. Кармана:

с(м> + £ = + (1)

= ч>) (2)

Н»=о =<Р1(х,У% й|,=0 =<р2(х,У) (3)

и соответствующими граничными условиями.

Параграфы 3, 4 и 5 посвящены изложению теории фазовых портретов динамических систем, отображенгао Пуанкаре и описанию признаков стохастических колебаний.

Во второй главе рассматриваются устойчивость и сложные колебания гибких изотропных пластинок при действии продольных нагрузок, постоянных во времени.

В первом параграфе получена последовательность бифуркаций удвоения Андронова-Хопфа для гибких изотропных пластинок, выявлена универсальность Фейгенбаума для гибких изотропных пластинок.

Во втором параграфе рассмотрена динамическая ( жесткая ) потеря устойчивости гибких изотропных пластинок. Решения получены при следующих начальных условиях:

и>|(=0 = Летя-* Бт;гу , = 0 , ^А = ЫО"3) и граничных условиях шарнирного опирания.

Третий параграф посвящен исследованию влияния начальных условий на последовательность бифуркаций удвоения Андронова-Хопфа и на жесткую потерю устойчивости изотропных пластинок. Здесь исследуется влияние на мягкую и жесткую потерю устойчивости величины амплитуды возмущения А( 0.001; 0.3; 0.8; 1.; 2.). Значения бифуркаций Андронова-Хопфа и величина динамической критической нагрузки (жесткой потери устойчивости) в зависимости от А приведены в таблице.

Анализ данной таблицы дает возможность сделать следующий вывод: для малых амплитуд начальных возмущений мы наблюдаем целую серию бифуркаций Андронова-Хопфа (А = 0,001 их 7, для А = 0,3 - 3, 0,8 < А < 2 - 2). За последней бифуркацией Андронова - Хопфа наступает жесткая потеря устойчивости (динамическая неустойчивость Р'х , величина жесткой потери устойчивости подчеркнуты в таблице), причем, величины жесткой потери устойчивости (Р') находится чрезвычайно близко от последней бифуркации Андронова-Хопфа. Первые бифуркации Андронова-Хопфа приводят к зарождению аттрактора, но его черты не являются ярко выраженными. Вторые мягкие бифуркации приводят к зарождению торов различной конфигурации. Прохождение точки бифуркаций (Рх = 6,5 ; А = 0,3) сопровождается мягким учетверением исход-

ной инвариантной замкнутой кривой на четыре самостоятельные инвариантные кривые. В третьей мягкой бифуркации (А = 0,3) уже наблюдается разрушение тора. Это связано с резанансом между частотами движения вдоль меридиана тора и вдоль его оси. Изменение Рх на 5 -10 ~4 приводит систему к жесткой потере устойчивости и полному разрушению торов, т. е. система переходит в хаотическое состояние.

Количество А

-бифуркаций 0,001 0,3 0,8 1,0 2,0

Хопфа Величина Рх

1 5,3 5,0 4,3 4,0 2,75

2 6,7 6,3 5,249 4,819 3,32995

3 7,02 6,431 5,250 4,81950 3,34715

4 7,1 6.4315

5 7,1245

6 7,1288

7 7,129385 7,129406

В третьей главе исследуются сложные колебания и устойчивость орто-тропных гибких пластинок при действии продольных нагрузок, постоянных во времени и периодических.

В первом параграфе описан разработанный автором алгоритм расчета сложных колебаний и динамической устойчивости гибких ортотропных пластинок на прямоугольном плане при действии произвольных продольных динамических нагрузок. Данный алгоритм по идеологии аналогичен алгоритму, описанному во второй главе.

Рассмотрен, так же как и в первой главе , только один вид краевых условий^ = \У'п' = Р' = /7П'|Г = 0 и начальные условия ( 3 ), хотя разработанный алгоритм позволяет рассмотреть и другие граничные и начальные условия. В рабо-

те построены зависимости : фазовые портреты для центра и четверти пластинки Ч/(У/) ^ отображение Пуанкареи

/ \ М,+М М„ ДМ„ ,+Го |для цешра и четверти пластинки, здесь М„ =--—- ,

N,4- N

Ыл =--- , автокорреляционная функция К(т). Материал пластинки орто-

тропный со следующими физическими характеристиками: Е, = 75000МПа, Е2 = 26000МПа, уп =0.25, у21 =0.0667, А = а/Ь=1.

Так же, как и для изотропной пластинки, получена последовательность {•Р,,} —» Р'х = 13,1567922, которая почти в два раза больше , чем для изотропного материала. Здесь так же, как и для изотропного материала, к = 7 для А=0.001. Получена константа Фейгенбаума. Следует огмегить, что для всех 1 < к < 7 бифуркаций Андронова-Хопфа колебания происходят с амплитудой порядка 10-10"4 как в положительном, так и в отрицательном направлении, близкой к начальной амплитуде возмущения.

В третьем параграфе исследуется жесткая потеря устойчивости гибких ортотропных пластинок при действии продольных постоянных во времени нагрузок. Исследуется чрезвычайно интересный момент перехода механической системы после предельного значения Р* к явлению жесткой потери устойчивости. Предельным Р'х = 13,1567921 и изменение Р на 1-Ю-7 является тем значением сжимающей нагрузки , при котором система переходит в состояние динамической потери устойчивости. Время перехода системы от устойчивого состояния к неустойчивому является наибольшим 1кр. Здесь применен динамический критерий потери устойчивости, предложенный В. А. Крысько [ ПМ - 1979, № 11, с. 58 - 62],даётся его описание.

Четвертый параграф посвящен некоторым соображениям автора диссертации о динамической потери устойчивости. Показано , что глубокие и стимули-

Рис.1

рующие параллели, которые возникли между инженерными и топологическими подходами, имеют большое значение для создания единой теории бифуркаций.

В пятом параграфе рассмотрены вопросы саморегуляции колебаний гибких ортотропных пластинок после жесткой потери устойчивости.

В настоящий момент выяснилось, что возникновение сложных образований в нелинейных средах или пространственных ансамблях различной природы описываются сходными математическими моделями и решениями. Фактически возникло новое направление в "нелинейных науках", которое называется неравновесной термодинамикой, синергетикой , теорией самоорганизации, теорией автоволн.

Для ортотропных пластинок под действием продольных постоянных во времени нагрузок выявлено явление самоорганизации системы. Области самоорганизации приведены на рис.1 под цифрой 5. Хаос - 4, 1 - зона устойчивого равновесия. 2 - зона перехода к первой мягкой бифуркации Андронова-Хопфа РХ,Ъ- зона перехода кРХ2, 6 - кР^,7-кР . Пунктирная линия - линия жесткой потери устойчивости, штрихпунктирная - появление хаотического аттрактора.

Шестой параграф посвящен изучению влияния начальных условий на последовательность бифуркаций Андронова - Хопфа, хаос и жесткую потерю устойчивости гибких ортотропных пластинок при действии постоянных во времени нагрузок. Основные результаты приведены на рис. 1.

Остановимся на поведении механической системы при А = 2. Здесь мы наблюдаем двукратное явление бифуркаций Андронова - Хопфа (Р =5;

РХ2 = 6.149). Жесткая потеря устойчивости Р. = 6.18. Очень интересное рождение и перерождение странного аттрактора в виде одинокого тора (Р, =0.1) , двойного тора(Р^ = 1.0). С Рх = 6 странный аттрактор перерождается в виде треугольника. Переход системы в жесткую потерю устойчивости не разрушает странный аттрактор, а изменяет его, превращая в хаотический аттрактор . Зави-

w(o.6,as)

4.00 -,.

0.00

-4.00

20.0

0.0

-20.0

—i-1

■4.0 0.0

10.0 -1

0.0 -

-ю.о

-4.0

Г" 0.0

Рх1=в.З w=2

'-1-1-Г" 1-1

0.0 20.0 40,0 Б0.0

w( 0.5,0.5)

4.0

w(0.25,0.25)

—I 4.0

Ft „,(0.5.0.6)

0.4 -i

l*«<

0.0 -

-0.4

JQfc

.4 Ft( 0.5,0.5)

1-'-1

-0.4

0.0

0.4

ВД 2.0 -,

0.0

-2.0

IMmaam,

0.0

wt+to( 040.5)

1-1-1

20.0 40.0

4.0 -,

0.0

w, (040.5)

-4.0 -|-,-,-,-,

■4.0 0,0 4.0

иг, (0.25,0.25)

4.0 -,

0.0

-4.0

I

0.0

40.0

0.0

-40.0

-4.0

MKt„J040.5)

w, (0.25,0.25)

-1

4.0

M Kt( 0.5,0.5)

-40.0

I

0.0

40.0

Рис. 2

13

w(O.S,O.S)

4.0 -,

100.0

0.0

-100.0

wf 0.5,0.5;

-4.0

vv( 0.25,0.25) 40.0 -i

0.0

0.0

-40.0

-2.0

0.0

Px=2 o*=22

0.5,0.5)

I

4.0

"1-1-1

2.0

1.0 -,

o.o -

Ft„0 (0.8,0.3)

-1.0

-1.0

-1-[—

0.0

Ft( 0.5,0.5)

—1 1.0

1.CE-S

O.OE+O

K(t)

-1 .OE-5

0.0

i-Г"

4.0

X

—I 8.0

4.0 -,

0.0 -

Vt+n( 0.5,0.5)

-4.0

-4.0

I

0.0

W, (0.5,0.5)

-1

4.0

Wt+t0 (0.25,0.25)

2.0 -,

0.0 -

-2.0

w, (0.25,0.25)

-2.0

T~ 0.0

2.0

,00 0 "*<«of°'>0-5>

0.0

-1000

Ряс. 4

-100.0

IT 0.0

M^(0.5,0.5)

—I 100.0

» «

w( 0.5,0.5)

0.002 -,

Px=13.935 tû=16

^Miiiiiiiiiiiiiiibfatittiiliililiillililijlitaiiinü

ViMÜ'ijlllfii

0.000 -I

-0.002

tiltil.. !ib;<>M-

1ЩШ111Р1Я111!ИР

0.0

100.0

0.04

0.00

-0.04

-1-1-1

-0.002 0.000 0.002

w(0.25,0.25)

0.02

0.00 -

w( 0.25,0.25)

-0.02 H-1-1-1-J

-0.001 0.000 0.001

0.001

Ft +,0 (0.5,0.0)

0.000 -

-O.C01.

t( 0.6,0.6)

-0.001 0.000 0.001

Phc.S

0.002

0.000 -

200.0

Wttt0 (040.6)

-0.002

W, (0.6,0.6

1-'-1

-0,002 0.000 0.002

Wt„J 0.25,0.25)

0.001 -1

0.000

wt (0.2S,0„

■O.001. -J-1-1-1-1

-0.001 0.000 0.001

0 02

0.00 -

-0.02

MK,(0.5,0.i

-0.02 0.00 0.02

симость ( рис. 2 ) носит хаотический характер так же, как зависимости

^СМ) ,№,(1УпТо),Р1(Р1+То). Автокорреляционная функция носит ярко выраженный затухающий характер.

В седьмом параграфе рассмотрены сложные колебания и динамическая потеря устойчивости гибких ортотропных пластинок при действии знакопеременных продольных нагрузок Рх = Р5\п (а!), 12 < со < 31. Рассмотрена так же, как и выше, шарнирно опертая квадратная пластинка из ортотропного материала, свойства которой приведены выше.

Основополагающие результаты приведены на рис. 3 (Р(<у)). Вся область изменения параметров разбита на подобласти. Данные подобласти обозначены цифрами от 1 до 9. Приведем картину сложных колебаний пластинки некоторых подобластей 8- рис. 4, 5 -5.

Основные результаты н выводы по диссертации

1. Построен алгоритм расчета на устойчивость гибких изотропных и ортотропных пластинок при действии произвольных продольных нагрузок.

2. Выявлено явление последовательности удвоения периода колебаний (бифуркаций Андронова - Хопфа ) в зависимости от начальной амплитуды возмущения для изотропных и ортотропных пластинок при действии продольных постоянных во времени нагрузок. - , ■

3. Показано, что с приближением Рг —> Р' последовательность бифуркаций Андронова - Хопфа увеличивается и её число существенно зависит от начальной амплитуды возмущения.

4. Для изотропных и ортотропных пластинок выявлены диапазоны нагрузок, постоянных во времени, для соответствующих начальных несовершенств,при которых появляется хаотический странный аттрактор.

5. Показано, что величина амплитуды возмущения существенно влияет на число бифуркаций Андронова - Хопфа и не зависит от материала пластинки.

6. При приближении постоянной во времени продольной нагрузки к своему критическому значению наступает последовательность мягких потерь устойчивости (удвоение периода), а затем состояние хаоса.

7. Время появления жёсткой потерн устойчивости является наибольшим Р , и с увеличением Рх резко сокращается.

8. Для ортотропных пластинок выявлено явление самоорганизации системы, для изотропных его нет.

9. При рассмотрении пластинки со многими степенями свободы картина колебаний во всех точках пластинки идентична ( фазовые портреты, отображения Пуанкаре, автокорреляционные функции ).

10. Построены новые отображения Пуанкаре, которые дают возможность установить явление наступления хаоса, раньше , чем мы это можем обнаружить при построении отображения Пуанкаре для основных функций.

11. Имеющиеся динамические критерии потери устойчивости пластинок и оболочек хорошо согласуются с явлением жесткой потери устойчивости и по сути дела таковыми являются.

12. Для периодической во времени продольной нагрузки в диапазоне вынужденной частоты 12 < со < 31 построены Р(со) и зоны странных аттракторов тора.

13. При переходе механической системы к состоянию хаоса автокорреляционные функции носят резко выраженный затухающий характер.

14. С увеличением амплитуды внешней периодической нагрузки появляются существенные нелинейные искажения. Поверхность тора вследствие этого становится гофрированно сморщенной, переходит в разные очертания вплоть до пятиконечной звезды. Спектр колебательного процесса резко изменяется: появляются многочисленные гармоники и комбинационные частоты сравнимой интенсивности.

15. Кривая Р' (со) в диапазоне рассмотренных частот имеет шах и min, причем min Р соответствует величине частоты свободных колебаний.

16. Область Р(а>) классифицирована на 9 подобластей в зависимости от

типа СА Т (странного аттрактора тора).

17. Выявлены особенности устойчивости гибких пластинок при действии продольных периодических нагрузок, связанные с одновременным существованием трех странных аттракторов, которые локализуются в различных областях фазового пространства, без пересечения. Данные аттракторы грубые , т. к. сохраняют свою структуру и статистические свойства при малых изменениях управляющих параметров Рх и со.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Мицкевич С.А. Устойчивость гибких ребристых анизотропных упруго-пластических пластинок в температурном поле. // Тез. докладов III Всес. конф.

"Механика неоднородных структур ", г. Львов, 1991.

2. Мицкевич С.А. Теория гибких многослойных анизотропных упруго -пластических оболочек на базе модели типа Тимошенко. // Сарат. гос. техн. унт,- Саратов, 1992,- 37с,- Деп. в ВИНИТИ. 09.10.92, № 2936 -В92.

3. Крысько В.А., Дедюкин И.Ю., Жигалов М.В., Мицкевич С.А. Некоторые вопросы нелинейной статики и динамики двухмерных и трехмерных тел. // Тез. докладов III симп." Устойчивость и пластичность в механике деформируемого тела ", г. Тверь, 1992.

4. Мицкевич С.А. Теория многослойных упруго-пластических анизотропных оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. // Межвуз. научный сборник:

" Прочность конструкций в экстремальных условиях", Саратов, 1992.

5. Крысько В.А., Варыгин A.M., Мицкевич С.А. Динамика анизотропных упруго - пластических оболочек при продольных и поперечных ударных нагрузках. // II coferce on dynamical systems including theory and applications. Lodz, 1994.

6. Крысько В.А., Комаров C.A., Ярошенко Т.Ю., Мицкевич С.А. Устойчивость металлокомпозитных физически и геометрически нелинейных пластинок и оболочек. // Тез. докладов II конф. " Механика и технология изделий из металла и металлокер. мат. ", г. Волгоград, 1995.

7. Варыгин A.M., Мицкевич С.А. Продольный удар по анизотропной упруго-пластической пластинке. // Тез. докладов I Саратовской международной летней школы по проблемам механики сплошн. среды, Саратов, 1995.

8. Крысько В.А., Варыгин A.M., Мицкевич С.А. Динамика прямоугольных пластин при продольном ударе. // Belarus congress on Fneoretical

and Applied Mechanics, Mechanics- 95, Gomel - 1995.

9. Крысько B.A., Комаров С.А. , Ромакин А.Г., Крысько A.B., Мицкевич С.А. Бифуркации, катастрофы, хаос в теории гибких оболочек при действии продольных и поперечных нагрузок.// Тез. докладов VII Четасвской конференции, Казань, 1997.

10. Крысько В.А., Петров В.В., Мицкевич С.А. Сложные колебания и жесткая потеря устойчивости геометрически нелинейных пластин при продольных нагрузках. // Труды 18-й межд. конф. по теории пластин и оболочек, Саратов, 1997.

Мицкевич Светлана Александровна

Сложные колебания и динамическая устойчивость гибких ортотропных пластинок

Автореферат

Корректор

О. А. Панина

Лицензия J1PN 020271 от 15.11.96

Подписано в печать 07.10.97. Бум. оберт.

Тираж 100 экз. Заказ 2ЛЗ.

Саратовский государственный технический университет 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77 Ротапринт СГТУ, 410054 г. Саратов, ул. Политехническая, 77

Усл.-печ. л. 1.0

Формат 60x 84 1/16 Уч.-изд. л. 1.0 Бесплатно